.运筹学-整数规划案例

整数规划建模应用最广泛的整数规划问题是各种类型的决策问题，决策者希望模型能回答诸如：是否要执行某些项目（或某些活动），在什么时候或什么地点执行等决策问题，回答这类“是—否”或“有—无”问题可借助整数规划中的0-1整数变量。0-1整数变量只有两个选择，0由于它在数学上的特性可以很好的代表“无”或“否”，而1则可以很好地代表“有”或“是”。0-1变量由于它的特殊性也被称为二进制变量、决策变量或逻辑变量。0-1变量的作用1.xj＝1…方案j被选中0…方案j未被选中2.从n个方案中必须选中一个：3.从n个方案中最多选中m个：4.方案i只有在方案j选中时，才可能被选中：5.方案i与方案j是否选中是同时的：与0－1变量相关的几个实际问题1.投资问题

现有总额为b的资金可用于投资，共有n个项目可供投资者选择，已知项目j所需投资额为aj，投资后可得利润cj（j＝1，2，…，n），不妨设b，aj，cj均是整数，试问为使所得利润最大，应选取那些项目进行投资？先引入0－1变量xj，令

xj＝1…对项目j投资0…否则则可得到如下整数规划问题：例1：华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益见下表：项目投资额（万元）投资收益（万元）121015023002103100604130805260180该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到以下约束：①在项目1、2和3中必须有一项被选中；②项目3和4只能选一项；③项目5被选中的前提是项目1必须被选中。问如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，使投资收益最大。令0-1变量为决策变量，即xi＝1表示选中项目i，否则xi＝0表示项目i未被选中。则模型可以表示为：解：2.背包问题背包问题由来以久，它是从旅行者如何选择放在背包中的用品引出的。旅行者可背负的重量有限，但旅行者需要携带的物品很多，如：食品、水、衣物、帐篷、急救用品等等，旅行者不可能将所有想携带的物品都统统背上，他只能选择那些最重要的物品随身携带，又不超过他可能负担的最大重量，为解决这个问题，旅行者可给每种物品指定一个重要性系数，他的目标是在小于一定重量的前提下，使所携带的物品的重要性系数之和最大。例2：一登山队员做登山准备，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相机和通讯设备每种物品的重要系数和重量如下表所示，假定登山队员可携带的最大重量为25千克。问他如何抉择？序号1234567物品食品氧气冰镐绳索帐篷照相器材通讯设备重量（千克）55261224重要系数201518148410

令xi＝1表示登山队员携带物品i，xi＝0表示不带物品i。则问题可写为：Maxz=20x1+15x2+18x3

+14x4+8x5+4x6+10x7s.t.5x1+5x2+2x3+6x4+12x5+2x6+4x7≤25

xi=1或0，i=1,2,…,7解：背包问题应用（作业）

要把7种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，包装箱的宽和高相同，但厚度和重量不同，见下表：

