初中数学三角形模块5-3直角三角形讲义（含答案解析）

第三部分直角三角形

一、知识梳理：

1.直角三角形的性质：

(1)直角三角形两个锐角互余；

(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；

(4)勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果设直角三角

形的两条直角边长度分别是。和b,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达：a2+b2=c2

(5)勾股数：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.

2.直角三角形的判定：

(1)有一个角是90°的三角形是直角三角形；

(2)有两个角的三角形是直角三角形：

(3)如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

(4)勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长a,b,c满足关系式：a2+b2^c2,那么

这个三角形是直角三角形.

二、题型练

题型一直角三角形的两锐角互余

例1.若直角三角形的一个锐角为15。，则另一个锐角等于.

75°

【分析】

根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】

解：•••另一个锐角为15°,

•••另一个锐角为180°-90°-15°=75°,

故答案为：75°.

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两锐角互余.

变式1

1.如图，直线a〃b,直线/与a、6分别相交于/、8两点，过点4作直线/的垂

线交直线6于点C,若Nl=60。，则N2的度数为（）

A.30°8.35°C.40°P.60°

【答案】A

【解析】

【分析】由及Nl=60。，可求得N4C8的度数，再由a〃b即可求出N2的度数.

【详解】VACVI,Z1=60°

Z.NNC6=90°—Nl=30°

,/allb

...Z2=NACB=30°

故选：A

【点睛】本题主要考查了平行线的性质及直角三角形的性质.

题型二直角三角形斜边上的中线

例2.如图在A48c中，CFL4B于F,BE上AC于E，用为的中点，EF=5,

△EFM的周长为13,则3c的长是（）

B

【解析】

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出8c=2MF=2EM,所以然

后列式整理得到的周长=8C+EF代入数据进行计算即可.

【详解】

解：：在△48C中，CF_LN8于F,8EJL/C于E,M为8c的中点,

:.BC=2MF,BC=2EM.

:.MF=EM.

，4EFM的周长=EM+EF=BC+EF.

；EF=5,的周长为13,

.•.8C=13—5=8

故选：B.

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

变式2

2.如图，在AABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，点F是线段DE上的

一点连接AF,BF,ZAFB=90°,且AB=8,BC=14,则EF的长是)

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4,根据BC=14,由三角形中位线定理得

到DE=7,解答即可.

【详解】解：NAFB=90。，点D是AB的中点，

ADF=-AB=4,

2

VBC=14,D、E分别是AB,AC的中点,

.,.DE=-BC=7,

2

.*.EF=DE-DF=3,

故选：B

【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键.

题型三直接考查勾股定理

例3.已知直角三角形的两边长分别为3和4,则斜边长为()

44B.5C.4或5D5或夕

C

【分析】

由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分4是直角三角形的斜边长和直角边长两种情

况讨论.

【详解】

解：：直角三角形的两边长分别为3和4,

①4是此直角三角形的斜边长；

②当4是此直角三角形的直角边长时，斜边长为炉不=5.

综上所述，斜边长为4或5

故选：C.

【点睛】

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于

斜边长的平方是解答此题的关键.

变式3

3.如图，在三角形力8c中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,以点/为圆心，ZC长为

半径画弧，交AB于点、D,则8。=()

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用勾股定理可以算出的长，再根据题意可得到根据

BD=AB-AD即可算出答案.

【详解】解：'：AC=3,BC=4,

：.AB=y]AC2+BC2=5-

•.•以点Z为圆心，/C长为半径画弧，交AB于点、D,

：.AD=AC,

：.AD=3,

：.BD=AB-AD=5-3=2.

故选C.

【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三

角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

题型四勾股数

例4,下列数组是勾股数的是（）

42、3、480.3、0.4、0.5C.6、8、10D7、12、15

C

【分析】

根据勾股数的定义：满足/+°2=/的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可.

【详解】

A.22+32=13^42.此数组不是勾股数；

B.0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数；

C.62+82=102.此数组是勾股数：

D.72+12?=193*152,此数组不是勾股数；

故选：C.

【点睛】

本题考查了勾股数的知识,解答此题要用到勾股数的定义,及勾股定理的逆定理：已知△NBC

的三边满足/+尸=°2,则△N8C是直角三角形.

