Noi初赛问题求解专题

LET’SMAKETHINGSSIMPLEANDCOOL从离散数学

解析

问题求解——ByDirak嵊州市城关中学宋子健CONTEST一览SIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA2目标排列组合和基础原理：排列，组合，鸽巢，容斥浅谈常见模型：Catalan，全错位数学建模：排序问题演练：习题CombinatorialSIMPLEANDCOOL离散数学3WWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA名词解释：离散数学即组合数学，一般研究图论、代数结构、数理逻辑等离散对象，所谓离散即不连续。排列数P(n,m)：从n个数中取m个数进行排列，所可能取得的情况种数。计算公式：引申：m个数的全排列种数为m！组合数C(n,m)：从n个数中取m个数所可能的情况种数计算公式：引申：C(n,m)=c(n,n-m)4离散数学CombinatorialWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINASIMPLEANDCOOL容斥原理

用韦恩图表示为右图。A、B、C为三个独立的集合，得：即：将所有元素合并，再去掉重复计算的部分，即为总共的元素个数。Combinatorial鸽巢原理也称抽屉原理。有n个鸽巢和(kn+1)只鸽子，将鸽子放进鸽巢，则至少有一个鸽巢有(k+1)只及以上的鸽子。可用反证法证明。实际问题中的鸽子和鸽巢往往要抽象得多，常需要根据题意自己构造。SIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA5离散数学WWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINACatalan数

设有一(n+2)边形（只考虑凸多边形），则可以画出(n-1)条不相交的对角线将其分割成n个三角形，设所有可能的情况种数为，且定义。

先以一条边为底边，显然该边所在的三角形会把n边形分成两个部分（如图是一种可能的情况），设左边有(k+2)条边，则右边有(n+2)-(k+2)-1=(n-k-1)条边。

根据乘法原理，这样可能的情况数为

由于k的大小可以从0变化到n-1，∴得：

6常见模型MODELSIMPLEANDCOOLMODEL数列即著名的Catalan数列。用生成函数的知识可得它的通项公式：常见Catalan应用：由1和-1各n个组成的数列满足对于任一正整数k,该数列可能种数n个元素的出栈顺序可能数有n个节点的二叉树可能形态数……

SIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA78常见模型MODELSIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA全错位排列

有1~n号信箱和1~n号邮件，每一封邮件都没有放进所对应的信箱，求放邮件的可能情况种数。利用容斥原理：

得通项公式：利用递推法：MATHMODELING【例1】对于一个有5个元素的数组，最少需要几次比较才能保证数组有序？【答案】

7次【分析】

由于原题的解析太(看)繁(不)琐(懂)，我们引入决策树的概念来解决题目。我们对元素进行比较时只有两个结果：a>=b或a<b,由此根据两个结果引发两种不同的决策，因此该决策树是二叉树。因为有5个元素，最后排列结果有5！=120种，即该决策树有120个叶子节点，因为叶子节点的深度就是所需的比较次数，而120>2^6，因此深度为6次或更少的决策树叶子节点没有120个，不能确定排列顺序。故答案为7次。

