2023高考数学理科第一轮复习专项：数学归纳法

【文库独家】第六章第七节数学归纳法一、选择题1．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立，若P(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是()A．P(n)对所有正整数n都成立B．P(n)对所有正偶数n都成立C．P(n)对所有正奇数n都成立D．P(n)对所有自然数n都成立2．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2 B．3 C．5 D．63．对于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即eq\r(k2＋k)＜k＋1，则当n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到()A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝eq\f(n2n2＋1,3)时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是()A．(k＋1)2＋2k2 B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2 D.eq\f(1,3)(k＋1)[2(k＋1)2＋1]6．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确二、填空题7．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19,m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．8．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则f(k＋1)－f(k)＝________.9．若数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,n＋12)，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝________.三、解答题10．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4,并由此猜想通项an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．11．用数学归纳法证明不等式：1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))＜2eq\r(n)(n∈N*)．12．已知等比数列{an}的首项a1＝2,公比q＝3,Sn是它的前n项和.求证：eq\f(Sn＋1,Sn)≤eq\f(3n＋1,n).详解答案一、选择题1．解析：由题意n＝k时成立，则n＝k＋2时也成立，又n＝2时成立，则P(n)对所有正偶数都成立．答案：B2．解析：分别令n0＝2,3,5,依次验证即可．答案：C3．解析：此同学从n＝k到n＝k＋1的推理中没有应用归纳假设．答案：D4．解析：把n＝k＋1代入1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1,得1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k.答案：D5．解析：本题易被题干误导而错选A,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k＋1)2＋k2.答案：B6．解析：首先要注意n为奇数，其次还要使n能取到1.答案：B二、填空题7．解析：依题意得n2＝eq\f(10×1＋19,2)＝100,∴n＝10.易知m3＝21m＋eq\f(mm－1,2)×2,整理得(m－5)(m＋4)＝0,又m∈N*,所以m＝5,所以m＋n＝15.答案：158．解析：当n＝k时，等式左端＝1＋2＋…＋k2,当n＝k＋1时，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋eq\o(\x\to(k2＋1＋…＋k＋12),\s\up6(2k＋1个))，增加了2k＋1项．答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)29．解析：c1＝2(1－a1)＝2×(1－eq\f(1,4))＝eq\f(3,2)，c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－eq\f(1,4))×(1－eq\f(1,9))＝eq\f(4,3)，c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－eq\f(1,4))×(1－eq\f(1,9))×(1－eq\f(1,16))＝eq\f(5,4)，故由归纳推理得cn＝eq\f(n＋2,n＋1).答案：eq\f(n＋2,n＋1)三、解答题10．解：(1)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(7,4)，a4＝eq\f(15,8)，由此猜想an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．(2)证明：当n＝1时，a1＝1,结论成立．假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝eq\f(2k－1,2k－1)，那么n＝k＋1(k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴ak＋1＝eq\f(2＋ak,2)＝eq\f(2＋\f(2k－1,2k－1),2)＝eq\f(2k＋1－1,2k)，这表明n＝k＋1时，结论成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．∴an＝eq\f(2n－1,2n－1)(n∈N*)．11．证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边＜右边，所以不等式成立，②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＜2eq\r(k).那么当n＝k＋1时，1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(