初中数学数与式模块1-4整式讲义（二）（含答案解析）

整式（二）题型练

题型一同底数嘉的乘法

（1）同底数基的乘法法则：同底数基相乘，底数不变，指数相加.

am，an=am+„（加,〃是正整数）

mn+

（2）推广：a-a"-aP^a'^P（;«,n,p都是正整数）

在应用同底数基的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,3与（/〃）

%（x—y）2与G—y）3等；②。可以是单项式，也可以是多项式：③按照运算性质，只有

相乘时才是底数不变，指数相加.

例1.计算：计算的结果等于

【解析】

解：小・/=/+2=炉

变式

工.已知2x=8,则2x+3的值为.

【答案】11

【解析】

【分析】直接代入求值即可.

【详解】解：，.2=8,

.,,2x4-3=8+3=11,

故答案为：11.

【点睛】此题主要考查了代数式求值，熟练掌握含字母的式子求值的方法是他题的

关键.

题型二募的乘方

塞的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（a"1）"=型"（加，〃是正整数）

注意：

①基的乘方的底数指的是寨的底数；

②性质中“指数相乘”指的是嘉的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数累的乘法中

“指数相加”的区别.

例2.计算：(/)2=—.

【解析】解:(/)2=俨

变式

2.已知加+3〃—4=0,则2"'.8"的值为.

【答案】16

【解析】

【分析】用n表示出m,得罐=4一3〃，将m代入到2叫8"即可求解.

【详解】解：•••加+3〃-4=0,

.,.加=4-3〃，

2"'-S"=2"'.2"=24-3,,»23/'=24=16.

故答案为：16

【点睛】本题考查了求代数式的值，同底数塞的乘法，正理解同底幕的乘法法则是

解题的关键.

题型三积的乘方

积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.

(M)"=暧〃("是正整数)

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘

方的意义，计算出最后的结果.

例3.计算(Ny)3的结果等于.

【解析】

解：(x2y)3—(X2)

变式

3.am=2,b'"=5，贝U(⑹"=.

【答案】工。.

【解析】

【分析】根据(必)”=优'/,将4，=2,〃"=5代入求解即可.

【详解】解：(aby=”

•/a'"=2,b"'=5

：.(abS=a"'bm=2?510,

故答案是：10.

【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，熟悉相关知识点是解题的关键.

题型四同底数嘉的除法

同底数基的除法法则：底数不变，指数相减.

(aWO,加，〃是正整数，机>〃)

①底数。力0,因为0不能做除数：

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0;

③应用同底数幕除法的法则时，底数“可是单项式，也可以是多项式.

例4：计算：加+加=.

【解析】

解：i=m2

变式

4.已知3'=3,3'=6,则32f的值为•

3

【答案】4

【解析】

【分析】根据幕的乘方运算及同底数幕的除法法则，同底数幕相除，底数不变，指

数相减即可求出答案.

【详解】解：321=>=苴

3〉3V

•.•3'=3,3>'=6,

22

.32X-,_(3')_3_3

3y62

3

故答案是：—.

2

【点睛】本题考查了塞的乘方运算及同底数辱的除法法则的逆运算，解题的关键是:

掌握累的乘方运算及同底数基的除法法则.

题型五单项式乘单项式

运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

注意：

①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；

②注意按顺序运算；

③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；

④此性质对于多个单项式相乘仍然成立.

例5.计算：—3a*2ab=.

【解析】

解：-3a・2ab

=(—3X2),(a*a)*b

——6a2b.

变式

5.已知单项式3x2^与-5/产的积为wx4/"那么/M-〃=____.

【答案】-20.

【解析】

【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出m与n的值.

【详解】解：3x2y3x(-5x2y2)=-15x4y5,

/.mx4yn=-15x4y5,

••-15,n^5

.*.m-n=-15-5=-20

故答案为-20

【点睛】本题考查单项式乘以单项式，解题关键是熟练运用整式的乘法法则，本题

属于基础题型.

题型六单项式乘多项式

(1)单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

每一项，再把所得的积相加.

(2)单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；

②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；

③注意确定积的符号.

例6:计算2a(5a+3a2)的结果是().

A.10a+6a3B.10a2+6a3C.10iz2+3a3D.5a2+6a2

【解析】

解：2a(5。+3凉)

=10。2+6加

变式

(o,计算：6a~一分)—2。力((7—b).

