鲁教版（五四制）八年级上册《分式的运算》知识点精讲与练习（无答案）

///?分式的运算?知识点精讲与练习概念总汇分式的乘法法那么

与分数的乘法法那么类似,我们得到分式的乘法法那么：两个分式相乘,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母．

符号表示：．说明：分式与分式相乘时,假设分子和分母都是多项式,那么先分解因式,看能否约分,然后再相乘。〔2〕整式与分式相乘,可以直接把整式〔整式的分母看作1〕与分式的分子相乘作为积的分子,分母不变,当然能约分的要约分。2、分式的除法法那么

与分数的除法法那么类似,我们得到分式的除法法那么：两个分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘．

符号表示：．

说明：当分式的分子与分母都是单项式时,运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘,其它与乘法运算步骤相同。〔2〕当分子与分母都是多项式时：运算步骤是：

①把各个分式的分子与分母分解因式；

②把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘；

③约分,得到计算结果.

3、分式的乘方

几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。法那么：分式的乘方,等于把分式的分子、分母分别乘方。

符号表示：〔为正整数〕。

说明：

〔1〕分式的乘方,必须把分式加上括号。

〔2〕在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘、除,有多项式时应先分解因式,再约分。

4、分式的加减法那么

同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减；异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减．

符号表示：,．

说明：

〔1〕同分母分式相加减时应注意：

①当分式的分子是多项式时,应先添括号,再去括号合并同类项,从而防止符号错误。

②分式的分子相加减后,假设结果为多项式,应先考虑因式分解后与分母约分,将结果化为最简分式或整式。

〔2〕异分母分式相加减时应注意：

①把异分母的分式化成同分母的分式,在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等；

②通分的根据是分式的根本性质,分母需要乘“什么〞,分子也必须随之乘“什么〞；分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。

5、分式的混合运算

分式的混合运算顺序和实数的运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的,计算结果要化为整式或最简分式。6、整数指数幂运算性质

〔1〕同底数幂的乘法〔m、n为整数,a≠0〕〔2〕积的乘方〔m为整数,a≠0,b≠0〕〔3〕幂的乘方〔m、n为整数,a≠0〕〔4〕同底数幂的除法〔m、n为整数,a≠0〕〔5〕在上述知识的根底上,进一步规定〔p为正整数,a≠0〕〔6〕这样,又扩大了科学记数法可表示的数的范围：利用负指数幂,科学记数法不仅可以表示绝对值较大的数,也可以表示绝对值较小的数方法引导例1〔1〕〔2〕难度等级：A

解：〔1〕原式＝＝〔2〕原式＝==【知识体验】分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的。【解题技巧】解题是,先利用符号法那么,判断结果的符号,把答案符号写在分数线前；再约分,约分的时候先约掉系数,然后考虑字母。【搭配练习】计算：1、2、例2计算：.〔2〕－〔3〕＋；〔4〕难度等级：A

解：〔1〕＝＝＝＝4〔2〕－〔3〕＋＝＝〔4〕【知识体验】分式的加减分同分母加减和异分母加减。分母是同分母还是异分母要进行区分,如和,虽然外表上看上去不同,但对添括号后可变成,依然是同分母。异分母加减要确定好最简公分母。【解题技巧】同分母的分式加减法的运算,强调分子为多项式时,应把多项事看作一个整体加上括号参加运算,结果也要约分化成最简分式.异分母的分式加减法的运算,先把分母进行因式分解,再确定最简公分母,进行通分,结果要化为最简分式.【搭配练习】计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕例3计算：难度等级：A

解：【知识体验】分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序：先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式【解题技巧】先做括号里的减法,再把除法转化成乘法,把分母的“-〞号提到分式本身的前边。【搭配练习】计算：1、2、例4计算：〔1〕〔a≠0〕〔2〕10-2；〔3〕难度等级：A

解：〔1〕〔2〕〔3〕【知识体验】正整数指数幂的相关运算在负整数指数幂也适用,所以在整式章节所学的正整数指数幂可以扩大到整数指数幂。负整数指数幂那么被规定为〔p为正整数,a≠0〕【解题技巧】运用幂的相关运算和新的定义可以轻松解决【搭配练习】计算：〔1〕〔-0.1〕0；〔2〕；〔3〕2-2；〔4〕.例5计算(2mn2)-3(mn-2)-5并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式难度等级：A

解：原式=2-3m-3n-6×m-5n10=m-8n4=【知识体验】负整数指数幂转化为正整数指数幂,只需要利用公式〔p为正整数,a≠0〕,也就是改成分式的形式。【解题技巧】先利用幂的运算得出积,再对积的每一个因式进行分析,正整数指数幂的因式就直接照写,作为结果分式的分子,负整数指数幂的因式改写成分式的分母。【搭配练习】计算以下各式,并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：〔1〕(a-3)2(ab2)-3；〔2〕(2mn2)-2(m-2n-1)-3.例题讲解(一〕题型分类全析例1：〔1〕；〔2〕难度等级：B【思维直现】〔1〕式中有乘方、除法运算,应先算乘方,再算除法；〔2〕式中有分式的加法、除法运算,应先算除法,后算加法.

