初中数学教资考试2022年下半年教资数学主观题必背知识点汇总

全国教资考试初中数学主观题必背知识点汇总

第一模块初中基础知识

第一章数与代数

第一节数与式

一、有理数

1.有理数的加法法则：

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较

大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加和为0；

(3)一个数同0相加，仍得这个数。

2.有理数的减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a—b=a+(—b)。

3.有理数的乘法法则

(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

(2)任何数与0相乘都得0。

4.有理数的除法法则

(1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。即a+b=a£(bH0)o

(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。。除以任何一个不

等于0的数，都得0。

5.有理数的混合运算顺序

(1)先乘方，再乘除，最后加减；

(2)同级运算，从左到右进行；

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

二、实数

1.相关概念

（1）算术平方根：如果一个正数％的平方等于a,即/那么这个正数

%叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为正，a叫做被开方数，a20。

（2）平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次

方根。注意-3是9的平方根；9的平方根是3和-3。正数有两个平方根，他们

互为相反数；0的平方根是0,负数没有平方根。

（3）立方根：如果一个数a的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次

方根。

（4）乘方：九个a相乘的积称为a的n次幕，在〃中，相同的乘数a叫做底数，

a的个数n叫做指数，乘方运算的结果即叫做累。即读作。的葭次方。

（5）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

（6）开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。

（7）无理数：无限不循环小数又叫无理数。

（8）实数：有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应。

（9）二次根式：一般地，形如20）的代数式叫做二次根式。当a>0

时，表示a的算术平方根，其中VU=0。

（10）最简二次根式：满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得

尽方的因数或因式，符合这两个条件的二次根式叫做最简二次根式。

2.二次根式运算法则

（1）二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简

二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

（2）二次根式的乘法法则：Va-Vb=Vab（a>0,b>0）o

（3）二次根式的除法法则:.=J|（a>0,b>0）o

三、整式与分式

1.整式相关概念

（1）单项式：式子中只含数或字母的积，叫做单项式，单独一个数或一个

字母也是单项式。

2

（2）单项式的系数与次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

（3）多项式：几个单项式的和叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项，

不含字母的项叫常数项。

（4）多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次

数。

（5）整式：单项式与多项式统称为整式。

（6）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

（7）合并同类项：把多项式中的同类项合并成同一项，叫做合并同类项。

2.运算法则

（1）合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系

数的和，且字母连同它的指数不变。

（2）去括号法则

如果括号外面的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相

同；如果括号外面的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相

反°

（3）整式加减的运算法则

一般的，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

（4）积的乘方法则：（立产=晓"1（〃为正整数），即积的乘方，等于把积的

每一个因式分别乘方，再把所得的累相乘。

（5）整式的乘法法则

①单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数累分别相

乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的

每一项，再把所得的积相加。

③多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项

乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

④同底数幕的除法法则：同底数募相除，底数不变，指数相减，即a"+a"=

mn

a~（a0,TH、71都是正整数，且m>n）。

3

⑤单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数累分别相除，作为商的

因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单

项式，再把所得的商相加。

3.因式分解

（1）相关概念

①分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这.个

多项.式分解因式。注意：因式分解与整式乘法是方向相反的变形。

②提公因式法：将多项式写成公因式与另一个因式乘积的形式，这种分解因

式的方法叫做提公因式法。

③公式法：平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-/。即两个数的和与这两个

数的差的积，等于这两个数的平方差。

④完全平方公式：（a±炉=a2±2ab+b\即两个数的和（或差）的平方，

等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

（2）分解因式的步骤

①先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；

②再看能否使用公式法；

③用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的

目的；

④因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解；

⑤因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。

4.分式相关概念及运算法则

（1）相关概念

①分式：一般地，如果4B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子1

叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。

②分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，

分式的值不变。

③最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

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④通分：把几个异分母的公式分别化成与原来的分母相等的同分母的分式,

叫做分式的通分。

⑤最简公分母：为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有

因式的最高次基的积作为公分母，叫做最简公分母。

⑥分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方。用字母表示为：6尸=

M（n为正整数）。

（2）分式的乘法法则

①分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为

积的分母。

②分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被

除式相乘。

③分式的乘除混合运算，先统一成乘法运算，能约分的要随时约分，以减少

运算量。另外，分式的乘方运算要把分式加上括号，同时不要忽略分子、分母系

数的乘方，同时要注意符号问题。

④同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

⑤异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，

再加减。

（3）分式方程及解法

①分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

②分式方程的解法：

A.去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）;

