方程的根与函数的零点

方程的根与函数的零点1.函数零点的概念对于函数y=f(x)，我们把使

的实数x叫做函数y=f(x)的

.2.函数零点与方程根的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的

，也就是函数y=f(x)的图象与

的交点的

.所以方程f(x)=0有

函数y=f(x)的图象与_________函数y=f(x)

.f(x)=0零点实数根x轴横坐标实数根x轴有交点有零点3.函数零点的判断(根的存在性定理）如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)

，那么，函数y=f(x)在区间

内有零点，即存在c∈(a,b),使得

，这个c也就是方程f(x)=0的根.4.二次函数的零点、二次函数图象与x轴的交点、一元二次方程的根三者之间的关系.<0(a,b)f(c)=0有两个零点Δ=b2-4acΔ>0Δ<0Δ=0ax2+bx+c=0(a>0)的根y=ax2+bx+c(a>0)的图象y=ax2+bx+c(a>0)的零点方程无实数根x1=x2=

有一个二重零点没有零点学点一函数的零点求下列函数的零点:(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-x2-2x+3;(3)f(x)=x4-1.【分析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点就是求相应方程的实数根.学点一函数的零点求下列函数的零点:(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-x2-2x+3;(3)f(x)=x4-1.【解析】（1）由f(x)=4x-3=0得x=，所以函数的零点是（2）由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1)，因此方程f(x)=0的根为-3,1，故函数的零点是-3,1【解析】（3）由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)，令f(x)=0，得x=1,-1,故函数的零点是1,-1【评析】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得到函数的零点.求下列函数的零点:(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-x2-2x+3;(3)f(x)=x4-1.学点一函数的零点（1）令lnx-3=0,得x=e3,∴函数的零点为e3.求下列函数的零点:(1)y=lnx-3;(2)y=x3-7x+6.（2）方程x3-7x+6=0可化为x3-6x-x+6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)=0.即(x-1)(x-2)(x+3)=0得x1=-3,x2=1,x3=2,函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2求下列函数的零点:(1)y=lnx-3;(2)y=x3-7x+6.求证：方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)上，另一个在区间(1,2)上.证明:令f(x)=5x2-7x-1,则f(0)=-1,f(1)=-3,f(-1)=11,f(2)=5.由f(-1)>0,f(0)<0知在(-1,0)上f(x)有一个零点，即方程f(x)=0有一根，同理，由f(1)<0,f(2)>0知方程在(1,2)上也有一根.学点二判断零点学点三零点与不等式已知函数f(x)=x3-4x.（1）求函数的零点并画函数的图象；（2）解不等式:xf(x)<0.【分析】由函数的零点判断作出函数图象.【解析】（1）因为x3-4x=x(x-2)(x+2)，所以函数的零点为0,-2,2.三个零点把数轴分成4个区间：(-∞,-2］,(-2,0］,(0,2］,(2,+∞).由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图象如图所示.（2）x>0x<0f(x)<0f(x)>0,结合函数图象,得不等式的解集为(0,2)∪(-2,0).【评析】根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数的图象，结合函数图象不仅可以直观的研究函数的性质，而且能够求解相关的不等式，这体现了以数辅形，以形助数的思想方法.已知函数f(x)=x3-4x.（1）求函数的零点并画函数的图象；（2）解不等式:xf(x)<0.学点三零点与不等式已知函数f(x)=x2+2x-3m，当x∈(0,+∞)时，f(x)>0，求m的取值范围.可分两种情况处理，即分无零点和有零点。（1）当f(x)无零点时,Δ=4+12m<0,解得m<.所以当m<-时,对于x∈(0,+∞),有f(x)>0.（2）当f(x)有零点,且又满足x∈(0,+∞)时,f(x)>0,有两个零点必落在(-∞,0)内,此时有

m≥-2≤0-3m≥0,解得-≤m≤0.综上所述,得当x∈(0,+∞),f(x)>0时,m的取值范围是m≤0.1.怎样判定函数f(x)在［a,b］上是否有零点?判定f(x)在区间［a,b］上是否有零点，可用下面方法：（1）函数在区间［a,b］上的图象连续，且它在区间［a,b］端点的函数值异号，则函数在［a,b］上一定存在零点；（2）函数图象连续且在区间［a,b］上存在零点，则它在区间［a,b］端点的函数值可能异号,也可能同号；上述方法只能用来判断函数零点的存在性，不能用来判断函数零点的个数.2.怎样理解函数零点与方程根的关系？3.函数值与零点有什么关系？设给出函数y=f(x)，则有方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有