对于n个元素的排列，需要比较次数学建模SIMPLEANDCOOLWWW.SBJSHWK.COM||+1813571145|OYSBSTREET12345,OYSBISMADEINCHINA9MA孟TH吹M崭OD拖EL何IN杯G【例示2】将数锣组{委8,尽23蹈,4克,1酱6,的77浇,-鉴5,斧53榜,1蛇00亮}中书的元鼓素从肆小到该大排神列，央至少岩需要交换挡几次宁？【答币案】5次【分同析】排列秧后的独数组藏为{辞-5孩,4刑,8红,1抱6,涛23料,5朽3,并77蚁,1贝00披}。答发现蹦元素限位置甩的变训化如疫图：SI辈MP喘LEAN海DCO男OLWW咬W.SB凯JS熄HW狱K.C我OM外|霜|虹+18孔13筛57荡11呼45|OY抄SBST历RE井ET亲1卡23舞45仍,OY造SB娃I客S们MA铲DE奶I安N衔CH达IN符A10数学现建模11数学开建模MA酒TH泰M持OD阀EL伙IN慢GSI乱MP鞋LEAN浪DCO萄OLWW透W.SB沉JS伍HW锋K.C床OM促|金|瞒+18朽13肆57但11搭45|OY恐SBST电RE颜ET更1浪23稀45诵,OY伏SB办I掌S母MA惰DE丘I勤N驻CH拉IN扮A我们米画一新个有壶向图锐，从淡初始栗状态啦位置块上的窃数向吴排列嗓后位依置上报的数卸引一英条有址向边鸟。发现歪形成贞了几拉个环射（包储括自骄指的波节点便）。遵如果辜要在习最少搜次数优内排脱序，虑显然陡两个寄环中率的元素贵交换懒位置烈是没逝有意惠义的绳（因火为肯富定还摩要换冠回来京），花因此垂只需益要将眨各个陡环交委换好痒顺序即称可。捞显然斜一个柔包含引k个忽元素启的环诞排序横需要孟交换处(k泛-1捎)次傅，所肌以总金共要奔交换碧5次通。对于烦N个赔元素升的数先组，宏设形惕成n牧个环朝，第扛i个隆环有恐k[茧i]嗽个元钢素。派则需欠要交抄换：(k宋[1田]-辅1)横+(怜k[行2]店-1素)+贱…+兵(k盐[n缴]-赠1)堆=N抹-n稿次乱。EX缸PE柳RI妖EN序CE撒经核验WW创W.SB德JS茂HW樱K.C舱OM狐|坏|趋+18该13刺57年11劝45|OY迎SBST珍RE脱ET辨1什23专45杀,OY纺SB咳I意S辜MA鞋DE释I币N间CH罚IN档ASI怨MP哪LEAN恰DCO如OL12EX奏ER拆SI捐CESI表MP廉LEAN柜DCO俊OLWW采W.SB天JS池HW陶K.C穗OM傍|绘|途+18哪13蒜57疼11长45|OY怪SBST笨RE陕ET剧1繁23旱45询,OY烈SB惨I馋S客MA珠DE竹I忆N涛CH吧IN类A习题13在圆徒周上态有7注个点增，在呀任两陪个点扎之间疲连一持条弦头，假涂设任窑三条底弦不锤交于红一点辛。问千把7文边形桌分成友几个泄三角乘形定义嗽字符浪串的门基本笨操作走为：蛾删除吩一个浸字符始、插离入一删个字斩符和翻将一暮个字沉符修丽改成另一吉个字献符这耀三种貌操作怀。将宵字符穿串鸦A丢变成偶字符着串肚B习的最乐少操州作步毁数，啊称为衔字符串境A数到烟字符猛串泰B互的编古辑距旧离。屿字符醒串"丛AB笔CD即EF慨G"摇到字怖符串宪"B脏AD险EC筒G"杂的编辑曲距离赚为_粉__切__赛__售_。II咐I.懒在凝N继OI御期驱间，棍主办乏单位离为了罚欢迎危来自幸全国剥各地禾的选舰手，至举行耐了盛更大的筑晚宴码。在强第十御八桌窄，有棕5违名她大陆朴选手巧和终5剧名港赠澳选迷手共涂同进秀膳。棚为了察增进袍交流旺，他托们决怜定相盼隔就欣坐，智即每屈个大遣陆选蝴手左这右相浴邻的遭都是黄港澳丧选手细、每胜个港盼澳选降手左恒右相顶邻的那都是尝大陆倦选手充。那您么，秘这一遵桌共狭有_羞__展__宗__张__排种不显同的奶就坐边方案券。注督意：竖如果丸在两步个方障案中呜，每磁个选哑手左吊边相粒邻的林选手扁均相叉同，羊则视善为同听一个倦方案冒。IV努.议现有美80融枚硬兰币，舰其中钓有一植枚假挽币，炕重量舌较轻漂，给狱你一觉个天绢平，找最少腹需要遥称量捕几次懂才能浴找出沾假币织？14送学纳习资沙料哦旬，祝莲早日顺转V每ij魔os刚/C另++↓↓挽↓↓扔↓↓SI舟MP支LEAN汤DCO速OLWW奇W.SB伪JS霞HW敬K.C姓