MALAB实用教程第郑阿奇第三章

第3章MATLAB符号计算

UsingSymbolicMathToolbox3.1符号表达式的建立

3.2符号表达式的代数运算

3.3符号表达式的操作和转换

3.4符号极限、微积分和级数求和

3.5符号积分变换

3.6符号方程的求解

MATLAB具有符号数学工具箱(SymbolicMathToolbox)。符号计算是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。与数值运算的区别:

※数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。※符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的符号形式表达。

符号运算的功能符号线性代数(linearalgebra)因式分解、展开和简化(simplificationandsubstitution)符号代数方程求解(solvingequations)符号微积分(Calculus)符号微分方程3.1符号表达式的建立

3.1.1创建符号常量符号常量是不含变量的符号表达式。sym(‘常量’) %创建符号常量sym(常量,参数)%按某种格式转换为符号常量说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’四种格式，也可省略。

EX:>>a=sym('sin(2)')

>>a=sym(sin(2),'r')3.1.2创建符号变量和表达式

(CreatingSymbolicVariablesandExpression)1.使用sym命令创建符号变量和表达式sym(‘变量’,参数)%把变量定义为符号对象2.使用syms命令创建符号变量和符号表达式

syms(‘arg1’,‘arg2’,…,参数) symsarg1arg2…,参数

例如：>>f1=sym(‘a*x^2+b*x+c’)%创建表达式>>symsabcx %创建变量>>f2=a*x^2+b*x+c %创建表达式>>syms('a','b','c','x')>>f3=a*x^2+b*x+c

符号表达式（）中的参数一定要用''单引号括起来。

3.1.3符号矩阵例如，使用sym命令创建的符号矩阵：

>>A=sym('[a,b;c,d]')例如，使用syms命令创建相同的符号矩阵：>>symsabcd>>A=[ab;cd]比较符号矩阵与字符串矩阵：>>B=‘[a,b;c,d]’ %创建字符串矩阵>>C=[a,b;c,d] %创建数值矩阵???Undefinedfunctionorvariable'a'.3.2符号表达式的代数运算

符号表达式的代数运算由于MATLAB采用了重载技术，使得符号表达式的运算符和基本函数都与数值计算中的几乎完全相同。例如：>>A+2>>A.’>>det(A)>>A^2 例如：>>f=sym('2*x^2+3*x+4')>>g=sym('5*x+6')>>f+g>>f*g

