【高考数学】极坐标与参数方程满分训练

2020届高考复习资料——极坐标与参数方程满分训练一、基础知识和公式：4+3（4个公式、3个方程） 4个公式3个方程（1）圆的参数方程为（为参数）；（2）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）（3）椭圆的参数方程为（为参数）；二、概念辨析(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．()(2)点P的直角坐标为(－eq\r(2)，eq\r(2))，那么它的极坐标可表示为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4))).()(3)过极点作倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ＝α或θ＝π＋α.()(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ.()(5)直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋tcos30°，,y＝1＋tsin150°))(t为参数)的倾斜角α为30°.()(6)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段eq\o(M0M,\s\up6(→))的数量．()(7)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝1＋2sinθ))表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．()(8)已知椭圆的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cost，,y＝4sint))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq\f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq\r(3).()三、基础检查(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝3y，))则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为()A．y＝eq\f(1,3)sin2x B．y＝3sineq\f(1,2)xC．y＝eq\f(1,3)sineq\f(x,2) D．y＝3sin2x(2)在极坐标系中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2π,3)))两点间的距离为________．(3)曲线C1：θ＝eq\f(π,6)与曲线C2：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)的交点坐标为________．(4)已知直线l的极坐标方程为2ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\r(2)，点A的极坐标为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4)))，则点A到直线l的距离为________．(5)若直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝2－3t))(t为参数)，则直线的斜率为________．(6)椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)的离心率为________．(7)曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ＋1))(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．四、难点突破:形如（为参数）的消参方法，其中是次数不超过二次的整式，且可利用下面的定理消参：定理两个一元二次方程和有公共根的充要条件是例1化参数方程为普通方程，其中为参数【针对训练】1.化参数方程为普通方程，其中为参数2.化参数方程化为普通方程，其中为参数3.化参数方程化为普通方程，其中为参数题型一：利用解题 1.[2019·长沙检测]在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线交于、两点．（1）求和的极坐标方程；（2）当时，求的取值范围．2．[2019·咸阳模拟]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值．3．(2018·日照一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα＋2，,y＝4sinα))(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝eq\f(π,6)(ρ∈R)．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．4.(2018·南平二模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝1＋sinφ))(φ为参数)，曲线C3的方程为y＝xtanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)，x>0))，曲线C3与曲线C1，C2分别交于P，Q两点．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)求|OP|2·|OQ|2的取值范围．5．(2018·南宁模拟)已知曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，直线l的直角坐标方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.(1)求曲线C1和直线l的极坐标方程；(2)已知直线l分别与曲线C1，曲线C2相交于异于极点的A，B两点，若A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．6.已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝4.(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；(2)若射线θ＝eq\f(π,3)与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝eq\f(11π,6)与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.7.[2019·宝鸡模拟]点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线．（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线与曲线，分别交于，两点，设定点，求的面积．题型二：利用解题关于的基础知识：设直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用:(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|eq\o(M0M1,\s\up6(→))||eq\o(M0M2,\s\up6(→))|＝|t1t2|，|eq\o(M1M2,\s\up6(→))|＝|t2－t1|＝eq\r(t2＋t12－4t1t2).;(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝eq\f(t1＋t2,2).;(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.提醒：对于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))化为标准形式为（为参数）1．[2019·安庆期末]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于不同的两点、，求的值．2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|AB|＝8，求实数a的值．4.(2018·石家庄调研)已知在极坐标系中，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(2π,3)))，C是线段AB的中点.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线Ω的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝－2＋2sinθ))(θ为参数).(1)求点C的直角坐标，并求曲线Ω的普通方程；(2)设直线l过点C交曲线Ω于P，Q两点，求eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(CQ,\s\up6(→))的值.5.(2018·菏泽模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosφ，,y＝2＋tsinφ))(t为参数，0≤φ<π)，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值.6.(2018·郑州质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)已知直线l上一点M(3，2)，若直线l与圆C交于不同两点A，B，求eq\f(1,|MA|)＋eq\f(1,|MB|)的取值范围.7.在直角坐标系中，曲线C：(为参数)．以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)若曲线C与直线交于A，B两点，点P(1，0)，求的值．8.平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求．9.在直角坐标系中，已知曲线、的参数方程分别为：，：．（1）求曲线、的普通方程；（2）已知点，若曲线与曲线交于、两点，求的取值范围．题型三：利用椭圆、圆、抛物线的参数方程题眼：这类题往往是椭圆、圆、抛物线上的动点到某线或点的距离的最值或范围问题1．[2019·柳州模拟]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程，曲线的参数方程；（2）若，分别为曲线，上的动点，求的最小值，并求取得最小值时，点的直角坐标．2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t为参数).(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为eq\r(17)，求a.3..(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－8＋t，,y＝\f(t,2)))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2s2，,y＝2\r(2)s))(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.4.(2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)，C1与C2相交于A，B两点.(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；(2)若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围.5.在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与轴和轴的交点分别为，，为圆上的任意一点，求的取值范围．题型四：求轨迹问题1.(2019·贵州联考)已知在一个极坐标系中，点C的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))).(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－eq\r(3))，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．3．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．4.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，过点(0，－eq\r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.5．(2018·唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同．已知圆C1的极坐标方程为ρ＝4(cosθ＋sinθ)，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足|OQ|＝eq\f(1,2)|OP|，点Q的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；(2)已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosφ，,y＝tsinφ))(t为参数，0