【答案】-4a2b2

【解析】

【分析】利用乘法分配律展开括号，再合并同类项.

【详解】原式=2a3b-6a2b2-2a3b+2a2b2=-4a2b2.

【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握单项式乘以多项式法则，去括号法则是解

题的关键.

题型七多项式乘多项式

(1)多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积

相加.

(2)运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数

之积.

例7:计算(a+3)(6—2)

【解析】

解：(。+3)(6—2)=ab—2a+3b—6

变式

7.已知：实数〃?，〃满足：m+n=3,mn=4,则(1+m)(1+n)的值等于.

【答案】8

【解析】

［分析］将(1+加)(1+〃)按照多项式乘以多项式展开得1+加+〃+加〃在将机+〃的值

和〃?〃的值代入即可求解.

【详角单】V(l+m)(l+M)=l+m+n+mn

又；加+〃=3,=4

(l+m)(l+M)=l+3+4=8

故答案为：8.

【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算，熟练掌握其运算法则以及整体代入

得思想是解题关键.

题型八平方差公式

(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

(。+6)(a—h)=a2~b2

(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的。和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多

项式法则简便.

例8:计算(y+2)⑶-2)的结果等于—.

【解析】

解：(y+2)(,y—2)=y2~4

变式

8.若左=］,a-b=y,则的值为.

【答案】2

【解析】

【分析】由次一按=1可得(。+6)(a-b)=1,结合，“一求解即可.

【详解】a2-b2=1,即(.a+b)(a-b)=1,

因为a—b=y,

所以a+b=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，运用平方差公式计算时，关键要找相同项

和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方.

题型九平方差公式的几何背景

开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是()

a

A.a2~b2=(a+b)(。-6)B.a2~ab=a(〃-6)

C.a2—b2=(a—b)2D.a2—2。。+〃=(a—b)2

【解析】

解：第一个图形阴影部分的面积是次一〃,

第二个图形的面积是（a+b）（a-b）.

.•.。2—b2=（。+6）（Q-b）.

变式

<?.从边长为。的正方形中剪掉一个边长为6的正方形（如图1）,然后将剩余部分

拼成一个长方形（如图2）.

（1）上述操作能验证的等式是.（请选择正确的选项）

A.ci2-b2=(Q+b)(Q-/7)

B.a1-2ab-^-b2=(a-6,

C.a2+ah=a(a+b)

（2）若/=16,a+/>=8,求。一方的值；

（3）用你选的等式进行简便计算：199992-199982

【答案】（1）A；（2）。-6=2；（3）39997.

【解析】

【分析】（1）图1剩余部分的面积拼成了图2的长方形，所以面积相等，根据面积

相等列出等式即可；

（2）根据平方差公式进行计算即可；

（3）根据（1）的公式进行计算.

【详解】解：（1）图1得剩余部分的面积为：a2-b2,

图2把剩余部分拼成一个长方形，长为（。+9，宽为（。-力），面积为（。+与（a-9，

/.a2-b2=（a+6）（a-6）.

故选：A.

(2)Va+b=S,

/.a1-b2=(a+b\a-b)=8(〃・b)=16,

:・a-b=2；

(3)199992—199982

=(19999+19998X19999-19998)

=39997?1

=39997.

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟悉相关性质是解题的关键.

题型十完全平方公式

(1)完全平方公式：(a+h)2=a2+2ab+b2

可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”.

(2)完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，

其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算

符号相同.

(3)应用完全平方公式时，要注意：

①公式中的a,6可是单项式，也可以是多项式：

②对形如两数和(或差)的平方的计算，都可以用这个公式：

③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式.

例10.利用完全平方公式计算：(机+3).

【解析】

解：(w+3)2

=m2+2X3-m+32

=m2+6m+9

变式

1O.若(x+y)2=3,刈=；,则(x-y)2=—.

【答案】1

【解析】

【分析】利用完全平方和公式和完全平方差公式展开，由条件求出y+/的值，即

可求出答案.

【详解】解：(x+y)2=x?+2盯+/=3,

1

•.•孙=],

x?+j广=3-2xy=3—1=2,

v(x-_v)2-x2+y2-2xy

=2c—2cx—1

2

=1

故答案是：1.

【点睛】本题考查了完全平方和与差的公式，解题的关键是：熟练掌握完全平方和

与差的公式.

题型十一完全平方公式的几何背景

(1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对

完全平方公式做出几何解释.

