河南省信阳市禹州第一高级中学2021年高三数学理联考试卷含解析

河南省信阳市禹州第一高级中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，L，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(

)A、x1，x2，L，xn的平均数

B、x1，x2，L，xn的标准差

C、x1，x2，L，xn的最大值

D、x1，x2，L，xn的中位数参考答案：D2.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标可能为

A．（1，1，1）

B．

C．

D．参考答案：C略3.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量＋2的夹角等于（

）

A．150°

B．90°

C．60° D．30°参考答案：D略4.等比数列的前项和为，若，则公比（

）A．－1

B．1

C．－2

D．2参考答案：A5.复数为的共轭复数，则A．

B．

C．

D．参考答案：C6.若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D终边落在直线上的角的取值集合为 或者.故选D.

7.随机地从中任取两个数，则事件“”发生的概率为

.参考答案：略8.已知是实数，则“”是“”的A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件 参考答案：D9.函数的零点个数为A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B10.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=

参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则的展开式中常数项为______．参考答案：672【分析】先由微积分基本定理求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为；所以的展开式的通项公式为：，令，则，所以常数项为.故答案为【点睛】本题主要考查微积分基本定理和二项式定理，熟记公式即可求解，属于基础题型.12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则△ABC的面积是__________．参考答案：【分析】由正弦定理化简得，进而得到，再由余弦定理得到关于的方程，求得的值，进而利用面积公式，即可求解．【详解】由题意，可知，由正弦定理得，即，又由在中，,则，即，又由，则，所以，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以的面积为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.13.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是(

)

A、

B、C、

D、参考答案：C14.表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面,则棱锥体积的最大值为

.参考答案：【知识点】棱锥的体积G727由题意画出几何体的图形如图：因为球的表面积为，，所以球半径为，由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，由于OO′⊥平面ABC，SD⊥平面ABC，即有OO′∥SD，

当D为AB的中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大．

由于则，则△ABC是边长为6的正三角形，

则的面积为：.在直角梯形SDO′O中，作于点E，,,,即有三棱锥S-ABC体积,故答案为27.【思路点拨】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影D落在AB上，D为AB中点时，SD最大，棱锥S-ABC的体积最大．运用线面垂直的性质，结合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱锥的体积公式即可得到最大值．【题文】三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为_______。参考答案：a＜略16.已知=3，，则= ．参考答案：考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用数列极限的运算法则即可得出．解答： 解：∵=3，，则===．故答案为：．点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．17.如图，已知，，，则圆的半径OC的长为．参考答案：取BD的中点，连结OM，则,因为，所以，所以，所以半径，即。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0），短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（1，0）的任一直线l交椭圆C于A，B两点（长轴端点除外），证明：存在一定点Q（x0，0），使为定值，并求出该定点坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意得b=1，，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）由题意设直线l：x=ty+1，将其代入椭圆，得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能证明存在一定点Q（x0，0），使为定值，并求出该定点坐标．解答： （本题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得b=1，又，即，∴，即，∴a2=4，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由题意设直线l：x=ty+1，将其代入椭圆，消去x化简得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由韦达定理，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴====，∵对过点P的任意直线，使为定值，∴只要，解得，此时=，定点．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，并考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意直线与圆锥曲线的位置关系的合理运用．19.(本小题满分分)设抛物线的焦点为,是抛物线上的一定点.(1)已知直线过抛物线的焦点,且与的对称轴垂直,与交于两点,为的准线上一点,若的面积为,求的值;(2)过点作倾斜角互补的两条直线,,与抛物线的交点分别为.若直线,的斜率都存在,证明:直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.参考答案：解:(1)由题设,设则

…………1分

.

…………2分由的面积为,得:,得:…………4分(2)由题意

…………5分首先求抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.解法一：设抛物线在处的切线的斜率为,则其方程为

…………6分联立

得将代入上式得:

…………7分

…………8分即

ks5u即得

即抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为…………9分解法二：由得，

…………6分

…………7分抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率为

…………9分再求直线的斜率.解法一:设直线的斜率为,则由题意直线的斜率为.

…………10分直线的的方程为,则直线的的方程为.联立得…………(1)

…………11分方程(1)有两个根,,即,同理可得

…………12分直线的斜率.…………13分直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.

…………14分解法二:

………10分

…………11分将分别代入上式得:,整理得.

…………12分直线的斜率.…………13分直线的斜率等于抛物线在点关于对称轴的对称点处的切线的斜率.

………14分20.某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：

工种类别ABC赔付频率

已知A，B，C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.（Ⅰ）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（Ⅱ）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.参考答案：解：（Ⅰ）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为X25PY25P

Z40P保险公司的期望收益为；；；保险公司的利润的期望值为，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（Ⅱ）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：，，故建议企业选择方案2．

21.（本小题满分12分）已知函数。（Ⅰ）当=2时，求的极值；（Ⅱ）若函数在区间（0，1）上为单调递减函数，求实数的取值范围。参考答案：22.已知椭圆的离心率为，点在椭圆D上．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过y轴上一点E（0，t）且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率分别为kOA，kOB，若对任意实数k，存在λ∈[2，4]，使得kOA+kOB=λk，求实数t的取值范围．参考答案：（1）；（2）【分析】（