最佳购房时机的数学模型新

诺书

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛诺书

承

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：广西师范大学参赛队员(打印并签名)：1.徐振兴2.陈珊珊3.陈美霖指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期：2012年8月24日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

1)/121)/12F(t)

9095100105110115120

2017201720172017201720182018

58.7763.7465.3068.5671.8377.1580.51

摘要

21世纪住房成为时代主题，特别在人口规模不断扩大的中国，许许多多的年轻人为了替自己也替下一代谋得一处舒适的家园而不得不努力拼搏.对于刚参加工作的男性年轻人来说，许多人生大事与房子有关，如婚姻，能在30而立之时真正立于世是人生一大挑战.因而赚钱买房也许是大部分人的奋斗目标，如何正确认识自我价值和社会环境发展从而对买房事业做一个合理的规划成为需要考虑的重点.本文以山东为例探究山东省一位2012年参加工作的24岁年轻人的最佳购房策略.通过分别研究当今房价形势，职工工资平均水平及分布情况，居民平均消费，房贷政策等建立相应的模型以预测买房形势.以市场上主要销售房商品房和政府调控定价的经济适用房作为所要买房型，分析数据择优选择对数回归模型得到两种房的价格模型：经济适用房房价模型m1(t)与商品房房价模型m2(t).利用题目提供的关于职工工资的表格数据，分析择优选择Logistic阻滞增长模型拟合得到职工平均工资模型，再根据统计学抽样调查比例特性得到各年龄段职工的平均工资模型N（t），从而能预测题设年轻人未来工资.在得到工资模型的情况下，运用凯恩斯绝对收入假设下的消费函数将消费模型建立在工资模型上，得到能预测消费的消费模型Y（t）.综合工资模型和消费模型可得到年存款模型C与累计存款模型G.考虑到买房后的还贷问题根据房贷政策设计出数学模型F，同时设计出首付模型A所有关于时间的模型建立之后，题设年轻人的工资，消费，存款均可预测，同时房价也可通过模型预测出来，买房需达到以下条件G(t)A(t)C(t式子中上面的式子表示累计存款大于首付，下面的式子表示次年月可用资金不小于首期还款额.由此条件再综合考虑可得到购房方案：方案一在2014年末申请购买85平方米的经济适用房，贷款类型为等额本金还款型贷款，贷款时间20年.方案二在2017年末或2018年末根据当时自身发展情况选择一定面积（大于85平方米）的商品房如表中所列：购房面积/平方米购房时间/年份贷款类型等额本金等额本金等额本息等额本金等额本金等额本金等额本金贷款时间/年20202020202020还贷总金额/万元注：表中贷款类型为等额本金还款型贷款.

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关键字：购房、最佳时机、山东省、数学模型一、问题重述

现如今，购房几乎是每个家庭（人）都要面对的问题，而购房通常要考虑购房能力（能付首付）和还贷能力（在不影响正常基本生活的前提下，按揭还付银行借款）.现给出了山东省从1978年~2010年职工平均工资和某企业分年龄职工数量及薪酬分布表，要求完成如下工作：1、收集山东省楼市的数据；2、收集用于生活消费的数据；3、收集关于购房贷款的相关政策；4、对于2012年参加工作（24岁）的年轻人（山东），为其给出最佳的购房策略（购房的面积、时间）.二、问题分析

贷款买房首要考虑的两个因素：购房能力（能付首付）和还贷能力（在不影响正常基本生活的前提下，按揭还付银行借款）.即买房者需要有足够现金支付房子的首付，然后还要保证每月按期还付贷款.题目要求具体分析一位2012年参加工作（24岁）的年轻人（山东）买房，给出最佳的购房策略（购房的面积、时间）.2012年参加工作的24岁年轻人应该考虑婚姻问题，而结婚首先需要有一套新房，本文研究前提为不考虑其与家庭的经济往来，假设他需要靠自己能力贷款买房，则为了不耽误婚姻需要在一定时间内买房，因此我们对房价只要求短期的预测，而考虑还贷是长期的，则工资及消费的预测也是长期的.接下来我们需要做如下工作：第一部分：收集山东省楼市的数据，根据分析收集来的山东省从2001年到2011年的经济适用房、商品房和总的楼市的价格指数，用合适的数学模型分别拟合出三类房价比值走势图，从而预测山东省未来几年甚至几十年的房价比值，并由2012年实时房价推出各年预测房价，再按首付合理比例得出首付模型.第二部分：根据题目提供的某企业分年龄职工数量及薪酬分布表算出24岁职工工资与平均工资的比值，并由山东省职工平均工资表用合适的数学模型拟合出山东省职工平均工资走势图，再通过比例预测这位24岁年轻人未来各年工资；第三部分：收集用于生活消费的数据，根据得到的从1978年到2010年的居民生活消费平均值，用合适的数学模型拟合并预测未来各年消费；第四部分：根据前面的工资预测模型和消费预测模型得到每年的存款，并得出每年存款模型和累计存款的模型；第五部分：根据贷款政策得到贷款模型，包括按揭还款值和还款总值.前期完成买房背景的预测之后，开始分析数据得出最佳购房时机.最佳购房时机数学模型的建立及其定量分析：第一步：要有足够存款付房子首付，及通过累计存款模型和首付模型的对比得出可以付首付的年份；第二步：要保证付首付以后每月能按期还贷，及通过每年存款模型和贷款模型对比得到付完首付后能按期还款的年份；第三步：通过首付年份与可还款年份的对比得到最终确定买房时间及买房策略.补充说明：分析购房时机时房型分经济适用房、商品房，面积也分几个类别，