(2)常见验证完全平方公式的儿何图形

(a+6)2^a2+2ab+b2(用大正方形的面积等于边长为。和边长为6的两个正方形与两个

长宽分别是。，6的长方形的面积和作为相等关系)

例11.如图，用不同的代数式表示阴影部分的面积，可以表示下面哪个等式()

A.(a+b)2—a2+2a6+Z>2B.(a+b)(a—b)—a2—b2

C.(a—b)2=a2—2ab-\-b2D.a(a+b)=a2+ab

b

b\

【解析】

解：阴影部分面积：方法一：(〃-b)2,

方法二：大正方形面积为：标，

小正方形面积为加，

2

两个矩形面积为2(a—h)h=2ah—2hf

22222

，阴影部分面积为:a~b—^2ab~2b)=a—2ab+bf

/•(。一b)2=a2-2ab~\~b2

变式

工工.(1)如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影

部分的面积，你能发现什么?(用含有X、y的等式表示)_______________________；

(2)若(3x—2y)2=5,(3x+2y>=9,求孙的值；

(3)若2x+y=5,中=2,求2x—y的值.

【答案】(1)4xy=(x+y)2-(x-y)2；(2)盯=工；(3)2x-y=+3.

6

【解析】

【分析】(1)阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x-y

的小正方形面积求出，也可以由4个长为x,宽为y的矩形面积之和求出，表示出

即可；

(2)先利用完全平方公式展开，然后两个式子相减，即可求出答案；

(3)利用完全平方变形求值，即可得到答案.

【详解】解：(1)图中阴影部分的面积为：

4xy=(x+y)2-(x-y)2；

故答案为：4xy=(x+y)2-(x-y)2；

(2)•.•(3x-2y)2=5,

9x2-I2xy+4y2=5①，

,.•(3尤+2方=9,

9x2+12xy+4y2=9②，

由②-①，得

24xy-9-5=4,

1

-6

(3)V2x+y=5,xy=2,

(2x+y曰=4x2+4xy+y2=25,

：.4x2+/=25-4x2=17,

/.(2x-y)2=4x2+/-4xy=17-4x2=9：

2x-y-±3；

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，以及完全平方公式变形

求值，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题

的关键.

题型十二完全平方式

完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式4如果存在另一个实系数整式B,

使4=不，则称力是完全平方式.

a2+2ab+b2—(a±6)2

完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方.另一种是完

全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方.算时有一个口诀“首末两项算平方，首末

项乘积的2倍中间放，符号随中央.(就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，

再乘以2,然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的

符号，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用一，后边的符号都用+)”

例12.若关于x的二次三项式x2+丘+81是完全平方式，则上的值是一.

【解析】

解：《+履+81是关于x的完全平方式,

**-k=i18,

解得：〃=±18

变式

12.多项式9/+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的完全平方，那么加上的

单项式可以是()

8]

A.±6xB.-1或一£*C.-9x2D.±6x或一1或一9x2

4

或融

4

【答案】P

【解析】

【分析】根据完全平方公式计算解答.

【详解】解：添加的方法有5种，分别是：

添加6x,得9x?+l+6x=(3x+l)2；

添加-6x,得9x2+l-6x=(3x-1)2；

添加-9x2,得9x2+l-9x2=l2；

添加-1,得9x2+1-1=(3x)2,

添加)V,得见/+9/+1=0》+1],

4412)

故选：D.

【点睛】此题考查添加一个整式得到完全平方式，熟记完全平方式的特点是解题的

关键.

题型十三整式的除法

整式的除法：

(1)单项式除以单项式，把系数，同底数基分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式

里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式.

关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幕相除;

③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式.

(2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式.多项式除以单项式的结果仍是

一个多项式.

例13.计算：(1)24a3h2-i-3ab=；(2)(12/+6凉一3。)+3a=.

【解析】解：(1)24a3"3ab=8形；

(2)原式=4q2+2a—1

变式

13.已知7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x4y3-21x3y2,则这个多项式是.

【答案】4x+xy-3

【解析】

【分析】根据7x3y2与一个多项式之积是28x，y2+7x4y3-21x3y2,用28x,y2+7x4y3-

21x3y2除以7x3y2,用多项式除以单项式的法则，即可得到答案.