变式4

4.如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直

角三角形，若正方形/、B、C、。的边长是3、5、2、3,则最大正方形E的边长是

()

A.13B.V47C.47D.V13

【答案】8

【解析】

【分析】设中间两个正方形的边长分别为x、y,最大正方形E的边长为z,根据勾

股定理进行求解.

【详解】设中间两个正方形的边长分别为x、外最大正方形E的边长为z,由勾股

定理得：

/=32+52=34,

y2=22+32=13,

z2=x2+y2=47,

即最大正方形E的面积为：Z2=47,边长为z=标，

故选B.

【点睛】本题考查勾股定理，掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两

个以直角边为边长的正方形面积之和是解题的关键.

题型五勾股定理的证明

例5.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，

则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今.迄今为

止己有400多种证明勾股定理的方法.下面是数学课上创新小组验证过程的一部分.请认

真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整:将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆

222

放，其中6〉。，点E在线段ZC上，点5、。在边ZC两侧，试证明：a+b=c

A

见解析.

【分析】

首先连结8。，作。尸_LHC延长线于尸，则-a,根据RtDABC@RtDDAE,易证

=

/DAB=90，再根据S四边形的8SDADE+^DABC+S四边形,CE，S四边形片。匹台=SADB+S\DFB'

两者相等，整理即可得证.

【详解】

证明：连结作。尸J_5C延长线于/，则ZE=6・。

+

S四边形4DFB=SQADE+$D,48cS四边形°“感

=ab+b2—ab

=b2

Rt\ABC=RtADAE

\AB=AD-c

・•.ZADE=ABAC

Q?ADE?DAE90°

\?BAC?DAE90

即NDAB=90°，

，AD1AB

四边形/£>/*

S=S1ylz58+SgFB

=；/+；(a+6>(b-a)

1

即有：b2=-c2+-b2--a2

222

a2+b2=c2

【点睛】

本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ZOF8的面积是解本题的关键.

变式5

5.勾股定理现约有500种证明方法，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之

一.中国古代最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制

了如图1所示的“勾股圆方图”，在该图中，以弦。为边长所得到的正方形N8C。是

由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形EFGH组成的，其中8/=a,

AF=b.

(2)在图1中，若大正方形的面积是13,BF=2,求小正方形EEG”的面

积；

(3)图2是由“勾股圆方图”变化得到的，正方形MNK7由八个全等的直角三角

形和正方形EFG"拼接而成，记图中正方形MNKT,正方形力BCD,正方形EFGH

的面积分别为5，5，S3.若E+S2+S3=48,求边的长度.

【答案】(1)证明见解析；(2)1；(3)4

【解析】

【分析】(1)根据大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积证

明可得结论；

(2)由勾股定理可得AF的长，从而可得小正方形的边长，进一步可求出小正方形

的面积；

(3)分别求出正方形A/NKT,正方形4BCD,正方形EEG”的边长，求出其面积,

代入5,+S2+53=48,进一步整理可得解.

【详解】解：(1),?RtMBF三Rt\DAE占Rt\CDH3Rt\BCG

:.BF=AF=DH=CG=a,AF=DE=CH=BG=b

:.小正方形EFGH的边长=b-a

又大正方形的边长为c

二正方形438的面积为c2,4个全等直角三角形的面积和为2",正方形MG"

的面积为,

由“大正方形的面积=4个全等直角三角形的面积+小正方形的面积”得；

c2-4x^ab+(b-a)2

c2=2ab+(b-

经过整理可得,2=/+/

(2)•.•大正方形N8C。的面积是13,

c?=13

,:BF=2,KBF2+AF2^AB2

：.AF2=AB2-BE2=\3-4=9

...AF=3(负值舍去)

EF=3-2=\

.•.小正方形EFGH的面积为1；

(3)•.•正方形MNKT由八个全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，

/.AM=AF=b,MB=BF=a,

.•.正方形肠VKT的边长为a+b,

正方形MNKT的面积为(a+bp.

而正方形48CD的边长为c,正方形EFGH的边长为仅-,

•••正方形ABCD的面积为c2,正方形EFGH的面积为(b-a)2,

(a+by+c~+(b-a)?=48,

整理得，3c2=48,

Ac=4(负值舍去)

【点睛】此题考查的是勾股定理的证明和应用，能够准确识图是解答本题的关键.

