函数的极值与导数

关于函数的极值与导数第1页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导，f(x)增加f(x)减少上页下页铃结束返回首页第2页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三巩固：定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)

令x(x-1)>0,得x<0或x>1，则f(x)单增区间（－∞，0）,（1，+∞）令x(x-1)<0,得0<x<1,f(x)单减区(0,2).注意:求单调区间:1:首先注意定义域,2:其次区间不能用

U连接（第一步）解：（第二步）（第三步）上页下页铃结束返回首页第3页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)在x1

、x3处函数值f(x1)、f(x3)与x1

、x3左右近旁各点处的函数值相比,有什么特点?f(x2)、f(x4)比x2

、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?观察图像：上页下页铃结束返回首页第4页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的函数值值）使函数取得极值的点x0称为极值点上页下页铃结束返回首页第5页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值（2）极大值不一定比极小值大（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该点的导数为0或者不存在例：y=x2上页下页铃结束返回首页第6页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三1．理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调函数，即在定义域上单调的函数没有极值．总结上页下页铃结束返回首页第7页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三

(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．上页下页铃结束返回首页第8页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三练习：

下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6上页下页铃结束返回首页第9页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三yxO探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？结论:极值点处，如果有切线，切线水平即:k切=f(x)=0aby=f(x)x1

x2x3f(x1)=0

f(x2)=0

f(x3)=0

思考;若f(x0)=0，则x0是否为极值点？结论：导数为0的点不一定是极值点，但都叫驻点。xyO分析yx3上页下页铃结束返回首页第10页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?极大值极小值即:极值点两侧单调性互异上页下页铃结束返回首页第11页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三f

(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?x2

xX<x2

x2X>x2

f(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f(x)

f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0极大值减f(x)<0f(x)=0增减极小值f(x)>0注意:(1)

f(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同

，

x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f(x)=0上页下页铃结束返回首页第12页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三因为所以例1

求函数的极值.解:令解得或当,即,或;当,即.当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.上页下页铃结束返回首页第13页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三变式求下列函数的极值:解:

令解得列表:x0f(x)+单调递增单调递减–所以,当时,f(x)有极小值上页下页铃结束返回首页第14页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三求下列函数的极值:解:解得列表:x(–∞,

–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.上页下页铃结束返回首页第15页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三求下列函数的极值:解:

解得所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22

.解得所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2

.上页下页铃结束返回首页第16页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三小结：极值定义关键：

①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0或者不存在

。

②极值点左右两边的导数必须异号。3个步骤：①确定定义域②求f’(x)=0的根③并列成表格④判断极值：用方程f’(x)=0的根x0，x1,...,顺次将函数的定义域分成若干个开区间，如果xn左侧紧邻区间导函数f'(x)都小于0，右侧紧邻区间导函数f'(x)都大于0，则f(x)在xn左边减少，右边增加,xn是极小值点，f(xn)是极小值。如果xn左侧紧邻区间导函数f'(x)都大于0，右侧紧邻区间导函数f'(x)都小于0，则f(x)在xn左边增加，右边减少,xn是极大值点，f(xn)是极大值。上页下页铃结束返回首页第17页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三例2求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．[分析]

首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各极值与f(－1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[解析]

f′(x)＝3x2－4x.上页下页铃结束返回首页第18页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.[点评]

利用求最值的步骤求解．1、函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点．2、函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存在最值的充分而非必要条件．上页下页铃结束返回首页第19页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三变式：求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值和最小值

上页下页铃结束返回首页第20页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三

故函数f(x)在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2

法二、解、f’(x)=2x-4令f’(x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）50y-+3112上页下页铃结束返回首页第21页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三例3

已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．[解析]

(1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.上页下页铃结束返回首页第22页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三[点评]若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．上页下页铃结束返回首页第23页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。思考1.判断下面4个命题，其中是真命题序号为

。①f(x0)=0,则f(x0)必为极值；②

f(x)=在x=0

处取极大值0，③函数的极小值一定小于极大值④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。⑤函数的极值即为最值上页下页铃结束返回首页第24页，讲稿共32页，2023年5月2日，星期三有极大值和极小值,求a范围?思考2解析:f(x)有极大值和极小值f’(x)=0有2实根,