.基本关联矩阵及其性质

3.2基本关联矩阵及其性质一、树：连通、无回路、每边是割边、n-1条边二、至少有两个度数为1的结点(叶子)三、矩阵线性无关最大行数=矩阵线性无关最大列数=矩阵中非零的方阵的最大阶数=列对应图中边，最大线性无关的边数四、回路中的边线性k相关，对应的列线性相关，这些列中任意K阶子式为0本节讨论对象为有向连通图G定义基本关联矩阵:在有向连通图G的关联矩阵B中划去任意结点Vk所对应的行,得到一个(n-1)×m的矩阵Bk,称为G的一个基本关联矩阵.V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10有向图G的关联矩阵B的秩<n证明由于矩阵B的每列表示每边的起点与终点,起点处为1,终点为-1.行1+行2+…+行n=0,故行n=-行1-行2-…-行n-1，即行n为前n-1的线性组合，即行n与前n-1行不独立,故独立行数即B的秩<n.

设S是有向图的关联矩阵B任一k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.证明

当k=1时det(S1)=1、0、-1.当k=2时det(S2)=1、0、-1.det(S2)=a11*a22-a21*a12v1是边e1的起终无若a11=1,a21=0det(S2)=a22=1、0、-1若a11=1,a21=-1det(S2)=a22+a12，第2列中两元可能:1与-1、1或-1、全0。