题型六勾股定理的实际应用

例6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离

为1.5m,顶端距离地面2m,如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离

地面0.7m,那么小巷的宽度为()

A.3.2mB.3.5mC.3.9mD.4m

C

【分析】

如图，在放△ZC8中，先根据勾股定理求出43,然后在用△/'8。中根据勾股定理求出

BD,进而可得答案.

【详解】

解：如图，在放△NC8中，VZACB=90Q,8c=1.5米，4c=2米，

.,./¥=1.52+22=6.25,."8=2.5米,

在用△4'8。中，,/ZA'08=90°,A'。=0.7米，BD2+A'D2=A'B2,

.•.5Z52+0.72=6.25,

.•.802=5.76,

:BD>0,

，8。=2.4米，

.•Q=8C+80=1.5+2.4=3.9米.

故选：C.

本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键.

变式6

6.小明想知道学校旗杆多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m,当他把绳子

的下端拉开10m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）

A.16mB.20mC.24mD.28m

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾

股定理即可求得AB的长，即旗杆的高.

【详解】解：如图：设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，

在Rt4ABC中，BC=10米，

由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,

x2+102=(x+2)2,

解得：x=24,

/.AB=24.

...旗杆的高24米，

故选：C.

【点睛】本题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题关键是构造直角三

角形利用勾股定理列出方程.

题型七勾股定理的逆定理

例7.下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）

44,5,6B.7,24,25C.5,12,13D.1,2,旧

A

【分析】

分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形.

【详解】

解：/、•.•42+52/62，.,•三条线段不能组成直角三角形，故/选项符合题意；

8、•；7?+24?=252，•••三条线段能组成直角三角形，故8选项不符合题意：

C、:52+122=132，.••三条线段能组成直角三角形，故C选项不符合题意；

。、：肝+22=（6了，.•.三条线段能组成直角三角形，故。选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查了勾股定理逆定理，熟悉定理是关键.

变式7

7.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1,/、8、C三点均在正方形格点上，

若是A/BC的高，则的长为（）

C

A.273B.V5C.V3D.2

【答案】P

【解析】

【分析】结合格点的特点利用勾股定理求得Z5,BG,然后利用勾股定理逆

AC2,

定理判定的形状，从而利用三角形面积求解.

【详解】解：由题意可得：43=22+42=20

AC2=22+12=5

5C2=32+42=25

AB-+AC2=BC2

...△N8C是直角三角形

又•.•4。是A/BC的高

：.-AC-AB^-BCAD,

22

-xyj5x2y/5=-x5AD,解得：AD=2

22

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用网格特点，准确计算

是解题关键.

题型八勾股定理的逆定理的应用

例8.如图所示的网格是正方形网格，AABC是()三角形.

A.锐角B.直角C.钝角D.等腰

A

【分析】

根据勾股定理求出三边的长，再利用勾股定理逆定理可作判断.

【详解】

解：根据网格图可得：AC2=42+12=17.AB2=32+12=10>C52=42+32=25.

•/AC2+AB2=17+10>25=CB2,

...AA8C是锐角三角形，

故选：A.

【点睛】

本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为。、6、

c,①当届+62>02时，ZX/BC为锐角三角形；②当标+62<。2时，△48。为钝角三角形；

③当〃2+加=°2时，△NBC为直角三角形.

变式8

8.甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航

行，它们出发1.5小时后，两船相距30海里，若乙以12海里/时的速度航行，则它

的航行方向为（）

A.北偏西15°B.南偏西75。

C.南偏东15°或北偏西15°D.南偏西15°或北偏东15°

【答案】C

【解析】

【分析】先求出出发L5小时后，甲乙两船航行的路程，进而可根据勾股定理的逆

定理得出乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，进一步即可得出答案.

【详解】解：出发1.5小时后，甲船航行的路程是16X1.5=24海里，乙船航行的路

程是12X1.5=18海里；

242+182=576+324=900=302，

乙船的航行方向与甲船的航行方向垂直，

•••甲船的航行方向是北偏东75°,

乙船的航行方向是南偏东15。或北偏西15°.

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和方位角，属于常考题型，正确理解题意、

熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

题型九勾股定理与折叠问题

例9.如图，矩形纸片488中，/8=CO=4,/O=8C=8,NBAD=NB=NC=ND=90°,

将纸片沿E尸折叠，使点C与点/重合，使点G与点。重合.

