多自由度自由振动

关于多自由度自由振动第1页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三多自由度体系的自由振动主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图一、柔度法建立振动方程

1.两个质点的振动m1m2

由质点1与质点2的惯性力共同产生式中，δij为j质点的惯性力为1时在i质点处产生的位移。i，j=1，2第2页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三设方程的特解形式为

y1(t)=A1sin（ωt+φ）y2(t)=A2sin（ωt+φ）记此式称为振型方程

考虑此式有非零解（否则，体系不振动），则需使此式称为频率方程

第3页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三行列式有两个不同实数根λ1与λ2

。记

则ω1称为第一频率或基本频率；则ω2称为第二频率

相应的T1称为第一周期或基本周期；T2称为第二周期

第4页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三将λ=λ1

代入振型方程中的任意一个方程，记为y1(t)=A11sin（ω1t+φ）

y2(t)=A21sin（ω1t+φ）显然这表示y1与y2是相关的体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称作体系的主振型。得A2与A1的比值第5页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三同理，把λ=λ2

代入振型方程中的任意一个方程，得到A2与A1的比值，记为同样，称为第二振型

y1(t)=A12sin（ω2t+φ）

y2(t)=A22sin（ω2t+φ）对应于ω1的振型称为第一振型，或基本振型第6页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三说明从数学上讲，两个不同实数根（特征根）λ1与λ2对应的两个振型（特征向量）是线性无关的，故，体系自由振动在任意时刻t的位移反应可写作两个振型的线性组合，亦即振动方程的一般解：y1(t)=A11sin（ω1t+φ）+A12sin（ω2t+φ）y2(t)=A21sin（ω1t+φ）+A22sin（ω2t+φ）第7页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三n个自由度体系的振动及其矩阵表示振动方程可表示为即，第i质点的位移是由所有质点的惯性力在第i质点产生位移的叠加。写成矩阵的形式为：第8页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三简写为：称为柔度矩阵

称为质量矩阵称为位移列向量

称为加速度列向量------------（1）方程（1）的解设为：式中，

第9页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三把代入（1）记----------------（2）（2）式称为振型方程。同样，（2）式有非零解（否则将不产生振动）的条件是：---------------------（3）（3）式称为频率方程

第10页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三频率方程有n个互不相同的实数根λ1，λ2，...，λn

，对应着n个互不相同的频率；分别代入（2）式可得到n个线性无关的振型。记，称为第j振型。第11页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三[计算举例]图示体系，EI=常数，质点的质量为m，各杆的长度都是L，列振动方程并求各频率和振型，画振型图。解：1）2个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移

2）质点在振动过程中有2个方向的位移，各由2个方向的惯性力共同产生，振动方程为：第12页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三方程中各个系数意义如下：δ12=δ21=03）求频率记，=A1sin（ωt+φ）

=A2sin（ωt+φ）P=1LL/2L/2L/4L/4M1P=1L/4L/4L/4M2第13页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三从而，解得：4）求振型把λ1（或ω1）及把λ2（或ω2）分别代入振型方程第14页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三5）画振型图画振型图时，完全按照2个振型中的量值，与假定的2个位移方向相协同。1.01.0第15页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三二、刚度法建立振动方程

1.两个质点的振动图示简支梁，质量集中在跨中两个质点，如图，具有两个动力自由度。用刚度法建立振动方程时，考虑每个质点的受力平衡。

质点在振动过程中，在惯性力作用下有2个位移，各质点分别受到各自的恢复力而与各自的惯性力平衡m1m212m1m2第16页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三惯性力弹性恢复力：恢复力的求法如下

K11K211K12K221依叠加法可得

第17页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三振动方程------受力平衡方程2.n个质点的振动及其矩阵表示一般方程可写为

m1m2第18页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三写成矩阵的形式为

设方程的解的形式为式中第19页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三代入振动方程可得

-----------振型方程-----频率方程3.柔度矩阵与刚度矩阵的关系第20页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三[计算举例]图示结构弹簧的刚度KN=，杆长都是L，列振动方程并求振动频率和振型，作出振型图KNEI1=∞EIEIm解：1）2个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移，如图第21页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三振动方程质点在任何时刻要受力平衡水平方向：竖向问题转化为求质点在任意时刻t在2个方向上受到的恢复力第22页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三恢复力的求法VBAVDCFEK2水平问题转变为：质点位移后的弯矩图VDB弹簧反力竖向FEK1ABCD第23页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三为此，先求出2个方向分别单位位移的弯矩图，然后叠加也就是求解右图所示在支杆1、2分别移动时的弯矩图12K11K2116EI/L26EI/L2RΔ

支杆1单位位移时的弯矩图：第24页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三求系数K11K213i/L9i/2L3i/2LM图K11VDBKNVBAVDCK21r114i2i2iM图第25页，讲稿共28页，2023年5月2日，星期三求系数类似的方法求支杆2有水平侧移Δ=1时的K1