文件课件2自控

第四节用描述函数法分析非线性系统设非线性系统闭环频率特性：1(8

-

20)N

(

X

)或

G(

jw

)

=

-C(

jw

)

=

N

(

X

)G(

jw

)

R(

jw

) 1

+

N

(

X

)G(

jw

)特征方程为：

1+

N(X)G(jw)

=0(8-19)非线性特性的负倒描述函数对于某一个特定的X0及ω0，式(8-19)或式(8-20)成立，这相当于线性系统中G(jw)=-1的情况，会产生等幅的周期性振荡。式中-1/N(x)为描述函数的负倒特性，它相当于线性系统的临界点（-1，j0）。一、奈魁斯特稳定判据的应用在复平面上同时作出线性部分的频率特性G(jw)及非线性部分描述函数的负倒数特性-1/N(x)，判别非线性系统稳定性的方法如下：(1)如果在复平面上,-1/N(x)曲线不被G(jw)曲线所包围,如图8-26(a)所示，则非线性系统是稳定的。(2)如果在复平面上，-1/N(x)曲线被G(jw)曲线所包围，如图8-26(b)所示，则非线性系统是不稳定的。(3)若-1/N(x)曲线与G(jw

)曲线相交，如图8-26(c)所示，则非线性系统中产生周期性振荡(称为自振荡)，振荡的振幅由-1/N(x)曲线交点处对应的X值决定，振荡的频率由G(jw)曲线交点处的ω值决定。在应用中为了作图方便，常采用相对描述函数N0(x)100N

(

X

)即

N(x)=K0N0(x)1

+

K

0

N

0

(

X

)G(

jw

)

=

0或

K

G(

jw

)

=

-特征方程图中的曲线则分别换成－1/N0(x)

与K0G(jw)，判别稳定性的方法不变。二、自振荡分析x

(t

)x(t

)N

(

X

)—

j

1G(

jw

)—

G(

jw

)-1输入x(t

)=Xsinw

tG(

jw

)

sin[wt

+

j1

+

—

G(

jw

)]G(

jw

)

sin[wt

+

p

+

j1

+

—

G(

jw

)]输出

x¢(t

)

=

-X

N

(

X

)=

X

N

(

X

)j

1

+

—

G(

jw

0

)

=

(2q

+

1)p自振荡的条件：

N

(

X

0

)G(

jw

0

)

=

1(q

=

0,1)10N

(

X

)即

N

(

X

0

)G(

jw

0

)

=

-1

或

G(

jw

0

)

=

-若复平面中-1/N(x)曲线与G(jw)曲线有交点，则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在，能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。扰动使X

›fi

a移到c

fia点:a点是稳定自振点b点是不稳定自振点进入稳定区X

flfi

回到a点进入不稳定区X

›fi

回到a点扰动使X

flfi

a移到d

fi扰动使X

›fi

b移到e

fi

进入不稳定区X

›fi

移到a点b点:左移扰动使X

flfi

b移到f

fi

进入稳定区X

flfi判断自振荡的稳定性有一个简便方法：若在交点处，被G(jw)包围的-1/N(x)部分对应的振幅X值小于未包围部分对应的X值，则该交点为稳定自振点(a点)。若在交点处，被G(jw)包围的-1/N(x)部分对应的振幅X值大于未包围部分对应的X值，则该交点为不稳定自振点(b点)。【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。当K=15时，判断自振荡的性质，求出自振荡的振幅及频率。线性部分的放大倍数K取何值时，该系统处于稳定状态。解:(1)饱和非线性特性的描述函数)2

a

XX

X(

X

‡

a

)N

(

X

)

=

2k

sin

-1(

a

)

+

a

1

-

(p

K[-0.3w

-

j(1

-

0.02w

2

)]KG(

jw

)

=

jw

(0.1

jw

+

1)(0.2

jw

+

1)

=

w

(1

+

0.05w

2

+

0.0004w

4

)1

+

0.05w

2

+

0.0004w

4Re[G(jw

)]=

-

0.3K

-

K

(1

-

0.02w

2

)Im[G(

jw

)]

=w

(1

+

0.05w

2

+

0.0004w

4

)线性部分的频率特性为1XN

(

X

)1

-

(

1

)2

]1

+

1X

X=4[sin

-1-

p将a

=

1

k

=

2代入

-作出-1/N(x)

及K=15

时的G(jw)曲线，交点b2

为稳定的自振点，振荡的振幅及频率可按如下方法求出：=

-11

+

0.05w

2

+

0.0004w

4k

=15w

=

50Re[G(jw

)]=

-

0.3K

令

Im[G(jw)]=0得

w

=

50将w

=

50代入Re[G(

jw

)]在交点处有-1/N（X）=Re[G(jω)]112=

-11

+

1=-4[sin

-1

1

-

(

)

]X

X

XN

(

X

)-

p得：X≈2.5。当K=15时，自振荡的振幅X≈2.5，振荡角频率

w

=

50

»

7.05

(s

-1

)(2)若使系统稳定，不产生自振荡，可减少线性部分的K。由图8-27(b)得知,本系统-1/N(x)曲线位于(-∞,-0.5)区段，当G(jw)曲线通过(-0.5,

j0)点时,求kmax=

-0.5得w

=

501

+

0.05w

2

+

0.0004w

4kmax

=

7.5Re[G(jw

)]=

-

0.3K

当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5,j0)点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统是稳定的，不会产生自振荡。作业

8

-

A

-

2

8

-

A

-

11三、非线性系统方框图的简化：在讨论自振荡及稳定性时，只研究由系统内部造成的周期运动，并不考虑外作用。因此，在对系统方框图进行变换时，可以认为所有的外作用均为零。非线性系统方框图的简化仍然遵循等效变换的原则，下面举例说明简化的一般方法。图8-28所示系统的两个非线性特性，可先进行叠加再求描述函数，也可以对两个非线性特性分别求描述函数，然后相加得总描述函数，结果相同。N(X)=N1(X)+N2(X)当两个非线性环节串联时，因为第一个环节的输出就是第二个环节的输入，所以可以将两个环节等效为一个环节，然后求出总的描述函数。N(X)