1.符号运算中的运算符基本运算符运算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”分别实现符号矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。运算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现符号数组的乘、除、求幂，即数组间元素与元素的运算。运算符“′”，“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、非共轭转置。(2)关系运算符运算符“==”、“~=”分别对运算符两边的符号对象进行“相等”、“不等”的比较。2.幅函普数运您算三角凳函数管和双饿曲函研数(2煮)指数收和对挠数函荡数(3腰)复数车函数(4哥)矩阵琴代数态命令3.行2.聚2住符号波数值泊任意特精度虾控制酿和运终算在Sy卷mb专ol许ic弱M下at任h雅To场ol倾bo刮x中有刚三种份不同咬的算赖术运宵算：数值纵型：MA乌TL沫AB的浮魔点运驳算。有理佛数型敢：Ma兄pl剖e的精判确符拌号运椒算。VP位A型：Ma蚕pl浊e的任丈意精认度运全算。任意路精度句的V蠢PA斥型运就算可堤以使么用d素ig钓it押s和纠vp蒜a命境令来猫实现参。di框gi蹦ts矩(n蛙)忌%馅设定猎默认琴的精升度S=柏vp努a(动s,户n)调%纽奉将s殿表示害为n余位有较效位框数的探符号扩对象3.栏2.酸3聋符号聚对象攀与数符值对韵象的钳转换将数护值矩俗阵转劝化为梅符号丛矩阵函数隙调用羞格式烈：s和ym贩(A懒)EX卖:>弟>卧A=贴[1油/3故,2截.5抚;1券/0答.7山,2冶/5量]>>呢s我ym锯(A踢)将符奸号矩涌阵转顶化为宇数值喇矩阵函数男调用率格式米：蹈nu笛me狸ri六c(趴A)EX健:>许>汁a=卖sy侨m(交'2恢/3给')>>猪b定=n孕um驼er料ic芝(a冶)3.绳3符堡号表绢达式迷的操淋作和抱转换符号动表达在式中洽自由狭变量矛的确暑定符号津表达绘式“届f=践ax蚊2+渡bx镜+c年”裕中只牢有一磁个变昨量是陕独立然变量袖：小写薯字母i和j不能油作为拍自由纷变量足。符号乌表达磨式中她如果乖有多裳个符趣号变呆量，球则按厉照以坦下顺咽序选觉择自设由变廊量：汗首先梦选择x作为木自由稀变量芹；如烈果没督有x，则选库择在荷字母堂顺序拌中最滥接近x的字堤符变日量；猪如果叫与x相同毒距离姓，则禽在x后面座的优围先。大写雅字母未比所暑有的梅小写盾字母席都靠约后。也可浪以用fi陷nd砌sy碰m函数来自概动确砍定。自由本变量拐的确提定原准则（技Th捧e令De闭fa英ul御t幸Sy尾mb象ol窄ic崭V怪ar躬ia糕bl学es鼠)符号剪表达吧式的挖化简（S摔im成pl哭if顽ic父at生e)同一窗个多竞项式瞒的符嘉号表危达式练可以裙表示云成三蹄种形艰式：多项先式形等式的鄙表达周方式漏：f右(x重)=烤x3+6咏x2+1矛1x浪-6因式拉形式靠表达刻方式高：f然(x摔)=拐(x巨-1闹)(崭x-而2)旅(x网-3队)嵌套谨形式瓣的表雪达方夺式：符f(笨x)熊=x爬(x宴(x贞-6旧)+淹11悬)-趣6pr照et旷ty欢：给出享排版著形式什的输幻玉出结叼果。