(暑期班)初升高数学衔接讲义第02讲 分式和根式类问题的延伸 精讲精炼（教师版）

初高中衔接素养提升专题讲义第二讲分式和根式类问题的延伸（精讲）【知识点透析】【知识点一】分式的相关知识1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【知识点精讲】【例1】若，求常数的值．【解析】：∵，∴解得．【变式1】已知实数x、y满足x−3+y2【答案】5【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可．【详解】解：x2∵x−3+y2∴x=3，y=2，∴原式=3+2【例2】观察下列各式：①11×2=1−12；

②12×3=12−（1）请用以上规律计算：12（2）若1(m+1)(m+2)+1【答案】（1）910【分析】（1）将12（2）根据题意规律计算即可求m得值．【详解】解：（1）12=1=1−=1−110，故答案为：910（2）由规律可得1即1m+1−1检验：当m=2019时，m+1m+2021∴m=2019是原分式方程的解．∴m的值为2019．【变式1】（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；．【解析】（1）证明：∵，∴（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）证明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整数，∴eq\f(1,n＋1)一定为正数，∴＜eq\f(1,2)．【变式2】下列一组方程：①x+2x=3，②x+由①得：x+1×2x=1+2，解是x由②得：x+2×3x=2+3，解是x由③得：x+3×4x=3+4，解是x请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题：（1）第④个方程是，解是：；（2）若n为正整数，则第n个方程是，解是：；（3）若n为正整数，求关于x的方程x+n【答案】（1）x+4×5x=4+5；x=4（2）x+n×(n+1)x=n+n+1；x=n（3）方程的解是x=n+3或x=n+4．【分析】（1）根据已知方程的规律即可写出结论；（2）根据已知方程的规律即可写出结论；（3）将方程两边同时减去3，类比已知方程规律可得x−3=n或x−3=n+1，从而得出结论．【详解】解：（1）x+4×5x=4+5,解是：经检验：x=4或x=5是原方程的解故答案为：x+4×5x=4+5；x=4（2）x+n×(n+1)x=n+n+1,解是：经检验：x=n或x=n+1是原方程的解故答案为：x+n×(n+1)x=n+n+1；x=n（3）x+x−3+n(n+1)则x−3=n或x−3=n+1解得：x=n+3或x=n+4,经检验，x=n+3或x=n+4是原方程的解．所以，方程的解是x=n+3或x=n+4．【例3】观察下列不等式：①122<11×2根据上述规律，解决下列问题：（1）完成第5个不等式：___________；（2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)；（3）利用上面的猜想，比较n+2n+12和【答案】（1）162<15×6【分析】(1)根据给出的不等式写出第5个不等式；(2)根据不等式的变化情况找出规律，根据规律解答；(3)根据(2)中的规律计算，即可比较大小．【详解】(1)①122<11×2，②1则第5个不等式为：162<(2)第n个不等式为：1n+12<(3)n+2n+1由(2)得：1n+12<∴1n+1∴1n+12+【例4】阅读下面的解题过程：已知：xx2+1解：xx2+1=13知所以x4故x2x4该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知：aa2-5【答案】1【分析】由aa2-5a+1=14同时取倒数，可得a2-5a+1a=4，方程左侧分子、分母同时除以【详解】解：由aa2-5∴a2-5a∴a4∴a2【知识点二】根式类问题一、基本知识一般地，形如的代数式叫做二次根式．其性质如下：(1)(2)(3) (4)二次根式的意义二、拓展知识2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：.2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：①与②与【知识点精讲】【例5】将下列式子化为最简二次根式：（1）；（2）；（3）．【解析】：（1）；（2）；（3）．【变式1】与最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C解：原式=，∵49<63<64，∴，∵，∴，∴最接近8，∴最接近8-3即5，故选：C．【变式2】化简下列各式：(1) (2)【解析】：(1)原式=*(2)原式=【例6】阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）请用两种不同的方法化简：；（2）化简：．【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；方法二：原式＝＝﹣；（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝﹣．【变式1】化简：．【解析】解：原式＝＝＝＝．【变式2】满足不等式的整数m的个数是_____．【答案】7解：∵，，∴，，∵<m<，∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．【变式3】观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___．【答案】解：原式，故答案是：2021．【例7】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为；（2）化简：【答案】（1），；（2）；解：（1）根据题目意思，∵和,点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为，故答案为：，；（2）∵2+5=7,2×5=10,∴；【变式1】先阅读然后解答问题：化简解：原式＝根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：（2）化简：．【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2；（2）∵（）2，＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10，∴＝．【变式2】化简：（1）；（2）．【解析】（1）原式．（2）原式=，∵，∴，所以，原式＝．【例8】已知，求的值．【解析】：∵，，∴．【变式1】：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．【解析】解：（2）原式＝•＝，当x＝1+，y＝1﹣时，原式＝＝＝．