【详解】解：•.,7x3y2与一个多项式之积是28x4y2+7x，y3-21x3y2,

(28x4y2+7x4y3-21x3y2)4-7x3y2=(4x+xy-3)(7x3y2)4-7x3y2

=4x+xy-3

【点睛】本题主要考查了多项式的除法、多项式除以单项式的法则，关键是根据已

知条件得到这个多项式是(28x4y2+7x4y3-21x3y2)-4-7x3y2.

题型十四整式的混合运算

(1)有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数

的混合运算顺序相似.

(2)“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速

地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

例14.计算：(-a)3'a2+(2a4)24-a3

【解析】

解：(1)原式=—。3・42+408+“3

=­/+4/

=3/

变式

14.计算：(y+3)(y—3)—(2y—1)2

［答案］-可+4夕，。

【解析】

【分析】利用平方差公式，完全平方公式计算，在合并同类项即可求解.

［详解］(y+3)(y-3)-(2y-l)2

=y2_9_纣2+4y_］

=—3y2+4y_］0

【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握其运算法则是解题关键.

题型十五整式的混合运算一化简求值

先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的

混合运算顺序相似.

例15.计算：先化简，再求值：(x—2y)2—x(x—4y),其中，x=\,y=—1

解：原式=x?—4xy-\-4y2—x2+4rv

=4产，

当x=l,y=l时，

原式=4X1=4

变式

IS.已知一+》_1=0,求代数式(3x+l『—x(x—2)的值

【答案】9

【解析】

【分析】根据完全平方公式展开所求代数式，把已知式子代入求解即可；

【详解】解：(3X+12)—X(X—2),

=9x2+6x+l—x2+2x>

=8f+8x+l，

x2+x-1=0，

X2+X=1,

/.原式=8(x2+x)+l=8xl+l=9.

【点睛】本题主要考查了代数式求值，结合完全平方公式化简是解题的关键.

题型十六因式分解的意义

1、分解因式的定义：

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做

分解因式.

2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形

式.因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式.例如：

x2-1.e<x+i)<x-i)

---於犬痛必

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

例16.

16.下列由左边到右边的变形，是因式分解的有(填序号)

①a(x+y)=ax+ay^

②10x2—5x=5x(2x—1)；

③1—4y+4=(y—2)2；

④产一16+3f=(f—4)(z+4)+3f.

【答案】②③.

【解析】

【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.

【详解】解：①a(x+y)=ax+ay,等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于

因式分解，故不符合题意；

②10x2-5x=5x等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；

(3)y.4y+4=(y-2)2,等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；

④理一16+3片(/-4)(/+4)+33等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合

题意；

即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，

故答案为：②③.

【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形

式，叫因式分解.

变式

17.下列等式中，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底的是()

A.ai-\-2a1+a=a(a+1)2B.a{a-b)=a2-ah

C.x4-1=(x2+1)(x2-1)D.ax2-abx+a=a(x2-bx)

【答案】A

【解析】

【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可；

【详解】A、从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意；

B、从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；

C、从左到右的变形属于因式分解但分解不彻底，故本选项不符合题意；

D、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，注意：把一个多项式化成

几个整式的积的形式，叫因式分解；

题型十七公因式

1、定义：多项式机,中，各项都含有一个公共的因式小，因式，”叫做这个多项

式各项的公因式.

2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：

①定系数，即确定各项系数的最大公约数；

②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；

③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次塞.

例17.多项式x3y一9的公因式是

【解析】

解：多项式X，一孙的公因式是个.

变式

18.多项式3a26—6。%各项的公因式是.

【答案】3/6

【解析】

【分析】根据公因式的寻找方法：先确定系数：最大公约数，再找同底的幕：指数

最低的；即可确定答案.

【详解】V3a2h-6a3h=3a2b(\-2a),

...公因式为3a，.

故答案为：3a%.

【点睛】本题考查公因式的确定方法：如果各项都是单项式，先确定系数：最大公

约数，再找同底的累：指数最低的；如果是多项式，就需要先因式分解.

题型十八因式分解一提公因式法

1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项

式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具体方法：

(1)当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相

同的字母，而且各字母的指数取次数最低的：取相同的多项式，多项式的次数取最低的.

(2)如果多项式的第一项是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数成为正

数.

提出“一”号时，多项式的各项都要变号.

3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.

4、提公因式法基本步骤：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式：

①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；

②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式,

所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的

剩下的另一个因式；

③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同.

例18.因式分解：3mx—9my=

【解析】

解：3加x—9〃少=3m(x-3y).