co贷ll驰ec略t：涂将表贡达式慈写成多项气式形式专.3蜂2x按-须6木x邻+州11以x铜-盗6x^抚3-赵6*闲x^锦2+阔11麦*x绞-6ho狮rn喝er唉：将多项赠式形式悠写成嵌套毕形式fa芽ct哑or槽：将泻表达阿式写半成因式造形式ex恒pa遵nd倾：将谨表达悟式写煮成多项沿式形式si磨mp阶li爷fy怎：对拒表达良式进倍行化斥简例如蔬：如k=岭sy冻m(教'c自os控(x陕)^察2-炒si奸n(舌x)禾^2剩')si筋mp净li拥fy阶(k串)si谊mp苏le叉：寻猛求表存达式挺的多暑种简王化形盆式，椒使之醉包含点最少陡数目夫的字太符-6谋+(荣11僚+(云6+启x)笛*x蔽)*禾x2*键co钳s(料x)庆^2监-1(x顷-1奔)*松(x治-2缘瑞)*啊(x惨-3鼓)3.柴3.桂3符号展表达捧式的诵替换孙（Su况bs赞ti贤tu续ti胀on庙s)su步bs拖函数献：对摘符号映表达述式中景符号驻变量叨的替驼换。su词bs市(s诊)%诉用给纳定值升替换涨符号矩表达隔式s摧中的巴所有译变量su减bs厦(s茎,n好ew钱)%晌用n妥ew幻玉替换载符号蔬表达戒式s澡中的苦自由雕变量su温bs有(s渐,o革ld言,n策ew认)陶%镰用n俱ew薄替换沉符号踏表达蓬式s突中的着ol聪d变怠量例：>>鲜f影=s睡ym侵('秋x^录3-愈6*殊x^垫2+判11耽*x累-6列')>>访x稀=5>>平s们ub撤s(婶f)>>岔su混bs揭(f翻,5疫)>>仇su拿bs墨(f恶,’窗x’丢,5棍)可以鸽用来且计算塑多项数式的滨值，僵以及厚化简亭。3.昆3.促4求反束函数律和复凳合函私数1.奥求省反函蚕数对于雕函数痕f(卡x)家，存壁在另桃一个魂函数本g(如.)疯使得救g(肝f(朱x)哥)＝昨x成锹立，罚则函族数g扰(.菜)称墙为函碌数f葛(x异)的雹反函司数。g=冠fi余nv怨er茅se茂(f始,v爬)%对序指定曲自变安量v值的函抹数f茅(v暮)求带反函版数2.笛求但复合炸函数运用划函数虚co较mp户os沿e可秃以求洗符号哀函数服f(姻x)引和g量(y堪)的细复合浑函数搁。co兽mp师os加e(摊f,抢g,镜z)喝%求涉f(牧x)坊和g比(y武)的援复合央函数初f(赶g(耕z)免)3.锄3.糟5符号倒表达善式的计转换1.剧符产号表吹达式通与多与项式义的转再换构成启多项番式的咽符号金表达汤式f杨(x替)可脾以与逼多项碎式系魔数构先成的梯行向季量进迁行相凤互转善换，悲MA迈TL锅AB董提供象了函袋数sy咸m2邮po蜂ly和po捉ly怜2s张ym实现款相互凯转换培。2.骆提熄取分刮子和党分母如果厕符号贡表达牙式是星一个梢有理客分式妈(两活个多狐项式六之比铃)，末可以盘利用云nu娃md喊en炒函数沈来提鱼取分拆子或辆分母厌，还雅可以逆进行肾通分至。[n枯,d屿]=缓nu赠md乡丰en饥(f田)EX眠:提取果分子锅和分汤母系书数。>>峰f悠=s旱ym堂('升(1告+2服*s时)/道(s汁^2岗+2至*s嫁+1滨)'锦)>>娇p景re奥tt厕y(副f)1四+趴2驴s--骄--预--勾--辩--性--2s压+追2坏s系+行1>>当[哲n,挺d]朝=n辨um字de疲n(启f)>>素n层1=储sy旬m2畅po画ly筹(n浙)>>庙d舅1=膛sy忽m2誓po鄙ly震(d物)3.欠4符号谈极限指、微稻积分荒和级酿数求低和符号串极限必（L缝im艘it先s）【例节3.犁14述】分尿别求患1/礼x在值0处狂从两辽边趋蹦近、展从左庙边趋稼近和使从右盆边趋届近的构三个文极限钟值。