B.按解整式方程的步骤求出未知数的值；

C.验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,

则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

5.等式的性质

（1）等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍

相等。即如果。=b,那么a±c=b士c。

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（2）等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数,

结果仍相等。即如果a=b,那么ac=bc；如果a=b（c=O）,那么£=g。

第二节方程与不等式

一、方程与方程组

1.解一元一次方程的一般步骤

（1）去分母

（2）去括号

（3）移项

（4）合并同类项

（5）系数化为1

2.解一元一次方程组的方法

（1）消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。

（2）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再

代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做

代入消元法，简称代入法。

（3）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个

方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法,

简称加减法。即二元一次方程组一消元一一元一次方程。

3.解一元二次方程的方法

（1）配方法

①概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。一

般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（％+九）2=p的形式，那么就有：

当p>0时，方程有两个不等的实数根：%i=-n-y/p,x2=-n+y[p-,当p=0

时，方程有两个相等的实数根：%1=小=九；当p<0时，因为对任意实数工，都

有（％+71）2之0,所以方程无实数根。

②配方法解一元二次方程的一般步骤：

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一移：移项，将常数项移到右边，含有未知数的项移到左边；

二化：二次项系数化为1,左右两边同时除以二次项系数；

三配：配方，左右两边同时加上一次项系数一半的平方；

四开：开平方求根。

(2)公式法

①判别式：一般地，式子/—4ac叫做一元二次方程a/+bx+c=0(aH

0)根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即

②当△>£)时，方程a/+bx+c=0(a0)有两个不等的实数根；当21=

0时，方程a/+bx+c=0(a。0)有两个相等的实数根；当△<()时，方程

ax2+bx+c=0(a=0)无实数根。

③当A20时，方程a/+bx+c=0(a=0)的实数根可写为％=「""七，竺

2a

的形式，这个式子叫做一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的求根公式。解

一个具体的一元二次方程时，把系数直接带入求根公式的方法叫做公式法。

④公式法解一元二次方程的一般步骤：

A.把方程化成一般形式，并写出a,b,c的值

B.求出庐-4ac的值

C.代入求根公式

D.写出方程的解Xi，%2

(3)因式分解法

①概念：先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这

两个一次式分别等于0,从而实现降次。这种解一元二次方程的方法叫做因式分

解法。

②因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

A.将方程右边化为0；

B.将方程左边化为两个一次式的乘积；

C.令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；

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D.解这两个一元一次方程，他们的解就是一元二次方程的解。

4.一元二次方程的根与系数的关系

根与系数的关系：一元二次方程a/+bx+c=0（aH0）中，+x2=

bc

a，二a一

二、不等式与不等式组

1.概念

一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一

元一次不等式组。

2.解集

一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解

集。解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，在求出这些解集

的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集。解不等式组口诀：同大

取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无解可找。

第三节函数

描点法画函数图象的一般步骤

（1）列表——表中给出一些自变量的值与其对应的函数值；

（2）描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为

纵坐标，描出表格中数值对应的个点；

（3）连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描绘出的各点用平滑曲线

连接起来。

一、一次函数

L概念

形如y=kx+b（k、b是常数，A=0）的函数，叫做一次函数（%为自变量,y为

因变量）。特别地，当b=0时，称y是％的正比例函数。

2.性质

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当k>0时，y随工的增大而增大；当k<0时，y随％的增大而减小。

二、正比例函数

1.概念

一般地，形如y=kx（k是常数，kHO）,叫做正比例函数，其中k叫做比

例系数。

2.性质

正比例函数y=kx（k=0）的图象是一条经过原点的直线，当k>0时，直

线丫=-经过第一、三象限，y随工的增大而增大，当k<0时，直线y=依经过

第二、四象限，y随工的增大而减小。

三、反比例函数

1.概念

形如y=：（k为常数，k手0）的函数称为反比例函数。其他形式孙=k,y=

/cx-1o

2.性质

（1）当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值

随工值的增大而减小；

（2）当A<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值

随力值的增大而增大。

四、二次函数

1.概念

一般地，形如y=a/+bx+c（a,b,c是常数，aH0）的函数，叫做二次函

数。其中，%是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和

常数项。

2.二次函数y=a/的图象和性质

二次函数丫=aX2的性质：抛物线y=a%2的对称轴是y轴，顶点是原点。当

a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开

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口向下，顶点是抛物线的最高点。对于抛物线y=a/,|a|越大，抛物线的开口