(1)求证：AE=AF；

(2)求GE的长.

(1)详见解析；(2)3

【分析】

(1)根据翻折的性质可得NZMu/CEb,根据两直线平行，内错角相等可得

ZAFE=/CEF,然后求出NZE尸=乙4尸E,根据等角对等边可得ZE=/尸；

(2)根据翻折的性质可得NE=CE,设ZE=CE=x,贝48E=8-X,再根据勾股定理有:

222

X=4+(8-X),于是有/£=/尸=5,进而得到GF=ED=3.

【详解】

解：(1)由翻折的性质得，ZAEF=ZCEF,

•••矩形ABCD的对边4。//8c,

:.NAFE=NCEF,

4AEF=ZAFE,

:.AE=AF；

(2)由翻折的性质得，AE=CE,

设AE=CE-x,则BE=8-X,

在RtAABE中，AE2=AB2+BE2-

x2=4?+(8-x)2,

解得：x-5,

r.AE=5，

又由（1）可知，4尸=5,

FD=AD—AF=8—5=3,

由翻折的性质得，GF=FD=3.

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程

求出/£的长度是解题的关键.

变式9

q.如图，在R/△力8c中，N/C8=90°,ZC=5,BC=8,点。是边的中点，点E

是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折&DBE使点B落在点尸处，

连接力尸，则线段“尸长的最小值是（）

A.2B.V41-4C.3D.3713-4

【答案】8

【解析】

【分析】连接，力，以。为圆心，以8为半径画圆，交/。于G,根据题意可知点

F在O。上，当G和尸重合时/厂有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可.

【详解】解：连接ZO,以。为圆心，以CQ为半径画圆，交NO于G,根据题意可

知点F在。。上，当G和尸重合时力尸有最小值，

•.•点。是边3c的中点，

CD-GD——BC-4,

2

在Rt/\ACD中=NAC'CD'国，

AG=AD-GD=j4\-4.

故选：B

【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点E的运动轨迹是解题的关

键.

题型十最短距离问题

例10.如图，台阶/处的蚂蚁要爬到8处搬运食物，它爬的最短距离是

25

【分析】

先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

【详解】

解：如图所示：台阶平面展开图为长方形，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

由勾股定理得：AB2AC2+BC2

HPAB2=2Q2+152,

AB=25,

故答案为：25

【点睛】

本题主要考查了平面展开图一最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出

长方形的长和宽即可解答.

变式10

1O.如图，正方形为68,4B边上有一点E,AE=3,EB=1,在ZC上有一点

P,使为EP+BP最短.则最短距离EP+BP为

【答案】5

【解析】

【分析】连接DE,交直线AC于点P,根据四边形ABCD是正方形可知B、D关于

直线AC对称，所以DE的长即为EP+BP的最短距离，再根据勾股定理即可得出结

论.

•.•四边形ABCD是正方形，

，B、D关于直线AC对称，

ADE的长即为EP+BP的最短距离，

VAE=3,EB=1,

.*.AD=AB=AE+BE=4,

•*-DE=^AD2+AE2=A/42+32=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题、正方形的性质以及勾股定理的运用，

熟知两点之间线段最短是解答此题的关键.

实战练

11.如图，公路AC,互相垂直，公路A6的中点M与点C被湖隔开，若测得

AM的长为1.2kM,则M、C两点间的距离为（）

AO.5kkv\A.0.6kmB.0.9kmC.1.2km

【答案】P

【解析】

【详解】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得距离为1.2km.

故选D

■视频D

工2.如图，在四△月8c中，ZC=90°,AC=4,BC=3,把放△/BC绕着点N逆

时针旋转，使点。落在边的C'上，C5的长度是（）

35

A.1B.-C.2P.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】首先由勾股定理求出/8=5,再由旋转的性质得出"C'=NC=4,从而可

求出8C的长.

【详解】解：在放△Z8C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

；•AB2=AC2+BC2

•*-AB=y/AC2+BC2=>/42+32=5

由旋转的性质得，ZU=AC=4

C'B=AB-AC'=5-4=\

故选：A.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质和勾股定理的运用，运用勾股定理求出18=5

是解答此题的关键.