2

贷款类型按还款类型分为等额本金还款法和等额本息还款法.买房策略包括买房时间、房型、房子面积、贷款类别等.问题解决流程图：

三、房价模型

3.1数据说明根据山东统计信息网数据显示，每年的商品房建设量和销售量均为房地产业的主要部分，市场显示商品房作为面向大众的主要销售房型，因此考虑本题所买房型主要为商品房.同时根据市场显示，经济适用房的房价由于受政府调控，价格相对较低，约为商品房的一半，因此如果够申请资格可以考虑购买经济适用房，根据2007年1月1日施行的《山东省经济适用住房管理办法》，经济适用房最大面积为85平方米.房价数据为房价指数和2012年实时房价.房价指数数据见附录1，数据采自山东统计信息网《山东统计年鉴》（链接：/2007/default_4.asp）.2012年实时房价数据：商品房根据山东日报2012年7月29日《上半年山东省商品房供销双落》：全省销售商品房2997万平方米，实现销售额1391亿元.得出均价4650元/平方米，经济适用房价根据各地房价采用均价2500元/平方米.注：指数即房地产价格指数，是反映一定时期内房地产价格变动趋势和程度的相对数值，本年指数以上一年价格为100计算，如本年价格600，上一年价格为500，则本年价格指数为600÷500×100=120.3.2符号说明及模型建立符号说明：时间为t，以1978年为t=0,则2012年为t=34计年参数b:如2012年，b=2012房价增长比例为y：经济适用房y1，商品房为y2房价为m：经济适用房m1，商品房为m2

3

b(b)=w(2001)×w(2002)ׄw(b)/100商品房分析数据表2002104.0

1.0400经济适用房分析数据表2002103.0

1.03000.96770.99240.9924b20002003105.21.09412003105.21.0836200420052006107.017131.31472005109.31.25182008108.51.42642006107.51.34572009105.11.49912007104.01.39962010106.01.58912008103.61.4499106.71.69562009102.9b(b)=w(2001)×w(2002)ׄw(b)/100商品房分析数据表2002104.0

1.0400经济适用房分析数据表2002103.0

1.03000.96770.99240.9924b20002003105.21.09412003105.21.0836200420052006107.017131.31472005109.31.25182008108.51.42642006107.51.34572009105.11.49912007104.01.39962010106.01.58912008103.61.4499106.71.69562009102.91.4920102.01.72952010100.51.4994107.51.8592102.01.5294价代入房价趋势模型得到房价预测模型，两个模型呈线性关系.而对模型的要求为短期预测合理，因此仅通过时间来预测房价便可达到要求.由于房价指数是相对上一年，没有固定的参照数，无法作为连续预测数据，根据价格指数的算法，将价格指数转化为每年相对2001年的比值，称为增长比例.具体算法：价格指数记为w,增长比例记为bw(b)=100×y(b)/y(b-1)w(2001)=100w(2002)=100×y(2002)/y(2001)w(2003)=100×y(2003)/y(2002)„„做变换

b(2001)=1

b(2002)w(2001×w(2002)/1002

b(2003)w(2001×w(2002)×w(2003)/1003

„„通过以上变化将两种房型的价格指数化为增长比例，列出数据如下表3.2.1，表3.2.2：表3.2.1年份2001价格指数增长比例表3.2.2年份2001价格指数增长比例分别用各表数据以时间t为横坐标，增长比例y为纵坐标做出散点图可发现增长趋势图可以用一元线性回归分析或对数回归分析来拟合预测.用Matlab软件对两个表数据的拟合得到的模型为：拟合度经济适用房价增长比例线性拟合：y1=﹣0.3086+0.0593t0.9530经济适用房增长比例对数拟合：y1=﹣4.0749+1.6314×ln(t)商品房增长比例线性拟合：y2=﹣1.1150+0.0930t商品房价增长比例对数拟合：y2=﹣6.9536+2.5374×ln(t)注：拟合度越接近1说明拟合效果越好.