每辆车有10.2m长的地方可以用来装箱（类似面包片），载重为40吨。C5，C6，

C7，三类包箱所占总空间（厚度）不超过302.7cm，试建立数学模型，尽量将这些包装箱装到平板车上去，使浪费的空间最小。例3.一公孟司考路虑在故四个捆城市胡：北姻京、寻上海耽、广幻玉州和莲武汉毁设立宏库房滋。这些头库房聚负责组向三情个地守区：裂华北铺、华标中和闪华南唱地区膜发运搂货物搞，每个库滨房每省月可恶处理双货物10巩00件。音在北茄京设谋库房仿每月午的成挠本为4.休5万元。幕上海亡为5万元鼻，广知州为7万元范，武昂汉为4万元热。每侄个地丧区的条月平均需惯求量顿为：株华北汽每月60忽0件，搂华中膝每月70唐0件，臭华南耻每月80臣0件。发运慌货物陕的费左用（纱元/件）腿见下液表：华北华中华南北京200400500上海300250450广州600400250武汉300150350公司青希望钩在满咐足地数区需麦要的酿前提澡下使鸟平均哄月成环本最宏小，谜且还要满胁足以夫下条坏件：①如果壤在上州海设搜立库监房，烂则必般须也察在武策汉设干库房；②最多汤设立档三个绳库房叶；③武汉享和广鉴州不踪蝶能同割时设谦立库统房。请建阁立一严个满利足上案述要北求的权整数棒规划南模型来。3.工厂递选址陈运输督问题设每势个月端从仓巾库i运往头地区j的产费品的治货物杆数量滚为xij，引粉入0－1变量yi=距1表示剃在Ai设立胸仓库坚，否诱则不乡丰设。设每反个月胞的总移花费含为z，则受上述叠问题皂的数源学模酸型为Mi惊n气z＝20逢0x11+4层00军x12+5思00乌x13+3青00倡x21+2搁50淘x22+4置50祝x23+6菠00守x31+4遗00开x32+2故50厨x33+3仁00娃x41+1贿50快x42+3缠50鲁x43+4泛50棵00驰y1+5唯00筛00龄y2+7舍00貌00绍y3+4奖00笑00杠y4s.毁t.饮x11+x12+x13≤1坑00梢0y1x21+x22+x23≤1猛00泡0y2x31+x32+x33≤1领00园0y3x41+x42+x43≤1练00威0y4x11+x21+x31+x41≥60繁0x12+x22+x32+x42≥7劲00x13+x23+x33+x43≥8锻00y2-y4≤0y1+y2+y3+y4≤3y3+y4≤1xij≥0；yi＝0或1；i=翻1,驻2,货3,系4；j=义1,诱2,羊3工厂糖选址筹运输毅问题设有n个需易求点竟，有m个可恶供选甜择的滚厂址毯，每个扭厂址予只能被建一议个工车厂，怠在i处建熊厂，蹦生产能力年为Di，单域位时飘间的肝固定绑成本矛为ai，需薯求点j的需塑求量凤为bj，从滴厂址i到需造求点j的单陕位运窄费为Cij，问餐应如绕何选菌择厂灭址才葛能获牛得经炼济上科的总花费妇最小衬的方翼案。设在叛单位弓时间锅内，添从厂招址i运往闻需求点j的产本品数晒量为xij，引入0－1变量yi=1…在i地建膀厂0…否则设在辽单位锤时间阻内的竭总花挺费为z，则上述裳问题哑的数垒学模看型为4.集合喊覆盖勒和布糠点问宋题集合侨覆盖奖问题映也是恳典型板的整熟数规至划问剩题，演在集耀合覆盖陶问题坦中，爪一个雀给定停集合谈（集摆合一绳）的桂每一砌个元盘素必须徒被另棋一个逢集合坐（集验合二每）的径元素糟所覆笨盖。脖在满迷足覆盖魄集合菠一所榨有元主素的世前提强下，桑集合做覆盖冷问题凭的目湖标是求艰需要阵的集爆合二虑的元饱素最补少，从该问恶题之赢所以唤又称库为布点搞问题锁，是嗓因为浅它常涌被用特于一链些公背共设攀施，本如：索学校、犹医院送、商耍业区隶、消习防队斯等设猪施的伴布点锐问题什，解单决如何缝既满币足公饭共要规求，毯又使蜓布的参点最筹少，艰以节崇约投课资费用岂。例4：解橡决某桂市消驱防站辩的布辫点问喊题：弓某城找市共锁有6个区杂，每雅个都合可以抚建消坟防站蚊。市阴政府亿希望势建设急的消叙防站炼最少跑，但路必须欺满足赏在城浓市任挤何地蹲区发而生火鬼警时绘，消驾防车妹要在15分钟辛内赶紧到现像场。艇据实庸地测晚定，低各区采之间怒消防瓶车行游驶的绩时间艰见下睬表：叠请帮炕助该程市制起定一子个最会节省翁的计框划。表3.协5消防劈燕车在盛各区环行驶货距离齐表地区1地区2地区3地区4地区5地区6地区1瞧0呢10坐1叙6私2普8换2嘴7高2年0地区2单1善0惜0苹2述4逗3隔2脊1劣7篇1辈0地区3获1啦6摧2统4采0今1愁2膝2扣7册2私1地区4洗2跑8袍3你2灭12轻0豆1辞5惯2绒5地区5瞧2夺7牺1焰7和27馒15伤0耍1壶4地区6妥2锡0球1驻0煤21夏25牵14转0解：Xj=1表地匪区设楚消防须站，Xj=0表地筑区不叨设消狂防站颂。Z＝消寸防站赛总数厦，则漫模型骡如下溉：Mi渠nZ=X1+X2+X3+X4+X5+X6s.纽奉t：X1+X2≥1X1+X2+X6≥1X3+X4≥1X3+X4+X5≥1X4+X5+X6≥1X2+X5+X6≥1Xj=0，1；j=眨1，2，3，4，5，6。作业某市级有8个区因，救警护车牵从一肆个区钻开往吨另一兼个区党所需行时间柳：区号12345678人口（万人）10246898104022054861293034502235735464203254205882302241569632203250781255230245810974422060该市混只有阶两辆创救护垃车，滥且希四望救然护车妻，所蒸在的轧位置捞能使尽可青能多岛的人追口位建于救佣护车脖在两非分钟以内可惑达到正的范耍围内，请箩帮助担该市校构造我一个居整数狱规划孕模型钞来解卷决这毯个问