13.下列各组数中不是勾股数的是（）

A.3,4.5B.6.8.10C.5,12.13D,4,5,6

【答案】P

【解析】

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的

平方和等于最长边的平方.

【详解】解：/、32+42=25=52,是勾股数，此选项不符合题意；

B、62+82=100=102,是勾股数，此选项不符合题意；

C、52+122=169=132,是勾股数,此选项不符合题意；

D、42+52=41/62,不是勾股数，此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了勾股数：满足足+加二序的三个正整数，称为勾股数.注意:

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足次+加=/,但是它们不是正整数,

所以它们不是勾股数.

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

14.满足下列条件的三角形：

①三边长之比为3：4：5；

②三内角之比为3：4：5；

③-1,2n,n2+l；

@V2+bV2-1-6.

其中能组成直角三角形的是()

A.①③B.②④C.①②D.③④

【答案】A

【解析】

【分析】欲求证是否为直角三角形，若已知三边长，只要验证两小边的平方和是否

等于最长边的平方；若已知三个角的度数，只要验证是否存在直角即可.

【详解】①三边长之比为3:4:5；则有(3x)2+(4x)2=(5x)2,为直角三角形；

②三个内角度数之比为3:4:5,

345

则各角度数分别为180°x^=45。，1800x^=60。，1800x6=75。，不是直角三

121212

角形；

③・•・(/-)2+(2”『=(/+])2,是直角三角形；

④•.•上+1+收-1=2行＜6，二构不成三角形.

故选：A.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知

三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

15.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一

丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10

尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离

地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为()

A.%2-32=(1-X)2B.X2-32=(10-X)2

222222

C.X+3=(1-X)D.X+3=(10-X)

【答案】P

【解析】

【分析】根据勾股定理列方程解答.

【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为(10-x)尺，

根据勾股定理得:X2+32=(10-X)\

故选：D.

【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意得到直角三角形确定三边的

关系式是解题的关键.

16.如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5。〃?，高为12cm的圆柱

形水杯中，设筷子露在外面的长为入。“，则〃的取值范围是()

A.0</z<llB.11</?<12C.h>\2D.0</?<12

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意画出图形，先找出力的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾

股定理解答即可.

【详解】解：当筷子与杯底垂直时〃最大，〃最大=24-12=12c/«.

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小,

如图所示:

此时，AB=ylAC2+BC2=7122+52=13cm,

AA=24-13=11cm.

'.h的取值范围是11cm@2cm.

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图

形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度.

17.某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港

口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航

行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30海里.如

果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿（）方向航行.

东北C.西北D.东南

【答案】C

【解析】

【分析1根据路程=速度义时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆

定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而进行分析求解.

【详解】解：根据题意得PQ=16x1.5=24（海里），PR=12xl.5=18（海里），QR=30（海里）.

V242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,

二ZQPR=90°.

由“远航号”沿东北方向航行可知，Zl=45°,则N2=45。，即“海天”号沿西北方向航

行.

故选：C.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现

直角三角形进行解答.

18.如图，在A/BC中，4B=8,BC=6,AC=]O,。为边/C上一动点，DEUB于

点E,DFYBC于点F,则EF的最小值为（）

A.5B.4.8C.3D.2.4

【答案】8

【解析】

【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形总是矩形，根据矩形

的对角线相等，得EF=BD,则即的最小值即为8。的最小值，根据垂线段最短，

知：BD的最小值即等于直角三角形/8C斜边上的高.

【详解】如图，连接80.

•.•在△/BC中，48=8,BC=6,4c=10,

:.ABZ+BgiC2,BPZABC=90°.

又,：DEL4B于点E,DFLBC于点F,

，四边形E。在8是矩形，

：.EF=BD.

,：BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8,

...E/的最小值为4.8,

故选：B.

【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性

质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段.

19.如图，在四边形488中，AB=BC=T,CZ）=2&，AD=M,AB上BC,

则四边形Z8C。的面积是（）

A.2.5B.3

C.3.5D.4

【答案】A

【解析】

【分析】如下图，连接AC,在Rt^ABC中先求得AC的长，从而可判断4ACD是

直角三角形，从而求得aABC和4ACD的面积，进而得出四边形的面积.

【详解】如下图，连接AC

VAB=BC=1,ABIBC

.•.在RQABC中，AC=V2,5_=|xlxl=l

：AD=而，DC=2及