4

m1(t)=2500×y1(t)/y1(34)m2(t)=4650×y2(t)/y2(34)经济适用房预测价格表20132639270627702834201420152016m1(t)=2500×y1(t)/y1(34)m2(t)=4650×y2(t)/y2(34)经济适用房预测价格表20132639270627702834201420152016201728952018299520193014202030712021

图3.2.1

通过拟合度对比可知对数回归分析模型略优于线性回归模型，因此选择对数回归模型作为房价增长趋势模型,以下选取的关于y的式子均为拟合得出的对数函数.房价增长趋势模型很好的反映了房价的变化趋势，但要得到房价预测模型还需做以下变换：经济适用房房价模型商品房房价模型由以上模型便可以在短期内合理预测各年的房价.以下给出2012年至2021年间房价表：表3.2.3商品房预测价格表年份2012201320142015201620172018201920202021482249885150530854625612575859006040

表3.2.4年份20122571

5

月收入范围（元）1000-14991500-19992000-24992500-29993000-34993500-39994000-49995000-8000743600000月收入范围（元）1000-14991500-19992000-24992500-29993000-34993500-39994000-49995000-80007436000000198074519912292200211374职工平均工资与各年龄段职工平均工资关系模型40~443010.81.1707165823211037619817551992260120031256745~493244.41.2615269483744332231719827691993314920041433250~543103.21.206616142695248336865532642944273719837891994433820051661455~592962.41.1518036162141217198498519955145200619228总平均工资2571.91.00000024131887198511101996580920072284400023430198613131997624120082640419871428199868542009296881988178219997656201032074

4.1数据说明题目附录给出了《2009年山东省某企业各年龄段工资分布表》和《山东职工平均工资表》，模型由此建立.表4.1.12009年山东省某企业各年龄段工资分布表

年龄段

20-24岁职工数25-29岁职工数30-34岁职工数35-39岁职工数40-44岁职工数45-49岁职工数50-54岁职工数55-59岁职工数

表4.1.2山东职工平均工资表年份19781979平均工资566632年份19891990平均工资19202150年份20002001平均工资887210007

4.2模型建立4.2.1根据统计学原理，抽样调查法能通过样本反映整体的某些特性，通过对《某企业分年龄职工数量及薪酬分布表》中数据研究，可以得出各年龄阶层职工平均工资与总体平均工资的关系.在此假设整体分布不随时间变化.具体算法：年龄段和人数保持不变，月收入范围取中值，利用月收入与对应人数算出全体员工月收入总和以及各年龄段月收入总和，再用总和除以对应人数得到全体员工平均月收入以及各年龄段员工平均月收入.同时可得各年龄段职工平均工资与全体员工平均工资比值.结果见下表：表4.2.1年龄段20~2425~2930~3435~39平均工资1726.52076.52532.62747.3比值0.67130.80740.98471.0682根据此表就可在已知总体平均工资的前提下预测各年龄段职工平均工资.4.2.2职工平均工资预测模型

6

，N(tt)N(t)t：„„„„„（1），N(0)N0指数增长年工资预测201342455dt201448441201555271，N(tt)N(t)t：„„„„„（1），N(0)N0指数增长年工资预测201342455dt2014484412015552712016630642020106880202520670020303997100203577297020401494800趋势.以下采用指数增长模型和Logistic阻滞增长模型两个模型对山东职工平均工资进行拟合.指数增长模型设r为年平均工资增长率（常数），N(t)为t时刻的年平均工资，并设N(t)可

微，N(0)N.对任一段时间t0，从时刻t到tt的年平均工资增长量为0N(tt)N(t)

由假设得rN(t)，

dN令t0得微分方程的初值问题

应用可分离变量法解得方程的通解：NCen

将初始条件N(0)n代入上式，求得CN0，0

故微分方程的解析解为N(t)Nen„„„„(2)，0则用Matlab软件对表4.1.2中数据进行指数增长拟合（程序见附录3），得到模型N(t)=479e0.1319t,拟合度为0.9951，接近1，说明拟合效果很好，预测图如下：

图4.2.1由此模型可预测职工平均工资，给出下表：表4.2.2年份2012工资37209由预测发现到2040年职工年平均工资已达到接近150万元，这个数值对比30年前相差巨大，这是由于没有考虑到经济环境的变化、地球资源条件等因素

