. 微分方程的基本概念

安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.1微分方程的基本概念Basicconceptofdifferentialequations三、微分方程的解一、问题的提出二、微分方程的定义微积分电子教案引例

一曲线通过点(1,2),且在该曲线上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,

求该曲线的方程。解：设所求曲线方程为：y=f(x)两边对x求积分：即

y=x2+C将x=1,y=2代入，得：2=1+C即

C=1故所求曲线为：y=x2+1一、问题的提出由题意得：定义1

含有未知函数的导数(或微分)的方程。2.1、微分方程二、微分方程的定义定义1

含有未知函数的导数(或微分)的方程。如：2.1、微分方程二、微分方程的定义未知函数是多元函数，即含有偏导数的微分方程，称为偏微分方程未知函数是一元函数的微分方程常微分方程定义2微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶。二阶微分方程n阶微分方程的一般形式为：F(x，y，y，y，…，y(n))=0一阶微分方程二、微分方程的定义2.2、微分方程的阶二、微分方程的定义2.3、微分方程的分类分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:线性(未知函数及其导数都是一次)非线性微分方程分类4:单个微分方程与微分方程组.定义3

若将某函数及其导数代入微分方程,可使方程成为恒等式,则称此函数为微分方程的解三、微分方程的解3.1、微分方程的解三、微分方程的解例1

验证下列函数都是微分方程y－2y+y=0的解.解:代入原方程∴

是原方程的解.代入原方程：∴

是原方程的解.三、微分方程的解例1

验证下列函数都是微分方程y

－2y+y=0的解.解:代入原方程：∴

是原方程的解.解的线性组合也是解y=0也是解。均为解，有何区别？⑴通解赤：微分黑方程逆的解鲁中含宣有任意搞常数，这山些常骨数相触互独志立(即不备能合交并了)，且个数啊与微侨分方摩程的守阶数圆相同，这畜样的桂解称雷为微拴分方序程的务通解著。3.土2、通迷解与旋特解三、弟微分炼方程陡的解⑵特解复：确定炎了通阵解中概任意邪常数出的解她。例1中：——通解——特解——既非分通解反，也追非特持解，佛是个冠解。——奇解驼（但准不是治特解痒，不挣研究烤）通解铲：通否用的贸解，钢含有槐任意昏常数教；特贵解：庆特殊销的解怜，不苦含有谣任意辽常数⑴通解漆：微分跃方程宝的解盟中含凝有任意李常数，这汁些常壮数相必互独集立(即不散能合迫并了)，且个数尺与微婆分方篮程的舞阶数甜相同，这微样的要解称久为微蛮分方鸣程的膨通解各。3.衰2、通帽解与音特解三、翅微分昨方程罢的解⑵特解梯：确定钱了通始解中向任意燥常数牙的解趣。特解脾可以样从通界解中沃通过某个铺条件求出回常数坝得到瞧特解称为富定解控条件晨，也出称为殖初始配条件一般眠地，n阶微艺分方饲程就各有n个定卡解条晃件三、剖微分尚方程徐的解求特盐解步氏骤：蛙先求防通解钢，代容入初返始条汉件，穿确定临通解控中任留意常礼数的伸值，川可得肆特解则。微分中方程微分旧方程会的通弄解定解网条件如引仓例求解商得：微分换方程罪的特赶解三、渡微分雾方程遣的解解的帮图像:微分怒方程腊的积艳分曲有线.通解础的图素像:积分姑曲线邪族.3.迁3、微释分方赵程解航的几茶何意讽义过定术点的禽积分但曲线;一阶:二阶:过定端点且红在定埋点的肤切线玩的斜负率为长定值团的积遇分曲爽线.初值沾问题:求微针分方坊程满即足初律始条默件的芬特解笨的问伤题.解例3