>>蒜f柴=s脸ym枣('杨1/井x'脖)>>狠l炸im摄it翁(f杏)眯%对置x求董趋近宴于0牛的极蓄限>>津l村im流it扮(f程,'金x'饰,0俩)劈燕%对姻x求汪趋近刻于0忘的极狠限>>秤l议im丝式it旧(f摔,'的x'祸,0抢,'茫le扶ft规')说%缴左趋宫近于颠0>>抢l络im扭it抚(f童,'唯x'剪,0辰,'盗ri与gh顶t'独)勉%右所趋近档于03.畜4.呢2符号崖微分（D染if念fe圾re管nt院ia桂ti拜on持）函数摸di拍ff突是用歼来求勿符号悦表达拔式的衬微分租。di孙ff幅(f门)糟%求咸f对佣自由绪变量良的一耀阶微丑分di萄ff践(f蜘,t券)%正求f阁对符睡号变孝量t尊的一梅阶微抖分di可ff蛇(f妄,n妙)%伸求f堡对自虑由变争量的岭n阶密微分di筹ff健(f捎,t隐,n俱)%则求f柏对符冈号变遗量t革的n看阶微主分3.糟4.界3符号涂积分（I柄nt盈eg石ra翻ti绸on脏）积分迈有定历积分葡和不畅定积劝分，伴运用烂函数凡in也t可猛以求裕得符乞号表孟达式炼的积盘分，贴即找棕出一势个符呼号表搅达式榴F使倒得d洗if种f(玩F)帅=f吴，也匠可以剑说是幕求微必分的门逆运圈算。in圈t(浙f,易’t雕’)蜜%求腹符号悠变量杰t的饥不定旗积分in抄t(握f,左’t户’,验a,陪b)雷%轨求符纱号变立量t斥的定际积分in廊t(愁f,仿’t轰’,璃’m窑’,以’n箩’)煎%票求符种号变颂量t从的定偿积分3.蓄4.醉4符号鸭级数1.净s慈ym艳su掏m函伶数（Sy充mb室ol休ic塑S毯um惊ma熊ti落on愚）sy翠ms笨um器(s乘,x孩,a煌,b闪)奶%计拢算表棕达式疗s的著级数吸和说明正：x煌为自锻变量厅，x咳省略间则默酸认为转对自取由变油量求绿和；示s为害符号是表达亿式；浩[a吉,b骆]为掉参数态x的焰取值译范围冲。2.趁t盘ay领lo秆r函犹数（Ta细yl厘or嗓S如er滥ie古s）ta俩yl忧or沸(F响,x先,n蹲)迅%求乎泰勒扯级数睬展开说明森：x姻为自愿变量夸，F刚为符腐号表名达式竖；对第F进梁行泰轧勒级之数展萌开至事n项槽，参凯数n嚷省略煌则默湿认展妹开前塔5项各。3.犹5符号积积分驾变换傅里留叶变砍换及她其反辈变换1.免f却ou告ri焦er使变换F＝暗fo挣ur直ie指r(剃f,奸t,狗w)埋%求杨时域同函数亚f(系t)既的f赞ou横ri仗er评变换屿F说明意：返珠回结胃果F牧是符挨号变廊量w盛的函焰数，副f为僻t的末函数盗。2.开f颈ou蛮ri炭er鉴反变歌换f=肃if筛ou尚ri影er惧(始F,护w,言t)说明仙：i故fo池ur哥ie撞r函晃数的撕用法畏与f逆ou老ri牲er设函数火相同秆。>>堡s叉ym啦s号t湿w>>塞F猾=f宇ou聚ri义er符(1箱/t梳,t股,w哨)香%笋fo匆ur对ie气r变朵换F浊=i搜*p巧i*霞(H吉ea秆vi饱si勒de熟(-喜w)效-H剥ea扣vi正si亮de而(w谷))拉普耽拉斯门变换映及其谎反变渠换1.刚L屋ap如la源ce须变换F=云la饥pl网ac盟e(枪f,锣t,蚀s)识%遗求时弱域函攀数f异的L忌ap担la亩ce垃变换麦F说明厚：返剥回结筹果F颠为s劣的函家数，费当参敬数s壤省略睛，返刊回结吊果F嘴默认驶为'挥s'佣的函电数；钳f为松t的洁函数沿，当存参数旨t省毅略，六默认申自由效变量拦为'浇t'堆。2.怕L浊ap喇la映ce集反变规换f＝洋il智ap岭la右ce贷(F赢,s购,t材)辅%盘求F蔬的L盛ap辩la迈ce锣反变擦换f>>典s施ym叶s嚼a矛t胡s>>傍F袜1=困la弟pl拐ac胶e(你si伤n(费a*洽t)饼,t赖,s与)贫%s密in手at蹄的L再ap页la傍ce意变换F1梯=期a/符(s杰^2拉+a群^2煌)3.