7

rrKKK，得dtN(0)N0K

NKNK(70270011564.8e0.1358tN)，rrKKK，得dtN(0)N0K

NKNK(70270011564.8e0.1358tN)，ertC0K„„„„（9）(1)N„„„„(6)，„„„„(7)，„„„„（8）.NK„„„„(5)，Logistic阻滞增长模型随着年平均工资的增长，经济环境的变化、地球资源条件等因素对年平均工资开始起阻滞作用，因而年平均工资增长率会经历先逐渐增长而后逐渐下降．许多国家的实际情况都是如此，特别式发达国家从高速发展到现在的低速发展与此对应的工资增长就出现这样的规律．如果年平均工资增长率随年平均工资数量线性递减.设年平均工资增长率为r(N)，K表示经济环境和地球资源条件的最大年

平均工资容量，r表示固有增长率，即年平均工资很少时的增长率.设r(N)raN，显然N0时，r(N)r.由假设NK时，r(N)0，

即0raK，所以a，r(N)rNr(1

dN用r(N)代替方程（1）中的r

解该微分方程得通解：N(t)1

由N(0)N0，求得C

0

将方程（7）代入方程（6），得N(t)1

0方程（5）和方程（8）称为Logistic阻滞增长模型.取N(0)566（元），用Matlab软件做非线性拟合（程序见附录4）可求出

未知参数K,r，解得K70.2700（万元），r0.1358，

则N(t)

阻滞模型拟合曲线见下图

8

65~690.8074N(t)..........t35~390.9847N(t)..........t

65~690.8074N(t)..........t35~390.9847N(t)..........t40~441.0682N(t)..........t702700,45~491.1707N(t)..........t50~5411564.8e0.1358t

1.2615N(t)..........t55~591.2066N(t)..........t60~64这个模型较好的反映经济环境的变化、地球资源条件等因素对职工平均工资影响，平均工资的数值符合经济发展趋势，能较好的预测职工平均工资.以下给出部分预测工资：表4.2.3Logistic阻滞增长模型工资预测年份2012201320142015201620202025203020352040工资3755842689484705496962256100730174350277000394920503640模型选择

通过对比知Logistic阻滞增长模型能更好的预测职工平均工资，因此选择此模型作为职工平均工资预测模型.根据职工平均工资预测模型和表4.2.1比值数据可以得到工资模型N，

0.6713N(t)..................t34

NN(t)

1.1518N(t)..........t预测题设2012年参加工作的24岁年轻人以后各年的工资（程序见附录5）.预测图如下：

9

201228660198022319917802002392420133913019811982198319842420122866019802231991780200239242013391301981198219831984247298322348199219931994199590910511524193920032004200520064351492459167064201444380198538819962280200781422015502701986426199727122008967320165684019874781998288720091049420176418019885881999317820101161120188820020199919020202021111300124570同时给出预测题设2012年参加工作的24岁年轻人以后10年的工资表：

年份工资

五、消费模型

5.1数据说明居民年平均消费数据采自山东统计信息网《山东统计年鉴》.表5.1.1山东居民年平均消费表年份19781979平均消费169185年份19891990平均消费644698年份20002001平均消费344737265.2模型建立

消费函数是宏观经济学中研究的一个重要问题，而研究和应用比较多的是凯恩斯绝对收入假设下的消费函数，及消费是可支配收入的线性函数.记消费为Y'，假设工资全部为可支配收入，记为N，则可建立模型Y=aN+b,其中a,b为常数.模型中常数为需要求得数据，利用表4.1.2和表5.1.1中数据，用Matlab软件进行一元线性回归分析拟合，得到系数a=0.3597,b=29.6417,拟合度为0.9972.再将前面工资模型代入可得消费模型Y'aN(t)b，a=0.3597,b=29.6417

10

70270011564.8e0.1358tY'29.6417

Y'(t)29.6417201935709数据说明0.359770270011564.8e0.8074Y

11564.8e0.1358tY'29.6417

Y'(t)29.6417201935709数据说明0.359770270011564.8e0.8074Y

1.1707Y,2020400640.1358t'(t)..........t35~390.9847Y'(t)..........t40~44

202144839

'(t)..........t50~5411564.8e1.0682Y'(t)..........t45~49

0.1358t

1.2615Y0.3597702700

'(t)..........t55~591.2066Y'(t)..........t60~641.1518Y'(t)..........t65~69

再利用表4.2.1比例进行转化即可得到消费模型Y,

0.6713Y'(t)..................t34

Y

预测题设24岁年轻人未来年消费数据，如图：

图5.2.1

下表给出部分预测数据：表5.2.1消费预测表年份2012201320142015201620172018消费10338141061599418110204762311431756

六、还贷模型

6.1

目前个人住房按揭贷款共有五种还贷方式,分别是一次还本付息法、等额本金还款法、等额本息还款法、等额累进还款法和等比累进还款法.其中一次还本

11

pnpnpp)ippnnnnpp)ippnnnn

pnpnpp)ippnnnnpp)ippnnnn

pp]ippnnnnppnnppnn1p1pi)1(n1)2n(n1)d2n2

首期还款额F1pi

逐期还款减少额Fi

到期还款总额Fppi123npnpn12(n1)常用的还款方式是等额本金还款法和等额本息还款法.贷款买房首付一般不包含在贷款里面，根据政策，面积在90平方米以上贷款买房的首付不得低于30%，在此将首付比例定为30%来研究.则贷款部分为房价总价的70%.