解：〔1〕〔2〕

【阅读笔记】分式的混合运算,要特别注意运算顺序及符号的处理；式中有括号,应先算括号里面的【题评解说】此题主要考查的是分式的混合运算。【建议】计算时十分容易出错,所以应该按照运算顺序来,每一步严格按照法那么,尽量一次性成功,防止错误。【搭配练习】计算1、2、+4、5、例2：请将下面的代数式尽可能化简,再选择一个你喜欢的数〔要适宜哦〕代入下式求值：

难度等级：B【思维直现】这里的a不能取1,否那么分母的值为0,原式就没有意义了．同学们可选择不等于1的任意实数,只要求出的值均可

解：

当时,原式

【阅读笔记】运用分式的混合运算法那么进行化简求值,注意所给字母的取值范围【题评解说】此题是化简求值题,考查了分式的运算和分式的意义。【建议】做题时,要读清楚题目的意思,明白考题的意图。选择数字时要符合分式的有意义的说法,只能选择除1以外的数。【搭配练习】1、先化简,再求值：．其中x＝2

2、先化简,再求值：,其中a满足．例3．一个纳米粒子的直径是35纳米,它等于多少米？请用科学记数法表示难度等级：B【思维直现】知道：1纳米＝米.由＝10-9可知,1纳米＝10-9米解：35×10-9＝〔3.5×10〕×10-9＝35×101＋〔－9〕＝3.5×10-8,所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米.【阅读笔记】科学记数法对数字的要求是写成：〔,n是整数〕【题评解说】此题考查的是科学记数法和同底数幂的乘法。这是一个介绍纳米的应用题,是应用科学记数法表示小于1的数【建议】要警惕形式上像科学记数法,实质不是科学记数法的数。【搭配练习】1、用科学记数法表示：〔1〕0.00003；〔2〕-0.0000064；〔3〕0.0000314；〔4〕2019000.2、用科学记数法填空：〔1〕1秒是1微秒的倍,那么1微秒＝_________秒；〔2〕1毫克＝_________千克；〔3〕1微米＝_________米；〔4〕1纳米＝_________微米；〔5〕1平方厘米＝_________平方米；〔6〕1毫升＝________立方米〔二〕思维重点突破例4．计算难度等级：C【思维直现】应用加减法的法那么进行运算,观察每一个分式的特点以及整个分式的特点,寻找最简单的解题途径．解：原式＝

＝＝

＝

【阅读笔记】当分子的次数到达或超过分母时,将分式化为整式与最简分式的和,可以降低难度．

【题评解说】此题还是分式的加减,但如果按照常规做法就很麻烦,会出现x的4次幂,所以要观察题目,找到分式的特点。【建议】公式和法那么只是常规方法,对一般题目有效,但遇到特殊形式的题目时,要积极思考,寻求最适合的方法解题。【搭配练习】计算:例5．设n为自然数,计算：难度等级：C【思维直现】此题可巧用分式减法的逆运算,将分式进行拆项、合并．解：：原式

。【阅读笔记】把分式拆项相消后,会减少项数,使通分运算更简便【题评解说】在整式章节中,幂的运算就要使用其的逆运算。此题也是如此,可以巧用分式减法的逆运算,打破常规,到达巧算的目的,从而简化运算。【建议】让思维向对立面的方向开展,从问题的相反面深入地进行探索,树立新思想,创立新形象。【搭配练习】计算：++……+例6．某玩具工厂有四个车间,某周是质量检查周,现每个车间都原有a〔a＞0〕个成品,且每个车间每天都生产b(b＞0)个产品.质检科派出假设干名检验员在星期一、星期二检验其中两个车间原有的和这两天所生产的所有成品;在星期三至星期五检验另两个车间原有的和本周所生产的所有成品.假定每个检验员每天检验的成品数相同.〔1〕这假设干名检验员一天检验多少个成品〔用含a,b的代数式表示〕？〔2〕试求出用b表示a的关系式.〔3〕假设一名检验员一天能检验个产品,那么质检科至少要派多少名检验员？难度等级：C【思维直现】解容许用题的关键是抓住问题中的关键语句：〔1〕“假设干名检验员在星期一、星期二检验完其中两个车间原有的和这两天所生产的所有成品〞,这两天检验的总成品数为2〔a+2b〕个,两天检验完,故每天检验个;〔2〕“在星期三至星期五检验另两个车间原有的和本周所生产的所有成品〞,这三天检验的总成品为2〔a+5b〕,故每天检验个;〔3〕弄清了〔1〕和〔2〕两点,问题就明朗了解：〔1〕这假设干名检验员一天检验或个成品.〔2〕根据题意,得=,化简得a=4b.(3)依题意÷=(a+2b)÷=6b÷=7.5〔名〕.故质检科至少要派出8名检验员.【阅读笔记】过阅读题目,寻求三个根底量非常关键,本例通过求出检验人员前两天和后三天的工作量,