2023高考数学理科第一轮复习专项：几何概型

【文库独家】第九章第六节几何概型一、选择题1．已知三棱锥S­ABC，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS­ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)2．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)3．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是()A.eq\f(a－r,a) B.eq\f(a－r,2a)C.eq\f(2a－r,2a) D.eq\f(a＋r,2a)4．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△PBC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)5．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于eq\f(1,3)的概率为()A.eq\f(17,18) B.eq\f(7,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(1,18)6．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)二、填空题7．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．8．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于eq\f(9,8)的概率为________．9．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x,y≥－x,2x－y－3≤0))表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．三、解答题10．图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是eq\f(1,4)，求此长方体的体积．11．已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．12．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面区域内的概率．详解答案一、选择题1．解析：当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).答案：A2．解析：点E为边CD的中点，故所求的概率P＝eq\f(△ABE的面积,矩形ABCD的面积)＝eq\f(1,2).答案：C3．解析：∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰．∴P＝eq\f(2a－r,2a)＝eq\f(a－r,a).答案：A4．解析：由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则P(D)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2).答案：D5．解析：设这两个实数分别为x，y，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1,0<y<1))，满足x＋y>eq\f(1,3)的部分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于eq\f(1,3)的概率为1－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(17,18).答案：A6．解析：因为f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为P＝eq\f(2π×2π－π×\r(π)2,2π×2π)＝eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).答案：B二、填空题7．解析：以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求．∴P＝eq\f(3×\f(1,2)×\f(π,3)×12,\f(\r(3),4)×22)＝eq\f(\r(3)π,6).答案：eq\f(\r(3),6)π8．解析：直线与两个坐标轴的交点分别为(eq\f(3,m＋2)，0)，(0，eq\f(3,3－m))，又当m∈(0,3)时，eq\f(3,m＋2)>0，eq\f(3,3－m)>0，∴eq\f(1,2)·eq\f(3,m＋2)·eq\f(3,3－m)<eq\f(9,8)，解得0<m<2，∴P＝eq\f(2－0,3－0)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．解析：如图，△AOB为区域M，扇形COD为区域M内的区域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×3eq\r(2)＝3，S扇形COD＝eq\f(π,4)，所以豆子落在区域N内的概率为P＝eq\f(S扇形COD,S△AOB)＝eq\f(π,12).答案：eq\f(π,12)三、解答题10．解：设长方体的高为h，则图(2)中虚线围成的矩形长为2＋2h，宽为1＋2h，面积为(2＋2h)(1＋2h)，展开图的面积为2＋4h；由几何概型的概率公式知eq\f(2＋4h,2＋2h1＋2h)＝eq\f(1,4)，得h＝3，所以长方体的体积是V＝1×3＝3.11．解：(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a2≥4b”的概率为P＝eq\f(12,25)，即函数f(x)有零点的概率为eq\f(12,25).(2)a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此为几何概型．所以事件“f(1)>0”的概率为P＝eq\f(\f(1,2)×3×3,4×4)＝eq\f(9,32).12．解：(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,0≤y≤4))))内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0,x≥