对2627届全国物理竞赛预赛若干问题的思考课件

对26、27届全国物理竞赛预赛若干问题的思考柯桥中学孙国标一、卫星发射能量的计算

题目：(第27届物理竞赛预赛第8题)选择合适的卫星发射地发射卫星，对提高运载效率、节省燃料等方面都有影响（特别是对同步卫星的发射）。如果在地球表面纬度为φ处发射一颗绕地球表面运行的人造地球卫星，假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球自转的角速度为w，地球半径为R，地球表面处重力加速度为g，卫星质量为m，则至少要给卫星的能量为____________。设重力加速度g=9.8m/s2，地球半R=6.40×106m，卫星质量m=1.00×103kg，若发射地在酒泉，其纬度为北纬40度58分，则所需的能量为_________J；若发射地在文昌，其纬度为北纬19度19分，则所需的能量为_________J。纬度为φ处地球自转的速度为(相对于地心)地球表面发射一颗卫星绕地球运转，卫星的速度为（相对于地心）。观点一：以地面为参考系，根据，卫星相对于地面的速度为，发射卫星所需的最小能量为因此在酒泉发射，需能量，在文昌发射，需能量观点一：以地面为参考系，根据，卫星相对于地面的速度为，发射卫星所需的最小能量为因此在酒泉发射，需能量，在文昌发射，需能量观点二：以地心为参考系，发射卫星所需的最小能量为因此在酒泉发射，需能量，在文昌发射，需能量计算卫星发射的能量不仅要考虑卫星增加的动能，还要考虑发射附件（主要是燃料燃烧产生的气体）增加的动能，即要考虑系统总机械能的增量。若考虑到这一点，两种参考系下求得的能量应该是一致的，下面从理论上加以论证。

理论分析：设火箭初始的总质量为M，卫星的质量为m，我们认为火箭燃料烧尽后都以气体形式喷出，其质量为M-m。1）以地面为参考系，设气体相对于地面的速度大小为u，则发射卫星的最小能量为把卫星和喷出的气体作为系统，规定卫星运动方向为正，由动量守恒定律得：由上面两式得发射卫星的最小能量为

2）以地心为参考系，设气体相对于地心的速度为u’，则发射卫星的最小能量为把卫星和喷出的气体作为系统，规定卫星运动方向为正，由动量守恒定律得：由上面两式得发射卫星的最小能量为可见，卫星发射所需能量与参考系选取无关，只与卫星质量与燃料质量的比值及卫星发射的始末相对速度有关，因此开头提出的两种观点的计算都是不确切的。在近似计算中，由于卫星的质量m比火箭的初始质量M要小得多，即m<<M，因此都可近似等于，这与竞赛委员会给出的参考答案是相符的，也是很多资料中给出计算卫星发射所需能量的方法，但值得注意的是这个计算结果不是因为地面参考系更为合理，而是因为系统总的机械能增加量近似等于这个值，与参考系选择无关。二、条件太多，答案不唯一

——对26届物理竞赛预赛第14题解法的思考如图所示，M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m0。导轨的两条轨道间的距离为l。PQ是质量为m的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的接触是粗糙的，杆与导轨的电阻均不计。初始时，杆PQ位于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B。现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上，使之从静止开始的轨道上向右作加速运动。已知经过时间t，PQ离开虚线的距离为x，此时通过电阻的电流为I0，导轨向右移动的距离为x0（导轨的N1N2部分尚未进入磁场区域）。求在此过程中电阻所消耗的能量。不考虑回路的自感。N1N2M2M1RPQFN1N2M2M1RPQF解法一：对导体棒分析，由动能定理得PQ离开虚线x时，通过导体棒电流为I0对导轨分析，在摩擦力作用下做匀加速得：N1N2M2M1RPQF解法二：解法三：解法四：（第26届预赛第6题）传统的雷达天线依靠转动天线来搜索空中各个方向的目标，这严重影响了搜索的速度。现代的“雷达”是“相位控制阵列雷达”，它是由数以万计的只有几厘米或更小的小天线按一定的顺序排列成的天线阵，小天线发出相干的电磁波，其初相位可通过电子计算机调节，从而可改变空间干涉极强的方位，这就起了快速扫描搜索空中各个方向目标的作用对下的简单模型的研究，有助于了解改变相干波的初相位差对空间干涉级强方位的影响。图中a、b为相邻两个小天线，间距为d，发出波长为λ的相干电磁波。Ox轴通过a、b的中点且垂直于a、b的连线。若已知当a、b发出的电磁波在a、b处的初相位相同即相位差为0时，将在与x轴成θ角（θ很小）方向的远处形成干涉极强，现设法改变a、b发出的电磁波的初相位，使b的初相位比a的落后一个小量φ

，结果，原来相干极强的方向将从θ变为θ’，则θ—θ’等于______________________。三、对干涉的正确理解s1s2pr1r2设波源S1的振动方程为波源S2的振动方程为则P点同时参与了两个振动三、对干涉的正确理解由叠加原理得P点合振动：相位差合振幅c)其他情况合振幅在最大值与最小值之间。干涉加强

(干涉相长）b)干涉减弱

（干涉相消）s1s2pr1r2(1)a、b处的初相位相同即相位差为0(2)b的初相位比a的落后一个小量φ,结果，原来相干极强的方向将从θ变为θ‘

四、电容器充放电的暂态分析（第26届预赛第5题）电容器在开始充电的瞬间相当于短路电容器在充电结束后相当于断路U23U12=U34U14U13设充电过程中任意时刻，电流为i根据闭合电路欧姆定律得对电容器分析代入得且t=0时刻，U=0，充电完毕后U=E，则c’’=E电源提供的能量电容器储存的能量不管外电阻多少，电阻上消耗的能量永远是五、轨迹方程在解题中的应用（26届预赛16题）一个质量为m1的废弃人造地球卫星在离地面h=800km高空作圆周运动，在某处和一个质量为m2=m1的太空碎片发生迎头正碰，碰撞时间极短，碰后二者结合成一个物体并作椭圆运动。碰撞前太空碎片作椭圆运动，椭圆轨道的半长轴为7500km，其轨道和卫星轨道在同一平面内。已知质量为m的物体绕地球作椭圆运动时，其总能量即动能与引力势能之和E=，式中G是引力常量，M是地球的质量，a为椭圆轨道的半长轴。设地球是半径R=6371km的质量均匀分布的球体，不计空气阻力。（1）试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落在地球上。（2）如果此事件是发生在北极上空（地心和北极的连线方向上），碰后二者结合成的物体与地球相碰处的纬度是多少？若2a<2R+h,则卫星将与地面相撞设碰撞前卫星作圆周运动的速度为v1，五、轨迹方程在解题中的应用设碰撞前太空碎片的速度为v2由机械能守恒得五、轨迹方程在解题中的应用碰撞过程由动量守恒得

m1v1－m2v2=(m1+m2)v

由机械能守恒得代人有关数据得a'=5259km

2a‘<2R+h，卫星将与地面发生碰撞五、轨迹方程在解题中的应用xyOa=5295kma+c=7171kmc=1912km卫星与碎片碰撞后的轨迹方程θ设地球与椭圆