越小。

3.二次函数y=a(x-仔+k的图象和性质

二次函数y=a(x—h)2+k的性质：抛物线y=a(%—h)2+k与y=ax?形

状相同，位置不同，把抛物线y=aX2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛

物线y=a(x-h)2+鼠平移的方向、距离要根据九、Z的值来决定。特点如下:

(1)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

(2)对称轴是％=K

(3)顶点是(h,k)o

4.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

(1)二次函数的解析式三种形式

①一般式y=ax2+bx+c(a丰0)；

②顶点式y=a(x-K)2+k,y=a(x+^)2+言；”；

③交点式y=a(x-xt)(x-x2)o

(2)二次函数图象与性质

①对称轴：x=一9；

2a

②顶点坐标：(―

2a4a

③与y轴交点坐标(0,c)；

④增减性：当a>0时，对称轴左边，y随K增大而减小；对称轴右边，y随

久增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随％增大而增大；对称轴右边，y随％增

大而减小。

⑤图象平移步骤：

A.配方：y=a(x-h.)2+k,确定顶点(/i,k)；

B.对x轴左加右减；对y轴上加下减。

⑥二次函数的对称性：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐

标为X1，%2其对应的纵坐标相等，那么对称轴％=第。

⑦根据图象判断a,b,c的符号

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A.a决定开口方向；

B.a,b可以用左同右异判断(对称轴在y轴左边，a,b符号相同，对称轴在

y轴右边，a,b符号相反)；

C.c是由抛物线与y轴的交点决定的。

5.二次函数与一元二次方程的关系

抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)与％轴交点的横坐标》「不是一元二次方程

y=a/+bx+c(aH0)的根；抛物线y=a/+bx+c,当y=0时，抛物线便

转化为一元二次方程a/+bx+c=

(1)匕2一4就＞0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图象与

%轴有两个交点；

(2)b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图象与x

轴有一个交点；

(3)匕2一4就＜0时，一元二次方程没有实根，二次函数图象与％轴没有交

点。

第二章图形与几何

第一节直线、射线、线段

一、相关概念

(-)线

1.直线：直线无尽头，可以向两端无限延伸。

2.线段：平面中两点之间的连线叫作线段。

3.射线：直线上的一点和它的一旁的部分组成的图形称为射线或半直线。

4垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫作这条线段的

垂直平分线。

5.角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角

的射线，叫做这个角的角平分线。

。角

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1.角：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫作角。这个公共端

点叫作角的顶点，这两条射线叫作角的两条边。一个角的两边分别垂直于另一

个角的两边，这两个角相等或互补。

2.余角：如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角。

3.补角：如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角。

二、基本性质

（-）直线、射线、线段的基本性质

1.基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即两点确定一条直

线。

2.基本事实：两点的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短。

3.基本事实：经过一点（直线上或直线外），有且只有一条直线与已知直线

垂直。

4.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端

点的距离相等。

5.逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线

上。

6.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

7.线段的中点到两端点的距离相等。

（二）角的基本性质

1.角平分线性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；

（2）角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

2.同角（等角）的补角相等；同角（等角）的余角相等。

三、相交线与平行线

（-）同位角、内错角、同旁内角

1.若两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，则称两个角互

为邻补角，如N1和N2。

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2.若两个角有一个公共顶点，一个角的两边为另一个角两边的反向延长

线，则称两个角互为对顶，如N1和N3。

3.两条直线被一条直线所截，在两条被截直线的同旁且在截线的同侧的两

个角，称为同位角（如图N1和N5）；

4.两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样关系的

两个角叫做内错角（如下图N3和N5）。

5.在两条被截直线之间且在截线的同侧的两个角，称为同旁内角（如图N4

和/5）。

四、平行线及其判定

（一）平行线

1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。a与b互相平行，

记作a||bo

2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

即如果b||a,c||a那么b||a。

（二）平行线的判定

1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简

单说成：同位角相等，两直线平行；

2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简

单说成：内错角相等，两直线平行；

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3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成：同旁内角互补，两直线平行。