变式

工乞因式分解：

(1)一20〃一15ax

(2)(a-3)2-(2a-6)

【答案】(1)-5a(4+3x)；(2)("3)(』-5)

【解析】

【分析】(1)直接提取公因式-5©进而得出即可；

(2)直接提取公因式(a-3),进而得出即可.

【详解】解：(1)一20。-15ax=-5ax4-5a,3x=-5a(4+3x)；

(2)((a-3)2-(2(7-6)=(a-3)2-2(a-3)=("3)(a-3-2)=(a-3)(a-5)

【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式得出是解题关键.

题型十九因式分解一运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2=(a+6)(“一/>)；

完全平方公式：a2+2ab+b2—(a±6)2；

2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且

符号相反.

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或

式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.

例19.下列分解因式不正确的是()

A.a4+l-2a2=(°-1)2(a+1)28.4产一1=(4y+l)(例一1)

9131

C.—x1-x-\—=(—X——)2D.—16+a4=(t72+4)(a-2)(6f+2)

4923

【解析】

解：A.a4+1—2a2

=(a2)2—2次+1

=(a2—1)2

=[(a+1)(a-1)]2

=(a+1)2(a-1)2,正确，不符合题意；

B.4/-1

=(2y)2—12

=(2y+l)(2y—1),错误，符合题意；

9,1

C.-x2—xd—=

49

,3、，31.1,

=(-x)2—2*—x*—F(—)2

2233

31

=(―x——)2,正确，不符合题意；

23

D.—16+a4

=(次)2-42

=(a2+4)(tz2—4)

—(4+4)(a+2)(a—2),正确，不符合题意.

变式

2.0.因式分解：(a2+4)2-16a2.

【答案】(a+2)2(a—2尸

【解析】

【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可.

【详解】原式=(a2+4+4a)(a2+4-4a)

=(a+2)2(a-2)2.

故答案为值+2尸(a-2)2.

【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，掌握运算法则是解题关键

题型二十因式分解一十字相乘法

借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相

乘法.

①N+(p+g)x+pq型的式子的因式分解.

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；

可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

x2+(p+夕)x+pq=(x+p)(x+g)

②加十区+c(aWO)型的式子的因式分解

这种方法的关键是把二次项系数。分解成两个因数0,42的积m・〃2,把常数项。分解成两

个因数C2的积CJC2,并使正好是一次项6,那么可以直接写成结果：ax2+bx

+c=(«ix+ci)(3+c2)・

例20・分解因式：x2+3x—10=.

解：原式=(x—2)(x+5).

变式

21.分解因式：(p-4)(p+l)+6.

【答案】(P—1)(P—2).

【解析】

【分析】先去括号，再用十字相乘法因式分解.

【详解】解：原式=p2-3p+2

=(pT)(P-2)

【点睛】考核知识点：因式分解.掌握十字相乘法是关键.

题型二十一因式分解一分组分解法

1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分

组后能出现公因式，二是分组后能应用公式.

2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①〃x+ay+bx+by

=x(o+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

@2xy-x2+1-y2

=­Cx2-2xy+y1)+1

=1—Cx-y)2

=(1+x~y)(1—x+y)

例21.因式分解：9~x2+2xy—y2

W：9^x2+2xy—y2

=9—(x2-2砂+产)

=9—(x—y)2

=(3+x—y)(3—x+y).

变式

22.观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：

甲：x1—xy+^x—^y

=(x2—盯)+(4x—4y)(分成两组)

=x(x—y)+4(—y)(直接提公因式)

=(x-y)(x+4).

乙：W—R—4+2bc

=必—g2+c2—26c)(分成两组)

=/一(方一c)2(直接运用公式)

=(a+b—c)(a—b—c).

请你在他们的解法的启示下，完成下面的分解因式：

(1)机3—2加2-4m+8；(2)x2—2xy+y2—9.

【答案】⑴(口一2)2(力+2);(2)(x—户3)(x—尸3).

【解析】

【分析】(1)将原式进行分组，再分别因式分解即可求解；

(2)先利用完全平方公式把前面部分因式分解，再利用平方差公式进行因式分解.

【详解】(1)原式=(加・2m2)+(—4〃?+8)

=/n2(/n-2)—4(m—2)

=(加一2)(加2—4)

=(加一2>(加+2).

⑵原式=(x2—2xy+y2)—9

=(x-y)2-9

=(x-尹3)(x—y—3).

【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键根据材料灵活使用提取公因式法与公

式法进行因式分解.

