功率谱估计模型法

关于功率谱估计模型法第1页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三周期图法的不足估计方法的方差性能差在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算分辨率低样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)第2页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三参数模型功率谱估计MA模型AR模型ARMA模型第3页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三平稳随机信号的参数模型如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不变系统(LSI)h(n)，则系统输出y(n)也是宽平稳随机过程，并且y(n)的功率谱密度和x(n)的功率谱密度满足下式：其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密度，而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。第4页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三平稳随机信号的参数模型如果系统输入为白噪声信号u(n)，其功率谱密度为常数σ2，则输出信号功率谱密度Pxx(w)完全由系统传递函数|H(w)|2决定，因此我们通过对H(w)进行建模，从而得到输出信号的功率谱密度。第5页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三平稳随机信号的参数模型在上图中，输入u(n)为白噪声信号，其方差为σ2，则系统输出x(n)的功率谱密度Pxx(w)为：第6页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三平稳随机信号的参数模型因此我们利用确定性系统传递函数H(z)的特性去表征随机信号x(n)的功率谱密度，称为参数模型功率谱估计。参数模型功率谱估计的步骤：对H(z)选择合适的模型：MA模型、AR模型、ARMA模型根据已知样本数据x(n)，或者x(n)的自相关函数，确定H(z)的参数利用H(z)估计x(n)的功率谱。第7页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三平稳随机信号的参数模型H(z)的模型：AR模型：auto-Regressive此模型只有极点，没有零点，对应其幅度谱结构存在谱峰第8页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三平稳随机信号的参数模型MA模型：Moving-Average此模型只有零点，没有极点，对应幅度谱结构中存在谱谷点。第9页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三平稳随机信号的参数模型ARMA模型：此模型同时有零点、极点，对应幅度谱结构中存在谱峰、谱谷第10页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三系统模型对于一阶全极点传递函数传递函数所对应的幅度响应实际上是：第11页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三当a>0第12页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三当a<0第13页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三系统模型对于二阶的全极点传递函数其对应的幅度响应？由于传递函数中，a、b均为实数，且要求极点在单位圆内，因此传递函数的极点应该是共轭对称的。第14页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三系统模型极点位置在[0π/2]内时第15页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三第16页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三系统模型极点位置在[π/2π]内时第17页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三第18页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三系统模型对于二阶的全零点系统零点的位置没有限定要求，那么其幅度响应第19页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三当零点在[0π/2]内时第20页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三在零点在[π/2π]内时第21页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度假设u(n)、x(n)都是宽平稳的随机信号，其中u(n)为白噪声，方差为σ2，推导H(z)的模型参数ai与数据x(n)的关系，即所谓AR模型的正则方程(NormalEquation)。第22页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度根据输入、输出、系统脉冲响应的关系等式两边同乘以x(n-m)，同时取期望运算第23页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度这里首先考虑rxu(m)的求解这里h(k)为H(z)的无限长脉冲响应第24页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度由于系统输入u(n)为白噪声信号，因此：这样rxu(m)为：第25页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度而h(m)为系统H(z)的脉冲响应，由于H(z)为因果系统，因此：这样，互相关函数rxu(m)为：第26页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度由于h(0)为系统H(z)的脉冲响应，而：因此有h(0)=1第27页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度根据上式以及rxu(m)的求解：第28页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度将等式右侧的累加项移到等式左侧，这样上式就可以写成方程组的形式：第29页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度在方程组的形式中，由于H(z)模型参数ai为p个，以及白噪声方差σ2，因此需要p+1个方程就可以求解，同时根据自相关函数的对称性，将方程组展开为矩阵形式：第30页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度这就是AR模型的正则方程，也称为Yule-Walker方程。第31页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度得到AR模型的参数，就可以估计功率谱密度：第32页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR谱估计特点谱估计的特征在谱峰值处，AR谱和信号谱很接近谱谷底位置，则相差比较大。第33页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三