6.2模型建立6.2.1等额本金还款模型等额本金还款法是指借款人每月等额偿还本金，贷款利息随本金逐月递减.由于还款额逐月递减，所以等额本金还款法又称递减法.利用等额本金还款法还贷，每期归还固定的本金值，同时归还上一期还款到本期还款之间的贷款余额的利息，假设贷款本金为p，贷款总期数为n，贷款期

利率为i，则每期归还本金为，又设每期还款额分别为F,F,F,,F，到期还

款总额为F，则：

Fpi1

F(ppii2

F(p2pi2i3

F[p(n1)pi(n1)in

显然数列F,F,F,,F是一个首项api，公差di的等差数列.123n1将api，di代入等差数列的前n项和公式1Sna得：Fn(npi)n(n1)(ppin1通过上面的推导可以得出等额本金还款法还款的相关计算公式：

（1）；

（2）；

（3）6.2.2等额本息还款模型等额本息还款法又称等额法，它是把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到各个贷款期限中，借款人每期还贷金额相同.利用等额本息还款法还贷，借款人每期以相等的金额偿还贷款本息.假设贷款本金为p，贷款总期数为n，贷款的期利率为i，各期还款额为x，则各期所欠银行贷

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p(1i)n1(1i)(1i)(1i)(1i)，得：n1[1(1i)n]1(1i)p(1i)n1(1i)(1i)2(1i)3(1i)n12a(1qn)1pi(1i)np(1i)n1(1i)(1i)(1i)(1i)，得：n1[1(1i)n]1(1i)p(1i)n1(1i)(1i)2(1i)3(1i)n12a(1qn)1pi(1i)n(1i)131q(1i)n1ip(1i)npi(1i)n(1i)1(1i)n1n1第一个月：p(1i)x

第二个月：[p(1i)x](1i)xp(1i)2x[1(1i)]

第三个月：{p(1i)2x[1(1i)]}(1i)x

p(1i)3x[1(1i)(1x)2]

第四个月：{p(1i)3x[1(1i)(1x)2]}(1i)x

p(1i)4x[1(1i)(1x)2(1x)3]

第n个月：{p(1i)3x[1(1i)(1x)3

(1i)n2]}(1i)x

=p(1i)nx[1(1i)(1i)2(1x)3(1i)n1]由于贷款总期数为n，到了第n期刚和还完银行所有贷款.因此，p(1i)nx[1(1i)(1i)2(1x)3(1i)n1]0

由此求得：x

显然，1(1i)(1i)2(1i)3(1i)n1是首项a1，公比q1i的等1比数列的前n项和.

将a1，q1i代入等比数列前n项和公式S1

1(1i)(1i)2(1i)3(1i)n1

则：x

i通过上面的推导可以得出等额本息还款法还款的相关计算公式：

（1）各期还款额F

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A1=30%×m1(t)×s,经济适用房面积定为s=85A230%×m2(t)×snpi(1i)n(1i)n1

（2A1=30%×m1(t)×s,经济适用房面积定为s=85A230%×m2(t)×snpi(1i)n(1i)n1

七、可付首付时间和可按揭还贷时间

7.1数据说明为了更好地研究具体买房策略，对房子面积和还贷方式进行分类，根据政策经济适用房面积定为85平方米进行研究，同时考虑房子面积会影响舒适度，将商品房研究最小面积也定为85平方米.还贷模型为上诉两种，根据政策贷款期限最大30年，贷款年基准利率最新值为7.05%，各行利率可在基准利率上下浮动，但浮动不会过大，因此以下取年基准利率计算，则期利率,即月利率为i7.05%/120.5875%.7.2模型综合设计7.2.1年存款模型此前已经得到了工资模型和消费模型，由此可用差值将两个模型综合得出年存款C模型：

C=N-Y根据存款模型可预测未来各年的存款，给出部分预测年存款：表7.2.1年份2012201320142015201620172018201920202021存款183202503028390321603637041060564506348071240797407.2.2累计存款模型由上面年存款模型通过累加法可得累计存款G模型：GC