验证:函数是微分方程的解.并求满足初始条件的特解.三、吸微分达方程博的解所求芦特解亦为练习：为微咐分方犬程的特解.三、损微分盘方程践的解函数是微分方程的解吗？如是解，请问是什么解?安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§1沿0.窝2度一阶真微分昼方程Ba烈si辨c狼co共nc桐ep霸t稻of暮d种if慌fe茎re徐nt既ia袜l浩eq娱ua就ti该on颗s三、辱齐次盘方程一、军一阶拒微分残方程听的形众式四、肿一阶屡线性抗微分不方程微积分电子教案二、倡可分繁离变怜量的栏微分驾方程⑴一般测形式:F(x,y,y)继=0⑵正规限型:⑶微分纽奉型:f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正规型可化为如：下面朴只讨跌论一禽阶微美分方污程中寺最常宰见的缘瑞几种匀类型鼻及解粉法,包括悄：可分束离变属量的爬微分弃方程、齐次励微分从方程、线性匪齐次礼微分嫁方程、线性潜非齐座次微剑分方违程。一、踪蝶一阶粒微分景方程疲的形甩式y=f(x,y)⑴形式拖：即变量x的函圣数和械微分与变量y的函肉数和逢微分已分狼离在湖等式彼两边戴（或逃已分年离开毁来）.⑵解法攻：直接武积分雪。例1、求通惯解：解：两边芦积分故原拒方程饭的通梯解为拣：2.唐1、已值分离务变量尿的微隙分方栽程二、艘可分抚离变梳量的昼微分乡丰方程例2求通呀解：解：两侍边积葛分得：二、浩可分盒离变祥量的钞微分交方程故原鹅方程愚的通挡解为既：结论1:通解车既可席用显庆函数彼表示,也可旁用隐炊函数联表示.⑴形式沟：二、势可分个离变拉量的丽微分至方程2.引2、可分麦离变工量的竞微分沉方程⑵解法区：先分吵离变尿量，浅再两貌边积嚷分即秀可。或例3解微眯分方检程解:先分改离变海量，二、冈可分章离变缓量的贺微分部方程再两闷边积借分故原质方程勒的通李解为二、肺可分吩离变跑量的里微分纲方程⑵若积欠分后午出现缸对数,则可工将任约意常收数写林成lnC的形覆式,以利雨化简.说明:⑴在解微分方程时,对形如…积分,可直接得lnx,lny,…不必加绝对值；òdxx1òdyy1例3解题任过程册可简时化为低：先分飞离变狼量：再两茅边积渔分解：二、抓可分迈离变暂量的冶微分昌方程例4求方惰程满足绸初始耐条件y(1涛)=葡2的特年解.分离贱变量积分夕得：故通埋解为:将x=1床,y=2代入劝通解故所吴求特夏解为：得：C=1辰0例5已知召某商服品的尸需求廊量Q对价订格p的弹渔性为ep=-0.震02p,且该穿商品捏最大晃需求泄量为24漠0,求需宋求函砍数Q=Q(p).解:依题铅意,得扭:二、光可分摧离变稿量的碧微分桑方程整理暮得：积分之得:将p=0挥,Q=2拴40代入,得:C=2终40故求府需求孩函数莫为：例6设f(x)在(-蜂∞，君+∞伏)连续,且满例足:求f(x).注：⑴积穿分方尿程求厅导后卖化为毒微分才方程;⑵注雕意隐侧条件.二、寺可分渐离变洲量的删微分碑方程ò+=xdttfxxf0)(2)(解：原方程对x求导：即：分离白变量之得：两端量积分邻得：由原掩方程逢可知蛇：f(0宅)=架0代入鞭通解C=2故解：⑴∵f(tx,ty)=向50涝(tx)(ty)2=5艳0t3xy2=t3f(x,姥y)故⑴是齐次挪函数,且是3次齐次步函数;故⑵是齐次投函数,且是0次齐次尤函数.三、探齐次然方程⑴复习:证明函数⑴f(x,y)=50xy2;都是齐次函数,并说明是几次齐次函数.yxyxyxf+-=),(⑵),(),(⑵yxfyxyxtytxtytxtytxf=+-=+-=3.殊1、齐稀次方垮程的挪引入3.纹2、齐季次方寺程及炉其解冈法⑷解法：①化标准形式；②变量替换；③分离变量；④求通解；⑤回代。⑵标准役形式峡：⑶常见椅形式酬：如三、蜻齐次镰方程化为标准形式⑴定义:微分方程

中,若为0次齐次函数,则称该方程为齐次微分方程,简称为齐次方程.⑴—关于y的微息分方党程代入控原方饮程,得：⑵—关于u的微戴分方宪程分离穗变量,得：积分陆、整凡理得通解：回代得：是⑴的解钓。三、夏齐次腰方程解：分离饰变量财