题型二十二因式分解的应用

1、利用因式分解解决求值问题.

2、利用因式分解解决证明问题.

3、利用因式分解简化计算问题.

【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用

1.因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用

解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整

体代入.

2.用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是

其中的一部分.

例22.若x+2y=6,xy=-3,则2¥2夕+4?炉=_.

解：*.'x+2j)=6,xy——3,

2^y+4x)^=2xy(x+2y)=2X(—3)X6=-36

变式

222

23若AZBC的三边长是〃、b、c,^.a+b+c=ab+bc+ac，则这个三角形

形状是角形.

【答案】等边

【解析】

【分析】先等式两边同乘以2,再移项，利用完全平方公式，即可得到答案.

【详解】a?+〃+c?=ab+bc+ac，

*,-2a2+2b2+2c°=2ab+2bc+2ac>

2a2+2b~+2c2-2ab-2bc-2ac=0，

(iz-b)-+(a—c)_+(b—c)-=0,

22

V(a-6)>O,(a-c)>0,(6-C)2>0,

(a-bf=0,(a-c)?=0,(6-c)2=0，

a=b=c,

这个三角形是等边三角形，

故答案是：等边

【点睛】本题主要考查完全平方公式，偶数次幕的非负性以及等边三角形的定义，

熟练掌握完全平方公式，是解题的关键.

实战练

24.已知2x+3y-5=0,则9“27>'的值为.

【答案】243

【解析】

【分析】先将9“27y变形为32x+3y,然后再结合同底数基的乘法的概念和运算法则进

行求解即可.

【详解】V2x+3y-5=0,

2x+3y=5，

.•.9x・27y=32x'33y=32x+3y=35=243.

故答案为243.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数哥乘法的概

念和运算法则.

25.已知/"=3,则（第如）2_（X2）2”的值为.

【答案】18

【解析】

【分析】根据哥的乘方的公式的逆用，对指数进行变形，然后整体带入求值即可.

【详解】解：（”）2-（x2）2"

=（X2"）3-（X2"）2

=33-32

=27-9

=18.

故答案为：18.

【点睛】本题考查了幕的乘方，会对公式进行逆用是解题的关键.

26.(-0.25)100X4,01=.

【答案】4

【解析】

【分析】逆用积的乘方进行求解即可.

【详解】解：(一0.25严、4皿

=(-1)IOOX4,00X4

=(——x4)100x4

4

=(一1四。x4

=1x4

=4.

故答案为：4.

【点睛】此题主要考查了积的乘方的逆用，掌握住积的乘方运算公式是解答此题的

关键.

27.已知a-6=14,ab=6,则/+〃=.

【答案】208

【解析】

【分析】将。―6=14两边平方，即可得出a2_2ab+〃=196,再根据M=6,即可

求出/+〃的值.

【详解】'：a-h=l4,

...(4-6)2=196,BPa2-lab+h2=196>

'/ab=6,

•*./+/-2X6=196，

/+/=196+12=208.

故答案为：208.

【点睛】本题考查完全平方式和代数式求值.掌握完全平方公式并能够进行灵活变

形是解答本题的关键.

28.我们知道，同底数幕的除法法则为暧+优=产〃(其中存0,相，〃为正整数),

类似地，我们规定关于任意正整数〃?，〃的一种新运算：/(加-〃)=/(/»)+/(〃)其

中/(加)，/(〃)都为正数)，请根据这种新运算填空：

(1)若/(2)=4,/(3)=8,则/(I)=；

(2)若/(2000)=k,/(2)=4,那么/(500)=(用含左的代数式表示,

其中k>0).

【答案】CD.2②.

【解析】

【分析】(1)由新运算法则直接求解；

(2)同过新定义的运算法则，推导出前几项的结果，同过前几项发现规律，利用规

律来解答.

【详解】解：(1)根据新运算:/(〃?—〃)=/(〃?)+/(〃)，

/(I)=/(3-2)=/(3)+/(2)=8+4=2,

故答案是：2.

(2)v/(1998)=/(2000-2)=-4=-

4

A

/(1996)=/(2000-2x2)=/(l998-2)=

42A

/(1994)=/(2000-2x3)=/(1996-2)=

43

/(500)=/(2000—2x750)=/(502—2)=击

根据规律得：

/'(500)=3，

故答案是：

【点睛】本题考查了新定义运算法则，解题的关键是：理解新定义的运算法则，从

运算中找到规律，用来解答.