于是可预测题设24岁年轻人未来历年累计存款，给出部分预测累计存款：表7.2.2年份2012201320142015201620172018201920202021累计存款1832043350717401038901402601813202377703012503749004522207.2.3首付模型根据政策，面积在90平方米以上贷款买房的首付不得低于30%，在此将首付比例定为30%来研究.由第三节房价模型，经济适用房房价模型为m1(t)=2500×y1(t)/y1(34)y1=﹣4.0749+1.6314×ln(t)商品房房价模型为m2(t)=4650×y2(t)/y2(34)，y2=﹣6.9536+2.5374×ln(t)记面积为s，则总房价Q=m×s,首付模型：经济适用房首付85平方米，即商品房首付

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经济适用房预测C(贷款30年数据表2012183206375021.502086128730.6599535.81贷款20年数据表20121494G(t)A1(t)t1)/1经济适用房预测C(贷款30年数据表2012183206375021.502086128730.6599535.81贷款20年数据表20121494G(t)A1(t)t1)/12F1t()2013433506554721.852366132331.51102336.82201315362014201520167174010389014026067293689917064422.4323.0023.5526803031342213591393142632.3533.1733.96105037.8020142015201615771617165520171813207225424.094704145934.74107638.752017169320182377707382324.615290149135.49110239.682018173020193012507535325.125936152136.23112740.582019176620203749007684725.626645155236.95115241.472020180120214522207830526.107417158137.65117642.3220211835119943.16122243.987.3.1预测原理及假设说明可付首付时间指题设24岁年轻人在未来某年的累计存款多于想要购买的房子的首付金额，此时他可以负担房子的首付，而他能否买房还得看他以后的工资能否在满足日常生活的情况下同时担负按期还贷，上文提到按揭还贷是分期来还，每期为一个月.在此用来考虑的金额不包括付完首付后的余款，仅考虑每月工资.如果某年他每月的工资能同时负担个人消费与按期还贷，则称为可按揭还贷时间.由于两种还贷方式有所不同，但各自的每期还款额均不大于首期还款额.而题设年轻人工资在前30年是增长的.所以考察他是否能按期还贷只需考察他的月工资是否大于首期还款额.假设每年的存款是在年末总计，因此将买房时间定为年末（房价按当年房价计算），而还贷从第二年开始，则题设24岁年轻人要想在某年买房，需要保证当年的累计存款多于首付，同时还要保证第二年的月工资大于首期还款额.7.3.2时间预测S1可付首付时间

要求：

上面式子表示累计存款大于首付，下面式子表示次年月可用资金不小于首期还款额.面积定为85平方米（上文已有解释），贷款30年.按以上要求通过Matlab软件编程（程序见附录6，附录7）计算得下表：表7.3.1年份累计存款首付总房价/万元次年月可用资金等额本金首期还款还款法还款总额/万元等额本息首期还款还款法还款总额/万元观察表7.3.1可知题设年轻人在2014年末可付得起面积为85平方米的经济适用房首付，并且次年月可用资金（工资减去消费）可付任意一种贷款的首期还款，即可按期还款，但虽然都是30年贷款，等额本金还款总额比等额本息还款法少了近5.5万元，因此选择等额本金还款贷款.同样方法可算得贷款20年的贷款数据：表7.3.2年份等额本金首期还款

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还款总额

首期还款还款总额t1)/12F贷款30年数据表20121.8311.8639.532086239457.01185066.60贷款20年数据表2012277847.2525.41115827.79G(t)A2(t)2t()20134.3412.3040.982366248259.11191869.062013288149.0026.12119028.572014201520167.1710.3914.0312.7还款总额

首期还款还款总额t1)/12F贷款30年数据表20121.8311.8639.532086239457.01185066.60贷款20年数据表2012277847.2525.41115827.79G(t)A2(t)2t()20134.3412.3040.982366248259.11191869.062013288149.0026.12119028.572014201520167.1710.3914.0312.7213.1313.5442.4043.7845.1226803031342225682652273361.15198571.4420142015201629803077317250.6926.82122229.33201718.1313.9346.434704281263.14204973.772017326352.3427.49125330.07201823.7814.3147.705290288965.08211276.032018335353.9428.15128330.79201930.1314.6848.945936296466.96217378.232019344055.5028.79131231.49202037.4915.0550.156645303868.80223380.372020352557.0329.42134132.17202145.2215.4051.347417310970.59229182.472021360958.5130.03136832.8472.34234784.5159.9630.63139633.4974.04240386.5061.3731.21142234.13/万元等额本息还款法/万元观察表7.3.2发现在2014年末买房后题设年轻人仍可负担任一种按期还贷额，且等额本金还贷总额比等额本息还贷总额少将近2.5万，所以仍选择等额本金还贷贷款.且此种贷款20年还款总额比贷款30年少将近5.5万.经济适用房购房策略选择通过对比知题设年轻人购买经济适用房最佳策略为：在2014年末贷款购买85平方米的经济适用房，贷款类型为等额本金还款型贷款，贷款时间20年.S2商品房预测可付首付时间

