陕西省西安市长安区第九中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

陕西省西安市长安区第九中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若全集为实数集，集合==(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人

所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（

）A．钱

B．钱

C．钱

D．钱参考答案：D设等差数列的首项为，公差为，因为，所以有，解得：，故选D．3.已知向量与的夹角为θ，||=2，||=1，=t，=（1﹣t），||在t0时取得最小值．当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围为(

)A．（0，） B．（，） C．（，） D．（0，）参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的运算可得=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0=，根据0＜＜，求得cosθ的范围，可得夹角θ的取值范围．【解答】解：由题意可得?=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣═（1﹣t）﹣t，∴=（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）=（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ=（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0=，由题意可得0＜＜，求得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜，故选：C．【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数和三角函数的运算，属基础题．4.在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（A）

（B）

（C） （D）参考答案：C分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线.A选项：当点P在弧AB上时，，，故A选项错误；B选项：当点P在弧CD上时，，，，故B选项错误；C选项：当点P在弧EF上时，，，，故C选项正确；D选项：点P在弧GH上且弧GH在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.

5.是直线和平行的A．充分非必要条件

B．必要非充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：C6.设下列关系式成立的是(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：A7.函数的一个零点落在下列哪个区间（

）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）参考答案：B略8.已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A、－2B、2C、－2iD、2i参考答案：B，所以虚部为29.设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，1] D．[﹣，]参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．分析；作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．解：画出满足条件的平面区域，如图示：，目标函数z=几何意义为区域内的点与D（2，0）的斜率，过（﹣1，2）与（2，0）时斜率最小，过（﹣1，﹣2）与（2，0）时斜率最大，∴Z最小值==﹣，Z最大值==，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法．10.复数的虚部为（） A．i B． ﹣i C． 1 D． ﹣1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设f(z)=2z(cos+icos)，这里z是复数，用A表示原点，B表示f(1+i)，C表示点-，则∠ABC=

。参考答案：12.已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sk﹣2=﹣4，Sk=0，Sk+2=8，则k=．参考答案：6【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵Sk﹣2=﹣4，Sk=0，Sk+2=8，∴（k﹣2）a1+d=﹣4，ka1+d=0，（k+2）a1+d=8，联立解出d=1，k=6，a1=﹣．故答案为：6．13.已知点M的坐标是（1，1），F1是椭圆=1的左焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|+|PM|的取值范围是

．参考答案：[6﹣，6+]【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6﹣|PF2|，所以，|PF1|+|PM=6﹣|PF2|+|PM|=6+（|PM|﹣|PF2|），由此结合图象能求出|PF1|+|PM|的最小值和最大值，即可得到所求范围．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6那么|PF1|=6﹣|PF2|，则|PF1|+|PM|=6﹣|PF2|+|PM|=6+（|PM|﹣|PF2|）根据三角形三边关系可知，当点P位于P1时，|PM|﹣|PF2|的差最小，此时F2与M点连线交椭圆于P1，易得﹣|MF2|=﹣，此时，|PF1|+|PM|也得到最小值，其值为6﹣．当点P位于P2时，|PM|﹣|PF2|的差最大，此时F2与M点连线交椭圆于P2，易得|MF2|=，此时|PF1|+|PM|也得到最大值，其值为6+．则所求范围是[6﹣，6+]．故答案为：[6﹣，6+]．【点评】本题考查椭圆的定义、性质和应用，解题时要注意数形结合法的合理运用．14.执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为

．ReadIfThen

Else

End

IfPrint

参考答案：115.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为________.参考答案：416.设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，则i+j=

．参考答案：29【考点】归纳推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】设等差数列{an}的公差为d，代入已知可解得a1和d，可得通项公式，确定第i行的第一个数，利用数阵中第i行从左到右的第j个数是﹣588，可得答案．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S8=4a3，a7=﹣2，∴8a1+28d=4（a1+2d），a7=a1+6d=﹣2，解得a1=10，d=﹣2，∴an=10+（n﹣1）（﹣2）=﹣2n+12，设第i行的第一个数为bi，则b2﹣b1=d，b3﹣b2=3d，…，bn﹣bn﹣1=（2n﹣3）d，∴bn﹣b1=d+3d+…+（2n﹣3）d=d=﹣2（n﹣1）2，∴bn=﹣2（n﹣1）2+10，n=18，b18=﹣568，﹣588=﹣568+（11﹣1）×（﹣2），∴i+j=18+11=29，故答案为：29．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查归纳推理，属基础题．17.已知实数满足约束条件，则的最小值是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M是AB的中点.（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且，求直线AB与平面所成角的正弦值．参考答案：（1）见解析.（2）.试题分析：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，通过证明可证到线面平行．（2）可求得，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.由空间向量求得线面角．试题解析：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，又是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）是的中点，是正三角形，则，，，设，则，以轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，.设是平面的法向量，则，可取平面的法向量为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.（13分）已知函数，.（1）求函数的极大值和极小值;（2）求函数图象经过点的切线的方程；（3）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.参考答案：（1）的极大值为的极小值为-----4分（2）或；-----4分（3）.-----5分20.（2017?清新区校级一模）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．参考答案：【考点】曲线与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等，利用抛物线的定义求曲线E的方程；（Ⅱ）联立，消去y，证明kAP=kAQ，可得A，P，Q三点共线．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等．根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．设R的轨迹方程为：y2=2px，，p=2所以R的轨迹方程为：y2=4x．…（Ⅱ证明：由条件可知，则．联立，消去y得k2x2+（2bk﹣4）x+b2=0，△=（2bk﹣4）2﹣4b2k2=16（1﹣bk）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，﹣y2），，．因为，所以kAP=kAQ，所以A，P，Q三点共线．…（13分）【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．21.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)对一切的x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－.参考答案：(1)由条件知2f(x)≥g(x)，即2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋.

……2分设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，h′(x)＝.

………………4分当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)]min＝4.

故实数a的取值范围是(－∞，4]．…………6分(2)证明：问题等价于证明xlnx＞－，x∈(0，＋∞)．即f(x)＞－∵f′(x)＝lnx＋1.

…………7分当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以，[f(x)]min＝f()＝－.……10分设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，……12分易得[m(x)]max＝m(1)＝－.从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞－成立．…………14分

略