24.观察下列各式：(x-l)(x+l)=x2-1；(x-l)(x2+x+1)=x3-1；

(x-l)(x3+X2+x+1)=x4-1；(x-l)(x4+X3+X2+X+1)=x5-1....;则

22。。8+22。。7+22006+…+2?+2+1=.

【答案】22009-1

【解析】

【分析】观察其右边的结果：第一个是X2-1;第二个是X3-1;…依此类推，得出第

n个的结果，从而得出要求的式子的值.

【详解】根据给出的式子的规律可得：(xT)(xn+x」l+...x+l)

则22008+22007+22006+....+22+2+1

=(2-1)X(22008+22007+22006+……+22+2+1)

=22009—1；

故答案为：22。。9T.

【点睛】本题考查了平方差公式，发现规律：右边X的指数正好比前边X的最高指

数大1是解题的关键.

3(2.下列计算正确的是()

A.a3-i-a2=aB.a3*a2=a6C.a3+a2=a5D.(—a3)2=a5

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用同底数累的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幕的乘方运算法

则进行计算即可判断.

232

【详解】解：A.a^a=a-=a,计算正确，故此选项符合题意；

B././=/+2=/，原选项计算错误，故不符合题意；

325

C.a+a^a,原选项计算错误，故不符合题意；

D(一/)2=d,原选项计算错误，故不符合题意；

故选：A

【点睛】此题主要考查了同底数幕的乘除法、合并同类项以及积的乘方和累的乘方

运算，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键.

”.要使(犬-X+5)(2--G-4)展开式中不含/项，贝丑的值等于()

A.-6B.6C.14D.-14

【答案】A

【解析】

【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行展开，然后按照x的降序排列，使x的

二次项的系数为0即可.

【详解】解:(x2-x+5)(2x2-ax-4)

=2x4-ojc3-4x2-2x3+ax2+4x+10x2-5ax-20

=2x4-(a+2)x3+(a+6)x2+(4-5a)x-20,

•・•展开式中不含x2项，

.*.a+6=0,

a=-6,

故选：A.

【点睛】本题考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确解

答的前提，令x的二次项的系数为0是正确解答的关键.

32.在下列计算中，不能用平方差公式计算的是()

A.(x3-y3)(x3+y3)B.(m—n)(—m+n)

C.(—a—b)(a—b)D.(c2-d2)(d2+c2)

【答案】8

【解析】

【分析】方差公式的式子的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完

全相同，另一项互为相反数.

【详解】A.(x3-y3)(x3+y3),有相同的项和互为相反数的项，故能用平方差公式计算;

B.(m-n)(—m+n),没有相同的项，两项都是互为相反数的项，故不能用平方差公

式计算；

C.(-a-b)(a-b),有相同的项和互为相反数的项，故能用平方差公式计算；

D.(c2-d2)(d2+c2),有相同的项和互为相反数的项，故能用平方差公式计算；

故选B.

【点睛】本题主要考查平方差公式，(a+b)(a-b)=a2-b2,其特点是：①两个二项式相

乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和8既可以代表单项式，也可以代表

多项式.熟记公式结构是解题的关键.

33.如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方

数是（）

A.a+1B.a2+lC.a2+2a+lD.a+2\[a+1

【答案】P

【解析】

【分析】当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平

方数的差最小.

【详解】解：•.•自然数a是一个完全平方数，

•••a的算术平方根是血,

.•.比a的算术平方根大1的数是6+1,

这个平方数为：（6+1）F+26+1.

故选D.

【点睛】解此题的关键是能找出与a之差最小且比a大的一个完全平方数是紧挨着

自然数及后面的自然数：夜+1的平方.

34.下列计算正确的是（）

A.x2+x3=x5

B.3）（mn+3）=mn2—9

C.（―3状）24-（x2y）=9y3

D.（-x—y）2=x1-2xy-\-y1

【答案】c

【解析】

【分析】利用同类项的概念，平方差公式，单项式乘方和单项式除以单项式法则以

及完全平方公式逐一判断即可.

【详解】A./与Y不是同类项，不能合并，此选项错误；

B.（加.一3）（加〃+3）=加%2-9,此选项错误;

C.(-3xy2y^x2y)=9x2y4^x2y=9y3,此选项正确；

D.(-x-y)2=(x+j^)2=x2+2xy+y2,此选项错误；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序

及相关运算法则，平方差公式，完全平方公式.

