刚体定点转动的力学基础

关于刚体定点转动的力学基础第1页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.1刚体的角位置与角速度描述方法

刚体刚体坐标系与参考坐标系刚体的运动自由度自由刚体位置和运动的描述定轴转动刚体

定点转动刚体基本概念2023/6/282第2页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三一质点的位置向量及其表示方法§1.1刚体的角位置与角速度描述方法

广义坐标

列向量

方向余弦

空间自由质点的位置，可用三个独立参数表示，也可用多于三个的参数来表示，而后者必须满足约束条件。

2023/6/283第3页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三二定点转动刚体角位置的广义坐标表示§1.1刚体的角位置与角速度描述方法

三个非共线向量自由刚体六个参数独立

定点刚体三个参数独立2023/6/284第4页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.1刚体的角位置与角速度描述方法三定点转动刚体角位置的方向余弦描述采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个3×3的矩阵），可以确定刚体的角位置。2023/6/285第5页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三三定点转动刚体角位置的方向余弦描述对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，反之亦然。

§1.1刚体的角位置与角速度描述方法2023/6/286第6页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三方向余弦矩阵的应用：坐标变换基本公式讨论：2023/6/287第7页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三讨论：方向余弦矩阵的性质（1）两个方向余弦矩阵互为转置矩阵

（2）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵

（3）方向余弦矩阵是正交矩阵

约束方程2023/6/288第8页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三方向余弦矩阵的约束方程讨论：2023/6/289第9页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三四定点转动刚体角位置的欧拉角描述§1.1刚体的角位置与角速度描述方法选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。依次的三次转动，转动轴的选取产生两类欧拉角。2023/6/2810第10页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三第一类欧拉角(转动顺序为：Z-X-Z)四定点转动刚体角位置的欧拉角描述2023/6/2811第11页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三第一类欧拉角的线性化四定点转动刚体角位置的欧拉角描述2023/6/2812第12页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三第二类欧拉角（转动顺序为：X-Y-Z）四定点转动刚体角位置的欧拉角描述2023/6/2813第13页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三第二类欧拉角的线性化四定点转动刚体角位置的欧拉角描述2023/6/2814第14页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三五定点转动刚体角速度的欧拉角描述§1.1刚体的角位置与角速度描述方法2023/6/2815第15页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转动角速度在中间坐标系中的投影：

2023/6/2816第16页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.1刚体的角位置与角速度描述方法五定点转动刚体角速度的欧拉角描述2023/6/2817第17页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三自学内容：方向余弦矩阵的导数2023/6/2818第18页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.2常用参考坐标系一惯性坐标系1.日心惯性坐标系2.地心惯性坐标系

日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。地心坐标系的原点设在地球中心处，x和y轴位于地球赤道平面并分别指向确定的恒星，z轴与地球自转轴（地球极轴）重合，并指向北极星。2023/6/2819第19页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.2常用参考坐标系二地球坐标系及其旋转角速度坐标系原点设在地球中心,三根轴与地球相固结。

2023/6/2820第20页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.2常用参考坐标系三地理坐标系1.地固地理坐标系

坐标系的原点选在地球上任一点，三根轴与地球固结。2023/6/2821第21页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.2常用参考坐标系三地理坐标系2.当地地理坐标系

原点设在沿地球表面运动的物体上，三根轴和地固地理坐标系的指向相同，不与地球固结。随载体线运动而运动。KVNE2023/6/2822第22页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.2常用参考坐标系三地理坐标系2.当地地理坐标系

2023/6/2823第23页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.2常用参考坐标系四地平坐标系原点设在运载体质心，y轴水平并沿载体运动方向，z轴铅直向上。

2023/6/2824第24页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.2常用参考坐标系五载体坐标系坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。xyzxyz2023/6/2825第25页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三§1.2常用参考坐标系六陀螺坐标系xyz

O2023/6/2826第26页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考系的速度和加速度。

§1.3刚体定点转动的一般原理一哥氏定理与哥氏加速度两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速度与两坐标系相对静止时有所差别。2023/6/2827第27页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差别n系b系一哥氏定理与哥氏加速度2023/6/2828第28页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三两个参考系之间相对转动时大小变化b系的方位变化一哥氏定理与哥氏加速度2023/6/2829第29页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三两个参考系之间相对转动时于是：一哥氏定理与哥氏加速度2023/6/2830第30页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三哥氏定理的向量表示

哥氏定理说明：同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的关系，只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。有时称左边为绝对导数，右边第一项为相对导数。

一哥氏定理与哥氏加速度2023/6/2831第31页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三由哥氏定理可得到速度合成公式质点相对于参考系的速度。坐标系b相对于参考系的速度质点相对于坐标系b的速度附加速度牵连速度一哥氏定理与哥氏加速度2023/6/2832第32页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之间的向量合成关系：

一哥氏定理与哥氏加速度2023/6/2833第33页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三一哥氏定理与哥氏加速度动点在参考坐标系中的视加速度

动点在动坐标系中的相对加速度

动点的哥氏加速度

2023/6/2834第34页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三一哥氏定理与哥氏加速度动点的向心加速度

动点的欧拉加速度

牵连加速度

动点的爱因斯坦加速度2023/6/2835第35页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体

e

系：地球坐标系（b

）i系地心惯性系（n）2023/6/2836第36页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体

e

系：地球坐标系i系地心惯性系2023/6/2837第37页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三二非惯性系中的牛顿定律惯性系中的牛顿第二定律：

根据哥氏定理：

：牵连惯性力

：哥氏惯性力

：相对惯性力

2023/6/2838第38页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三二非惯性系中的牛顿定律达朗贝尔原理的一般形式

2023/6/2839第39页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三三转动惯量、惯量椭球与惯性主轴（自学）刚体对任意轴转动惯量的表达式

刚体对任意轴的转动惯量在直角坐标系中的表达式

2023/6/2840第40页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三讨论：转动惯量的求解

求下图装置对不同坐标系的转动惯量2023/6/2841第41页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三求圆环与匀质圆盘的转动惯量圆环匀质圆盘2023/6/2842第42页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三惯量椭球三转动惯量、惯量椭球与惯性主轴

过坐标原点到椭球面上的任意点的距离，反映了刚体对该任意轴的转动惯量。该椭球可用来描述刚体对所有过原点的轴的转动惯量的情况，称之为刚体的惯量椭球或惯性椭球。

2023/6/2843第43页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三

惯性主轴三转动惯量、惯量椭球与惯性主轴如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性主轴，对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，所以这三根对称轴是刚体的惯性主轴。

2023/6/2844第44页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三定点转动刚体的惯量矩阵

三转动惯量、惯量椭球与惯性主轴2023/6/2845第45页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三四角动量、角动量定理与欧拉动力学方程质点的角动量及角动量定理

2023/6/2846第46页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三定点转动刚体的角动量

四角动量、角动量定理与欧拉动力学方程2023/6/2847第47页，讲稿共51页，2023年5月2日，星期三四角动量、角动量定理与欧拉动力学方程惯性主轴定点转动刚体的角动量

2023/6/2848第48