要求：C(上面式子表示累计存款大于首付，下面式子表示次年月工资不小于首期还款额.由于商品房不限制面积，本文之前限定最小面积85平方米.先以85平方米为研究起点预测买房策略.按以上要求通过Matlab软件编程计算得下表：表7.3.3年份累计存款/万元首付/万元总房价/万元次年月可用资金等额本金首期还款还款法还款总额/万元等额本息首期还款还款法还款总额/万元观察表7.3.3可知题设年轻人在2016年末可付得起面积为85平方米的商品房首付，并且次年月可用资金（工资减去消费）可付等额本息还款贷款的首期还款，且总还款额为65.08万元，也可申请等额本金还款贷款，总还款金额为76.03万元.虽然都是30年贷款，等额本金还款总额比等额本息还款法少了近11万元.同样方法可算得贷款20年的贷款数据：表7.3.4年份等额本金首期还款还款法还款总额/万元

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首期还款还款总额商品房分面积购房最佳模型90

2017等额本金2058.77902017等额本金2058.77215351.68952017等额本息2063.74952017等额本金2063.74223353.591002017等额本金2065.301002017等额本息2065.30231055.441052017等额本金2068.561052017等额本金2068.56238557.241102017等额本金2071.831102017等额本金2071.83245859.001152018等额本金2077.151152018等额本金2077.15252960.70120201880.511202018首期还款还款总额商品房分面积购房最佳模型90

2017等额本金2058.77902017等额本金2058.77215351.68952017等额本息2063.74952017等额本金2063.74223353.591002017等额本金2065.301002017等额本息2065.30231055.441052017等额本金2068.561052017等额本金2068.56238557.241102017等额本金2071.831102017等额本金2071.83245859.001152018等额本金2077.151152018等额本金2077.15252960.70120201880.511202018等额本金2080.51259962.37266663.99273265.58279767.12还款法/万元观察表7.3.4发现在2016年末买房后题设年轻人可负担任一种按期还贷额，且等额本金还贷总额比等额本息还贷总额少大约5万，所以选择等额本金还贷贷款.而且此种贷款20年比贷款30年还款总额少大约11万.但对比85平方米的经济适用房，购房时间晚了两年，还款总额多了20多万.85平方米商品房购房策略选择通过对比知题设年轻人购买85平方米商品房最佳策略为：在2016年末贷款购买85平方米的商品房，贷款类型为等额本金还款型贷款，贷款时间20年.用上面分析方法继续将面积分类，利用Matlab软件编程可很快预测可付首付时间和可按揭还贷时间，并计算不同类型贷款不同时间的还贷总额，从而得到各面积的预测数据表：

可得出以下结果：表7.3.5购房面积/平方米购房时间/年份贷款类型等额本金贷款时间/年20还贷总金额/万元以上分析是综合了各个面积的两种贷款模型的两种不同贷款年限数据对比得出最佳方案.八、最佳购房策略总结

题设2012年参加工作的24岁年轻人规划买房策略如下：方案一若其符合国家经济适用房买房条件，可在2014年末购买面积最大为85平方米的经济适用房.方案二在2017年末至2018年末期间可按照自身发展情况选择购买适当面积（大于85平方米）商品房，如下表所示：购房面积/平方米购房时间/年份贷款类型贷款时间/年还贷总金额/万元

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2004112.32004109.32005108.52005107.52006105.12006104.02007106.02007103.62008106.720082004112.32004109.32005108.52005107.52006105.12006104.02007106.02007103.62008106.72008102.92009102.02009100.52010107.52010102.0

本题要求前三个是收集数据与政策，为了不显突兀，文中并未单独分一个环节列出，而是将所得数据与政策放在每个研究步骤的数据说明环节，以显示数据与政策足以完成题目求解过程.具体数据或政策出处见附录.