初高中衔接素养提升专题课时检测第二讲分式和根式类问题的延伸（精练）（测试时间60分钟）单选题（1．分式与都有意义的条件是（）A．x B．x≠﹣1 C．x且x≠﹣1 D．以上都不对【解答】解：由分式与都有意义，得2x﹣3≠0且x+1≠0，解得x≠，x≠1，故选：C．2.对于非负整数x，使得x2+3x+3是一个正整数，则符合条件xA．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】将x+3看作一个整体，把代数式中的分子x2【详解】解：x2∵x为非负整数，x2+3x+3是一个正整数，∴x即符合条件x的个数有4个，故选：B．3．已知a＝+2，b＝2﹣，则a2020b2019的值为（）A．﹣﹣2 B．﹣+2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，∴a2020b2019＝（ab）2019•a＝[（+2）（2﹣）]2019•（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2．故选：A．4.若式子不论取任何数总有意义，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．【答案】D【详解】解：若对任意总有意义，则恒成立，的最小值为，，即．故选：D．5.已知，关于x的分式方程x+mx−4+3m4−x=3有增根，且mA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先解分式方程，用含有字母m的式子表示x，再根据方程有增根求出m的值，然后将m的值代入得出关于a，b的等式，再配方根据完全平方公式的非负性求出a和b的值，即可得出答案．【详解】x+mx−4+3m∵分式方程有增根，∴x-4=0，即x=4，∴6-m=4，解得m=2．当m=2时，2a即2(a+1)2+(b−3)2=0，解得a=-1，故选：B．6.已知关于x的分式方程x−2x+2−mxx2A．0 B．0或−8 C．−8 D．0或−8或−4【答案】D【分析】先求出分式方程的解，无解时，解中的分母为0或解等于±2即可.【详解】解：由x−2x+2−∵分式方程无解∴8m+4=±2或m+4=0∴m=0或m=-8或−4∴0或−8或故答案为D.填空题7.若分式方程kxx−1−2k−1【答案】13【分析】先把k看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值．【详解】解：在方程kxx−1−2k−11−x=2解得k−2x=−2k−1．∴当k当k≠2时，有x=−2k−1k−2，∵分式方程kxx−1−2k−1故答案为：138．计算：＝____．【答案】解：原式=．故答案为：．9解方程：①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6④4x+1=8…（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．【答案】①x=0②x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1【详解】试题分析：（1）等号左边的分母都是x+1，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是x+1，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是x=0，第二个式子的解是x=1，那么第5个式子的解是x=4．第6个式子的解是x=5．．（2）由（1）得第n个式子的等号左边的分母是x+1，分子是n，等号右边的被减数的分母是x+1，分子是2n，减数是1，结果是x=n−1．试题解析：①x=0，②x=1，③x=2，④x=3．（1）第⑤个方程：5x+1=10x+1−1解为x=4．（2）第n个方程：nx+1=2nx+1−1解为x=n−1．方程两边都乘三、解答题（）10．小芳在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：a＝＝＝2﹣，∴a＝2﹣，∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：(1)计算：．(2)若．①求4a2﹣8a﹣1的值；②求3a3﹣12a2+9a﹣12的值．【答案】(1)(2)①3；②﹣18(1)解：=（-1）+（-）+（-）+…+（-）=-1；(2)解：①∵a=+1，∴a−1=，∴(a−1)2=2，∴a2−2a=1，∴4a2﹣8a﹣1=4（a2﹣2a）﹣1=4×1-1=3；②∵a2−2a=1，∴3a3﹣12a2+9a﹣12=3a（a2﹣2a）-6a2+9a-12=3a-6a2+9a