若a11=-1,a21=1det(S2)=-a22-a12=-(a22+a12)同上。若a11=-1,a21=0det(S2)=-a22=1、0、-1若a11=0,a21=1det(S2)=-a12=1、0、-1若a11=0,a21=-1det(S2)=a12=1、0、-1设S是有向图的关联矩阵B任一k阶方阵,则Det(S)=0,1或-1.证明：假设n=k时，det(Sk)=1、0、-1.对于(k+1)阶方阵S，由于关联矩阵的每列只有2个非0元即+1,-1,故S的每列最多只有2个非0元+1,-1。S的情况如下：(1)S有一列全为0则det(S)=0。(2)每列都不全为0，即每列都有非0元。(2.1)每列都有两个非零元即每列都有+1、-1，则将前k行加到第k+1行，则使得第k+1行为0，故det(S)=0。(2.2)某一列只有一个非零元aij，则按其展开为det(S)=aij*(-1)i+jdet(Sk)=(-1)i+jdet(Sk)=1,0,-1各阶子式的值是0,-1,+1.定理连通喇图G心有n乘个结乖点，软点与动边的抓完全怠关联凶矩阵孙的秩娃为n霜-1此。证明脊：线性无关的最大茎行数为历n-废1，必再多狠1行累即n竖行就丑相关辜，即线性相关的最少潮行数坛为n炼，遥用反证帝法证明图。即假啄设线性绢相关的最乘少行数扑为L舱<n免，寻找献错误夺的结哨论。定理连通双图G贿有n超个结剖点，浩点与骡边的为完全赌关联匠矩阵叙的秩悬为n剥-1结。证:假设线性按相关的最青少行数欲为L采<n敏.k1b(位i1)+折k2b(梅i2)+默…+没kLb(似iL)=层0ki0,i植=1舟…L因关联祸矩阵每列坝只有衡二个斥非0安元，辞则这L故行所形和成的矩阵界中每列至多有2裙个非满0元捧，有范些列肉可能翅全是仁0，但不全可能羽只有丘1个始非0廊元。假设某列j只有剂1个她非0些元在ki行，以则该柿列各文数的既线性饼组合浊=ki*bij=款ki=0距，与ki0矛盾涝.对关造联矩督阵的列进行盆调整稠，将获这L行中列敲中含蛛有2个酸非0弃元的列仪调整倍最前裤面，功全0雁的调瞒整到啦后面牺.最后嫁将这L行调整碍到最么前面轮。定理连通共图G改有n错个结刮点，颂点与救边的茂完全暑关联蛮矩阵券的秩待为n锯-1拒。证:假设线性裂相关的最关少行数华为L骑<n概.对关聪联矩果阵的低列进姥行调盒整，圾将这扒L行纱中列那中含兼有2个庭非0敏元的列末调整串最前确面，厨全0套的调林整到句后面南.剧最后况将这秃L行责调整拉到最饮前面岁。记L论行中注含2个版非0朝元的列数丑为t，即袖这L柜行只逮与这t条亡边相关闯，则针有如恢下分陷块矩厕阵：2个非0元的列全0元的列定理淋3.川2.厨3连通静图G图有n个菊结点，关轻联矩伞阵的插秩为n-厚1。证:假设线性可相关的最穷少行数伏为L炸<n狭.L行锣对应梢的L胁点只飞与这教t条估边相腐关，鞋n-腐L个定点与扫t条品没关深系，银那么密n-份L个柔点不尘可能副与L桃点有曲边相奥连！棋故不认连通颗！因L<例n故n-瓜L>痒0，则B'至少世分为屑两个墨连通挎分枝枪，而B'仅是B进行结“行-初行”与劣“列-返列”互轮换得辱到,遍是传改变荐点与催边在漆关联路矩阵颠中出彼现的桃顺序燥，故倾保持掉连接燥性不遇变，钳故B身也有斤2个态连通键分枝翁，故丧原图任G不幕连接废.与桨原图评是连通阅矛盾！故线纲性相轨关至南少需垦要n魂行，马小于肆n无卫关，缩慧线性置无关降最大吸行数严为n悬-12个非0元的列全0元的列定理连通脉图基本直关联矩阵Bk的秩筛n-宵1.证明:室由定恒理的设证明勇可知槐,线性呈相关的行跑数至少抵为n，故小于句n则线性国无关。即任归意n汪-1败行肯轿定线性掀无关，而斑Bk达是关而联矩悔阵的贩某n客-1住行，休故线夹性无坡关，盼故B世k的玩秩为哲n-伍1。说明：若G仅的结点斑为n，连提通分支欲数为酿w，则完全照关联营矩阵的秩愚为n-建w。分支钟数w=点忆数n-关宇联矩款阵的面秩ra理nk挎(B明)特别都是w=侦1即G挪连通差时,仙秩为n-徐1点数浑是确蜻定的目，关算联矩饱阵随生网络努连接宿情况稍而变桥化，挡故根皮据其登秩数臂可判效断网意络的绣连通铸性。推论n个础结点嚼树T国的基本偿关联矩阵含的秩饺是n-络1.证明:T凯是连通煤无回桃路的图执，是己一个请特殊忘的连省通图以。给每条徒边加上陕方向食，父结粒点为边嘱的起爪点，姿子结须点为恳边的强终点济，则状树T大是有向连沾通图。根据定理可知追，故常它的基本束关联棚矩阵的秩透是n甩-1婚.有向北图的局连通错性,是眨在忽培略每晃边的栗方向籍后确日定的下,这却与其蛾它教清材上欧关于扮有向蹈图的钉定义不一灭样,请叶注意亿.结点鸭数为特n的连摊通图境G的基本局关联关矩阵的秩是幸n-毕1,其维中边佣数最芬少的糖连通挤图是纲“树盼”,域它恰瞒好有鲜n-吐1边艘,这n-芦1边朱是线被性无肯关的.其它芒连通寇图中的葡边数界>n笔-1丧,而光这些拆边中公又只有n-堤1列较是线性搂无关的,挺那么卫哪些耕列是线性授无关的呢捕?如何孤寻找呢？定理C是连勺通图G的一捕个回路,Bk是G鄙的一阳个基本掌关联求矩阵,那行么回拳路C中各尽点与各边炉对应Bk壁的列线性温相关.一个推回路盐中的缓边是跑线性遮相关休的。回路沿矩阵应能找脆出所要有相托关、椅无关锤边设初彼级回路惧C包含以了G鞠的L个美结点，由证点与起边均晓不重如复，呜C肯替定有L蛛条边,这镰L条蝴边对唇应关猫联矩置阵B虑的L列,这河L列馒构成叠B的踢子阵B(牢Gc壮)，达环C轨本身仔的关伙联矩巧阵B躬(C器)树(L点暂L边)。V1V2V3V4V5V6e2e1e3e4e5e6e7e8e9e10子阵B(Gc)B(C)(L点L边)证明:只梁需针坡对初级尾回路进行探讨论辰.设回渔路C剂包含窃了G钩的L个寄结点自L条赖边.赌不妨扑假设L<并n,这L妹条边肉对应干关联捡矩阵央B的组L列胃,这枯L列田构成计B的淋子阵B(钢Gc沙).回路罗C的正关联滋矩阵B(横C)是L循阶方临阵,嘉又由挣于C盼是连芬通图搭,故B(绢C)的秩加为L润-1眠.由秩拼的定亡义可阿知，伯矩阵排B(裳C)键的L个孕列向辽量线性租相关昌。而基依本关藏联矩结阵Bk中与祥这L但条边象对应匙的L源列向预量的削下方粉(即洗n-拳L-云1行艳)全愁是0庸(因这项L条距边只脖与回普路C筋中的套L个积结点转相关妨,与庆其他途点无鬼关故醒为0)，锋故Bk中这彩L个柏列也摊线性防相关笨。子阵B(Gc)的L列相关B(C)(L点L边)秩为L-1,则其L列相关推论设H是连摊通图背G的子图,若H含枪有回忽路,则痰H的赞诸边滩对应滑的G鞋的基撤本关仰联矩危阵各列燃线性接相关.减少请找回蛮路范旅围定理令Bk是有脾向连滩通图绢G的基本似关联狮矩阵,Bk的某n-注1阶效子阵飞行列合式非0其各伶列对东应的仇边构前成一棵诊支撑行树。不在慌某回荷路上!定理令B雄k是氏有向连通辱图G的覆基本私关联索矩阵逆,那肃么B统k的饶某n-忆1阶计子阵倾行列绒式非0教的是其各后列所对梯应的归边构煮成G硬的支撑活树.证明顷:.如果秩某个遍N-贞1阶佣子阵难Bk袖(GT)的便行列金式非凶0,盈则芝这n勿-1臭列线耳性无牧关,免即这n-航1边燥线性乞无关。由推饿理可祖知,好则这品n-壶1条纹边中不含谢回路(若有屑回路否则线胆性相是关)。由树到的定注义含停有n-筛1条洪不构层成回联路的边咏，即构成孟一棵聋树，即告为支多撑树闹。定理令B兽k是颠有向连通景图G的工基本仿关联玩矩阵搭,那呈么B娇k的赔某n-巧1阶叼子阵偷行列炊式非0谊的是其荡各列视所对垃应的券边构窄成G袭的支撑避树.证明陷:.设对应絮边的构沉成一棵未树,则吧由树堪的定拖义可