十、模型优缺点及改进方向

模型优缺点：除初始条件“2012年参加工作的24岁年轻人”外，其它参数都需要分析建模，这就会导致各参数模型之间存在相对偏差，而这个偏差不可避免，因选取的具体模型不同.但在本文解题过程中每一步均择优选取模型，使每个独立模型的绝对偏差尽量减小.同时在三个基本预测模型中，工资模型与消费模型的线性联系使两者的相对偏差减小.但在第三个模型，房价模型中，仅仅采用分析拟合数据择优得到对数模型，这个模型只能预测短期（大约15年内）的房价.虽然结果显示在十年内可买房而不用考虑之后的房价，保证了房价模型的合理性，但在未知结果的情况下用来解题存在一定不足.改进方向：在房价模型的建立思路上考虑使用更加合理的预测模型，以保证其能更好的预测长期房价数据，为后面的买房策略分析提供更高的合理性保证.参考文献

[1]吴福珍、章珊玫，年平均工资增长预测模型及应用，浙江水利水电专科学校学报，第23卷：第55页至56页，2011年[2]周卫国、郭照庄，核估计法在居民消费模型中的应用，中国知网，消费导刊第1页，2010年[3]赵玉梅，个人住房按揭还贷方式探析，广西民族大学学报（哲学社会科学版），第52页至53页，2008年[4]人民政府，山东省经济适用住房管理办法，2007年[5]山东统计信息网，山东统计年鉴，/2007/default_4.asp，2012年8月20日

附录

附录1商品房价格指数年份200120022003价格指数104.0105.2107.0经济适用房价格指数年份200120022003价格指数103.0105.2105.7

附录2

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clearx=[23:32];s=[23:100];z=[103.0,105.2,105.7,109.3,107.5,104.0,103.6,102.9,100.5,102.0];y=z/100;fork=2:10y(k)=y(k)*y(k-1);endX=[ones(10,1),x'];m=-0.3086+0.0593*s;subplot(2,2,1)plot(x,y,'*',s,m,'r')title('经济适用房线性拟合')clearx=[23:32];s=[23:100];z=[103.0,105.2,105.7,109.3,107.5,104.0,103.6,102.9,100.5,102.0];y=z/100;fork=2:10y(k)=y(k)*y(k-1);endX=[ones(10,1),x'];m=-4.0749+1.6314*log(s);subplot(2,2,2)plot(x,y,'*',s,m,'r')title('经济适用房对数拟合')clearx=[23:32];s=[23:100];z=[104.0,105.2,107.0,112.3,108.5,105.1,106.0,106.7,102.0,107.5];y=z/100;fork=2:10y(k)=y(k)*y(k-1);endX=[ones(10,1),x'];m=-1.1150+0.0930*s;subplot(2,2,3)plot(x,y,'*',s,m,'r')title('商品房线性拟合')clearx=[23:32];s=[23:100];z=[104.0,105.2,107.0,112.3,108.5,105.1,106.0,106.7,102.0,107.5];y=z/100;fork=2:10y(k)=y(k)*y(k-1);endX=[ones(10,1),x'];

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m=-6.9536+2.5374*log(s);subplot(2,2,4)plot(x,y,'*',s,m,'r')title('商品房对数拟合')

附录3clearx=[0:32];y=[566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,32074];X=[ones(33,1),x'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(log(y)',X,0.05)

附录4cleart=[0:32];y=[566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,32074];fun2=@(c,t)c(1)./(1+(c(1)/c(2)-1)*exp(-c(3)*t));c=lsqcurvefit(fun2,[287805660.1325],t,y)Q3=sqrt(sum((y-c(1)./(1+(c(1)/c(2)-1)*exp(-c(3)*t))).^2))ti=0:0.1:100;yi=c(1)./(1+(c(1)/c(2)-1)*exp(-c(3)*ti));plot(t,y,'bo',ti,yi,'r')title('平均工资Logistic曲线拟合')

附录5

clearx=34;z(1)=0.6713*702700./(1+1564.8*exp(-0.1358*x));%工资，已有系数y(1)=z(1)*0.3597+29.6417;%消费A(1)=z(1)-y(1);fork=2:6z(k)=0.8074*702700./(1+1564.8*exp(-0.1358*(k+33)));y(k)=z(k)*0.3597+29.6417;A(k)=z(k)-y(k);endfork=7:11z(k)=0.9847*702700./(1+1564.8*exp(-0.1358*(k+33)));y(k)=z(k)*0.3597+29.6417;A(k)=z(k)-y(k);end

20

fork=12:16z(k)=1.0682*702700./(1+1564.8*exp(-0.1358*(k+33)));y(k)=z(k)*0.3597+29.6417;A(k)=z(k)-y(k);endfork=17:21z(k)=1.1707*702700./(1+1564.8*exp(-0.1358*(k+33)));y(k)=z(k)*0.3597+29.6417;A(k)=z(k)-y(k);endfork=22:26z(k)=1.2615*702700./(1+1564.8*exp(-0.1358*(k+33)));y(k)=z(k)*0.3597+29.6417;A(k)=z(k)-y(k);endfork=27:31z(k)=1.2066*702700./(1+15