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清音第36页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型与线性预测的关系线性预测系数aj构成的全极点滤波器H(z)：其逆过程为：第37页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型与线性预测的关系AR模型：对应的输入、输出关系：第38页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型与线性预测的关系那么：第39页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型与线性预测的关系这里我们发现线性预测过程是AR模型估计功率谱的逆过程。当预测器的阶数和AR模型的阶数相同时，对应的预测器系数h和AR模型参数ai才有一一对应的关系。第40页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型功率谱估计性能分析周期图法中由于自相关函数rxx(m)的长度为2N-1，因此相当于对真实的自相关函数进行了加窗处理，自相关函数的取值范围在[-(N-1)N-1]内，在此范围外的值为零值，从而导致了估计的功率谱密度受到窗函数谱的影响，降低了分辨率。AR模型对功率谱估计的改进实际上体现在对自相关函数的延拓特性上，没有将估计的自相关函数取值限制在[-(N-1)N-1]的范围内。第41页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型功率谱估计性能分析根据Yule-Walker方程可知：首先估计p+1个自相关函数rxx(0)，rxx(1)，…，rxx(p)后，可以根据上式得到AR模型参数ai。这样，就根据ai得到对p之后的自相关函数进行拓展：第42页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型功率谱估计性能分析这里m>p，因此我们利用p个估计的自相关函数，可以对m>p所有的自相关函数rxx(m)进行延拓，从而提高了自相关函数窗的长度，增加了功率谱估计的频域分辨率。第43页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型阶数p的选择如果模型的阶数过小，则会增加对功率谱的平滑作用，降低谱的分辨率但如果阶数太高，虽然会降低预测误差的方差，但会导致谱峰的分裂，增加估计误差。这是由于阶数实际上对应于谱结构中的谱峰情况。第44页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型阶数p的选择第45页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型阶数p的选择第46页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型阶数p的选择在进行AR谱估计时，首先需要确定阶数p。p的选择可以基于以下三种准则进行。最终预测误差准则(FPE)其中k为阶数，N为样本数据x(n)的长度，而ρk表示k阶AR模型得到的白噪声方差。上式最小值对应的阶数为最终选择的阶数。第47页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型阶数p的选择阿凯克信息论准则(AIC)同样选择使上式最小的k值作为模型的阶数。AIC准测和FPE准则在样本数据x(n)长度较长时，估计得到的模型阶数相似。对于较短的样本数据，建议使用AIC准则。第48页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型阶数p的选择自回归传递函数准则(CAT)同样使得上式最小的k为模型阶数。第49页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型参数的求解自相关法利用Yule-Walker方程得到AR模型参数ai：第50页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型参数的求解Yule-Walker方程中的自相关函数rxx(m)为有偏估计值：第51页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度系数矩阵不仅仅是对称的，而且沿着和主对角线平行的任意一条对角线上的元素都相等，这样的矩阵称为Toeplitz矩阵，可以利用Levinson-Durbin递推算法得到p个参数ai以及方差σ2。第52页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度如果采用有偏估计得到自相关函数，就可以利用Levinson-Durbin高效的求解AR模型参数，并且可以保证求解的系数ai在单位圆内，即保证AR模型的稳定性。这种方法称为自相关法同时自相关法计算的白噪声信号功率会随着阶数的增加而减小或者保持不变。第53页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度但自相关法也存在一定的问题，由于在求解自相关函数的时候，进行了矩形加窗处理，降低了分辨率。同时当样本数据长度较短时，估计误差会比较大，出现谱峰偏移和谱线分裂。第54页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度协方差法第55页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度其中的自相关函数为：同时白噪声的方差为：第56页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度计算自相关函数时，样本数据的取值范围与自相关法不同，这样保证了不对样本数据进行矩形窗的截断，因此如果样本函数的长度较短时，可以获得比自相关法更好的谱分辨率。如果样本函数的长度远远大于阶数p时，自相关法和协方差法的性能是差不多的。同时协方差法求解的是非Toeplitz阵，不能用迭代的方法计算，因此运算复杂度较大。同时也不能像自相关法一样保证AR模型的稳定性。第57页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度修正的协方差法与协方差法类似，自相关函数的求解修正为：同时估计的白噪声方差为：第58页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度修正的协方差法从线性预测的角度分析，实际上是同时进行前向、后向预测，因此其估计谱的分辨率比较高，谱峰的偏移也比较小。但缺点同样是需要求解非Toeplitz阵，计算比较复杂。第59页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三AR模型估计功率谱密度Burg递推法以上提到的自相关法、协方差法和修正的协方差都要估计样本数据的自相关函数，如果能免去自相关函数的求解，从而直接根据样本函数得到AR模型参数ai，从而可以减少中间步骤，提高谱估计的性能。同时采用前向、后向线性预测。这种算法对短数据的功率谱估计比自相关函数法要准确。