按5.街3再Z变换蜂及其脊反变灭换1.具z瘦tr誉an钳s函茫数F＝目zt面ra土ns趣(f脑,n增,z删)砖%求坑时域滨序列第f的跪Z变肚换F说明匀：返肾回结繁果F岛是以悟符号决变量菊z为虫自变绞量；娃当参疲数n赚省略浴，默缩慧认自所变量尊为'狗n'支；当富参数浅z省耕略，穷返回奸结果恩默认敌为'催z'须的函胶数。2.骡i症zt共ra揉ns劣函数f＝命iz态tr尚an唯s(肥F,治z,叫n)格%徐求F旦的z打反变悠换f>>窜s康ym黄s逐a稳n族z败t>>到F召z3屠=z持tr板an蛾s(冬ex蚂p(暂-a右*t湾),闲n,隆z)叛%e-a抹t的Z交变换Fz樱3倒=e肃xp熔(-荒a*缠t)距*z盈/(挪z-泪1)3.栏6符号粉方程征的求愈解3.支6.沃1代数剧方程MA扑TL良AB矛可以满用s俘ol卡ve改命令深给出雹方程霞的数霜值解鹿。so工lv磁e(凑‘e肌q’岔,’暮v’志)%围求方顺程关栗于指照定变培量的臂解so除lv胆e(酿‘e托q1句’,签’圆eq塞2’苹,’网v1批’,淹’v垄2’业,…脸)%求责方程餐组关身于指傅定变边量的上解例如吸，解切方程立：>>捎s影ol味ve播(‘推a*馋x^茅2+胶b*锤x+假c’钳)>>假s鄙ol视ve动('艇a*掏x^乡丰2+茅b*振x+策c=券0'均)>>霉s稠ol临ve薄('贿a*败x^剥2+往b*默x+进c=旺0'宫,'熊x'禁)【例纺3.晕22统】求努三元狸非线第性方滔程组障的解落。>>送e壶q1华=s用ym雪('放x^带2+舌2*有x+赔1'其);>>劣e颈q2划=s迫ym苗('倡x+使3*怪z=竭4'填);>>报e诱q3袋=s始ym绩('汤y*孕z=抗-1松')佩;>>彼[勤x,荡y,坐z]颤=s崭ol劲ve鸭(e较q1讨,e鉴q2睡,e阿q3把)斯%概解方葱程组星并赋密值给拢x,分y,秋zx抖=-似1y倦=-多3/竹5z脚=5离/33.洋6.芳2符号杀常微剑分方郑程MA岛TL异AB刮提供党了d馅so伞lv锁e命粗令可逼以用腥于对耗符号漏常微梳分方环程进仔行求主解。ds绿ol积ve泼(‘箱eq加’,竿’c街on量’,顿’v星’)半%揭求解盘微分鄙方程ds炎ol摊ve谜(‘屯eq率1,时eq搬2…思’,解’c纯on悲1,否co剑n2轰…’份,’辞v1迈,v付2…墓’)传%主求解刊微分买方程耐组说明灾：’辟co宁n’郊是微仁分初井始条趁件，救可省腰略；此’v持’为淘指定兔自由价变量骗，省怒略时阳则默姨认为妥x或心t为鸭自由花变量宰。y的功一阶围导数地为D瞎y；偿y的拥n阶屿导数边表示汉为D伞ny胸。EX死:妨y纹(1遍)=牲0，y(宇0)溜=0>>罗y柜=d御so倾lv岁e(僻'x脸*D慎2y浆-3论*D冰y=造x^命2'劳,'棋x'喜)锤%求微捉分方旋程的栋通解y弯=-1券/3樱*x绵^3偶+C膏1+听C2急*x朋^4>>婆y粉=d催so候lv跨e(歌'x态*D貌2y滤-3植*D敌y=罗x^迎2'殃,'凝y(滋1)蚕=0番,y豆(0免)=绒0'挨,'对x'叠)晓%求微肌分方浇程的辨特解y址=-1肝/3稿*x迈^3亲+1竟/3路*x就^43.乘7符号夜函数止的可免视化3.岗7.彻2图形编化的椒符号迟函数晌计算诉器在MA言TL督AB命令提窗口贩输入造命令减“fu前nt面oo胸l”，仙就会招出现陕该图川形化缓函数罚计算巷器。3.驶8染Ma读pl寻e函济数的候使用宏访旁问M奋ap坦le释函数1.醒m壶ap净