二元一次等式（组）与平面区域

第二章数列§2.5

等比数列的前n项和(二)1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n项和有关的问题.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一等比数列的前n项和的变式答案na1答案－Aqn＋A

思考在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k等于________.答案

答案等比q思考在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6等于(

)A.140 B.120C.210 D.520返回解析答案解析S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.A题型探究重点突破题型一等比数列前n项和的性质例1

(1)等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则S4＝______.解析答案解析∵数列{an}是等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也是等比数列，即7，S4－7,91－S4也是等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2·(1＋q2)＞0，∴S4＝28.28(2)等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____.解析答案反思与感悟

2解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，常常可以避繁就简.不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论.解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件，并结合题设条件寻找使用性质的切入点，方可使“英雄”有用武之地.反思与感悟解析答案即1＋q3＝3，所以q3＝2.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式.解析答案解设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.题型二等比数列前n项和的实际应用例2

小华准备购买一台售价为5000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.解析答案反思与感悟解方法一设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，…A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，解析答案反思与感悟故小华每期付款金额约为880.8元.方法二设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则：A2＝x；A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；…A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).∵年底付清欠款，∴A12＝5000×1.00812，即5000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，故小华每期付款金额约为880.8元.反思与感悟分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题，此类题目的特点是：每期付款数相同，且每期间距相同.解决这类问题有两种处理方法，如本题中方法一是按欠款数计算，由最后欠款为0列出方程求解；而方法二是按付款数计算，由最后付清全部欠款列方程求解.反思与感悟解析答案

返回解析答案题型三新情境问题例3

定义：若数列{An}满足An＋1＝An，则称数列{An}为“平方数列”.已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x2＋2x的图象上，其中n为正整数.(1)证明：数列{2an＋1}是“平方数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；解析答案2∴数列{2an＋1}是“平方数列”.∵lg(2an＋1＋1)＝lg(2an＋1)2＝2lg(2an＋1)，且lg(2a1＋1)＝lg5≠0，∴{lg(2an＋1)}是首项为lg5，公比为2的等比数列.(2)设(1)中“平方数列”的前n项之积为Tn，则Tn＝(2a1＋1)(2a2＋1)·…·(2an＋1)，求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；解析答案解∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴lg(2an＋1)＝2n－1lg5.∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝(2n－1)lg5，∴Tn＝

－1.(3)对于(2)中的Tn，记bn＝logTn，求数列{bn}的前n项和Sn，并求使Sn＞4024的n的最小值.解析答案2an＋1反思与感悟解析答案2an＋1∴n的最小值为2013.反思与感悟数列创新题的特点及解题关键特点：叙述复杂，关系条件较多，难度较大.解题关键：读清条件要求，理清关系，逐个分析.反思与感悟解析答案跟踪训练3

把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2))；如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了___个正方形；解析8×9＋1＝73.73解析答案(2)第n个图形共挖掉了______个正方形，这些正方形的面积和是________.

原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为返回当堂检测12341.等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于(

)解析答案1234∴a2＝1，又∵a4＝4，∴数列a2，a4，a6，…，a2n是首项为1，公比为4的等比数列.答案B2.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于(

)A.3 B.4 C.5 D.6解析设每天植树棵数为{an}，则{an}是等比数列，∴an＝2n(n∈N*，n为天数).由题意得2＋22＋23＋…＋2n≥100，∴2n－1≥50，∴2n≥51，∴n≥6.∴需要的最少天数n＝6.1234D解析答案12343.等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是(

)A.28 B.48C.36 D.52A解析易知Sm＝4，S2m－Sm＝8，∴S3m－S2m＝16，∴S3m＝12＋16＝28.解析答案1234解析答案4.已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列.求证：2S3，S6，S12－S6成等比数列.证明设等比数列{an}的公比为q，由题意得2a7＝a1＋a4，即2a1·q6＝a1＋a1·q3，∴2q6－q3－1＝0.令q3＝t，则2t2－t－1＝0，当q3＝1时，2S3＝6a1，S6＝6a1，S12－S6＝6a1，解析答案1234∴2S3，S6，S12－S6成等比数列.解析答案1234∴2S3，S6，S12－S6成等比数列.综上可知，2S3，S6，S