55.我们知道，同底数幕的乘法法则为"".优=优』(其中存0,小〃为正整数)，

类似地我们规定关于任意正整数相、〃的一种新运算：h(/»+«)=h(m)・h(〃)；

比如h(2)=3,贝！Jh(4)=h(2+2)=3*3=9,若h(2)=k(存0),那么h(2〃)

•h(2020)的结果是()

A.2k+2021B.2i+,010C.kn+'0l°D.2022k

【答案】C

【解析】

【分析】根据定义的新运算法则，将原式进行变形，再根据同底数嘉的乘法运算法

则计算求解.

【详解】解：根据题意得：

久2〃)•〃(2020)=hQn+2020)=/?[2(〃+1010)]

=h(2+2+2+2+…+2),

有Q+1010)个2相加,

.-./?(2«)-/i(2O2O)=F+,010,

故选：C.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，定义新运算，解题的关键是：熟练掌握运算

的性质和法则.

36.若(a2nlZ>2«)=a5b3,则求的值.

14

【答案】y.

【解析】

【分析】根据同底数幕的乘法法则把左侧化简，然后列出关于m和n的方程组求解

即可.

【详解】解：(am+'bn+2)(a2"''b2")=an'+'^a2"''xbn+2^b2n

—I+2〃-1xb〃+2+2〃Q〃?+2%3〃+2=05〃

(m+2n-5

3〃+2=3

,113

解得：«=j,m=—,

14

m+n=—.

3

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出

方程组是解答本题的关键.

37.已知〃为正整数，且X2"=4

(1)求炉r*5+1＞的值；

(2)求9(钟)2—13(%2)2"的值.

【答案】(1)16.(2)368

【解析】

【分析】(1)根据同底数幕的乘法法则以及幕的乘方法则将原式化简为(f"丫，再

将=4代入计算即可；

(2)根据同底数幕乘法法则以及事的乘方法则将原式化简为9(/)3—13(/)2,再

将=4代入计算即可.

【详解】(1)=4,xfj+l)=炉-3.钞+3=X-3+3.+3=”=卜2"丫=42=16；

(2)=4，...9卜3")2—13俨广=912")3_]3(/了=9x43—13x42=368；

【点睛】本题考查的是同底数幕的乘法法则和幕的乘方法则，解题的关键是能够熟

练地掌握球的乘方法则是底数不变，指数相乘；同底数幕的乘法法则是底数不变，

指数相加.

38.(1)已知m+4n-3=0,求2mT611的值.

(2)已知n为正整数，且X2n=4,求便11)?一2便产的值.

【答案】(1)8；(2)32

【解析】

【分析】(1)根据塞的运算法则变形后，代入已知即可得到结论；

(2)原式变形后代入计算即可求出值.

【详解】解：(1)Vm+4n-3=0,：.m+4n=3,2m-16"=2m-24n=2m+4w=23=8;

(2)原式=”'_2/=(/)3_2(钟)2=64-2X16=64-32=32.

【点睛】本题考查了幕的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

39.(1)已知3义邦义27，"=3"，求加的值.

(2)已知2“=3,4&=5,8c=5,求8叶「2&的值.

77

【答案】3)m=2.(2)—

25

【解析】

【分析】(1)直接运用同底数幕的乘法法则以及幕的乘方法则计算即可；

(2)利用同底数幕的乘除法则以及幕的乘方法则将原式变形即可.

【详解】(1)V3x9mx27,n=3x32mx33ra=3l+5ra=3"，

1+5zn=11»解得m=2；

(2),/2U=3-4=5,8'=5,

/.2"=3.4A=22*=5,8"=23°=5,

...8326=23(0+16)=23O乂23c丫=3385+§3=.

【点睛】本题主要考查同底数幕的乘除法法则和幕的乘方的运算法则，熟练地掌握

相关的运算法则是解题的关键.

40.计算:

(i)?«xs-(2x4)2+x'fl,x2；

(2)4a(a-3b)(3b-2a)(2a+3fe)；

(3)(3/炉415到3)?(9x4r)；

(4)请用简便方法计算：704,696-7002

【答案】(1)-2x8;(2)8a2-\2ab-9b2；(3)45x3/；(4)-16.

【解析】

【分析】(1)先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可；

(2)先根据单项式乘以多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；

(3)先根据积的乘方化简，再从左往右计算即可；

(4)先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可.

【详