第60页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三应用针对含噪正弦信号数据64点，采用分段平均周期图法和AR模型第61页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三应用—AR模型，—周期图法第62页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三应用数据长度为64，采用分段的周期图法和AR模型第63页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三应用—AR模型，—周期图法第64页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三应用数据长度为64点，取不同阶数(4、20)的AR模型对谱估计的影响。第65页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三应用第66页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三MA模型估计功率谱密度与AR模型一样，首先推导MA参数bi与样本数据x(n)的正则方程。首先，MA模型参数为：第67页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三MA模型估计功率谱密度输入白噪声信号u(n)、MA模型以及输出x(n)之间为线性卷积的关系：与AR模型进行相同的分析，得到：第68页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三MA模型估计功率谱密度MA模型只有q个零点，并且注意MA的正则方程，MA模型计算的自相关函数的取值范围为[-qq]，并且类似于MA模型参数bi的自相关函数这样估计的功率谱密度为：第69页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三MA模型估计功率谱密度注意到，根据计算的自相关函数rxx(m)得到的功率谱为：因此从谱估计的角度，MA模型谱估计等效于经典谱估计中的自相关法，谱估计的分辨率低。第70页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三ARMA模型估计功率谱密度ARMA模型实际上AR模型和MA模型的综合，其正则方程为：其中h(k)为ai和bi的函数，因此该方程为非线性方程，求解较为复杂。第71页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三最大熵谱估计方法rxx(k)的最大熵外推法经典谱估计中是零值外推，对于窄带信号是很不精确的，如何对rxx(k)进行外推？这里re(k)表示自相关函数的外推值第72页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三最大熵谱估计方法对re(k)的约束条件是什么？保证得到的功率谱密度是实数，并且是非负的。使随机信号x(n)的熵最大，等价为使得x(n)尽可能的‘白化’，对功率谱而言，使得估计的功率谱Pxx(w)‘尽可能平坦’。第73页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三最大熵谱估计方法对于能量有限的信号，具有高斯分布的随机信号x(n)具有最大的熵率，并且x(n)是高斯AR过程，即x(n)的功率谱是全极点形式的谱结构。第74页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三最大熵谱估计方法根据以上要求外推的自相关函数rxx(k)：而ap为自相关正则方程的解：第75页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三最大熵谱估计方法最大熵谱估计的解释是：根据给定随机信号x(n)，利用对x(n)AR模型的限制，对自相关函数进行外推，并且假设x(n)为高斯分布。实际上最大熵谱估计与Yule-Walker方法估计功率谱是等价的。第76页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三最大熵谱估计方法这里对最大熵谱估计方法的描述，用于解释该方法谱估计的实质问题。最大熵估计外推对数据强加了一个全极点模型，因此MEM估计是否优于传统方法，取决于所分析的信号类型，以及信号模型逼近AR过程的程度第77页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计对于带有白噪声的正弦波组合，由于正弦波之间是非谐波的关系，因此不能用基于傅立叶变换的周期图法进行分析。而特征分解法可以得到比AR模型更高的分辨率，特别是信噪比比较低的时候，谱估计的效果比较理想。第78页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计一阶谐波过程：其中复指数A1=|A1|ejϕ1

,ϕ1是均匀分布的随机变量，w(n)是方差为σw2的白噪声第79页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计复数随机信号的自相关矩阵定义为：第80页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计Rss的秩为1.第81页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计定义则Rss可以用e1表示：因此Rss的非零特征值为M|A1|2第82页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计Rxx和Rss的特征向量是一致的。Rxx的特征根是Rss的特征根和噪声方差之和第83页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计根据Rx的特征值和特征矢量获得关于x(n)的参数：Rx进行特征值分解，最大的特征值为M|A1|2+σw2

，其它的特征值均为σw2利用Rx的特征值求信号功率|A1|2和噪声方差：第84页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计最大特征值对应的特征矢量为e1，则e1第二个系数为ejw1,其频率即为w1第85页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计基于信号自相关矩阵分解的频率估计算法：将样本空间分为信号子空间和噪声子空间，然后用频率估计函数估计频率值。假设随机信号x(n)由p个复指数信号和白噪声信号组成：其中s(n)为正弦信号，v(n)为白噪声第86页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计X(n)信号的自相关函数：其中Pi是功率：Pi=|Ai|2第87页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计则x(n)的自相关矩阵为：第88页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计其中ei为：第89页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计设vi是Rss的特征矢量：vi也是Rxx的特征矢量，并且Rxx的特征根是Rss特征根和噪声方差之和：第90页，讲稿共98页，2023年5月2日，星期三特征分解法谱估计Rss的秩为p，因此