（三）平行线的性质

1.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。简单说成：两直线平行，同

位角相等。

2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。简单说成：两直线平行，内

错角相等。

3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。简单说成：两直线平行,

同旁内角互补。

第二节三角形

一、三角形的边

1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做

三角形。

2.分类：

（■三边都不相等的三角形

三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

3.三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。即两边之

差〈第三边（两边之和。

4.判断三条线段能否组成三角形，将两条较短的线段之和与最长的线段进行

比较。

二、三角形的高、中线与角平分线

1.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线

段叫做三角形的高。

（1）直角三角形的三条高，一条高在三角形内部，其余两条与两条直角边

重合，且三条高的交点为直角的顶点。

（2）锐角三角形的三条高内在三角形的内部，且有一个交点。

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(3)钝角三角形的三条高，一条高在三角形内部，其余两条在三角形外部,

它们没有交点，但所在的直线有一个交点。

锐角三角形直角三角形钝角三角形

高在三角形内部的数311

量

高是否相交相交相交不相交

高所在的直线是否相相交相交相交

交

三条高所在直线的交三角形内部直角顶点三角形外部

点的位置

2.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中

线。

3.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶

点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

4.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形中线的交点叫做三

角形的重心。

5.三角形的一边的中线可以把这个三角形分成面积相等的两部分。

三、等腰三角形与等边三角形

1.等腰三角形的性质

(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；

(2)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重

合，简称为“三线合一”。

(3)性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边中线所在的直线(轴

对称图形)。

2.等腰三角形的判定：

(1)判定1：定义法，有两边相等的三角形是等腰三角形。利用全等三角形

的对应边相等；利用垂直平分线的性质。

(2)判定2：等角对等边，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所

对的边也相等。

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3.等边三角形角的特点

等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60。。

4.等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

四、勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么

a2+b2=c2

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足。2+*=。2。那么这个三

角形是直角三角形。

3.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于

斜边的一半。

五、三角形的内角

1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°。

2.直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角

形。

3.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形4BC可以写成Rt△ABC。

4.做题中常用的性质：等角的余角相等。

5.三角形内角和的证明

六、三角形的外角

1.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的

外角。

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2.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

七、多边形的内角和

1.多边形内角和公式：九边形的内角和等于（九-2）-180%

2.多边形的外角和等于360°。

3.多边形对角线的条数：从“边形的一个顶点出发，可以做（n-3）条对角

线，多边形的对角线有若2条。

八、三角形全等

1.三角形全等的判定公理及推论

（1）“边边边”简称“SSS”：三边分别相等的两个三角形全等；

（2）“边角边”简称“SAS”：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等;

（3）“角边角”简称“ASA”：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等;

（4）“角角边”简称“AAS”：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形

全等；

（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）：斜边和一条直角边分别相

等的两个直角三角形全等。

九、相似

（-）图形的相似

1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。

2.相似多边形:两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，

那么这两个多边形叫做相似多边形。

3.相似多边形的性质：相似多边形对应角相等,对应边的比相等。

4.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比。

（二）相似三角形的判定

1.用相似符号“S”表示两个三角形相似，书写时应把对应顶点写在对应位

置上。

17

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

互为相似形的三角形叫做相似三角形。

3.相似比：如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形

的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比（或相似系数），这里，

必须注意的是顺序问题和对应问题。例如：AABCMDEF,那么是△/8。与4

DEF的相似比，而不是指△DEF与△ABC的相似比，这两个相似比互为倒数。由

此可说明全等三角形是相似三角形当相似比等于1时的特殊情况。

4.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对

应线段成比例。结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），

所得的对应线段成比例。

5.判定相似三角形的定理：

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成

的三角形与原三角形相似；

（2）三边成比例的两个三角形相似；

（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

（4）两角分别相等的两个三角形相似。

（三）相似三角形的性质

1.相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比;

2.相似三角形对应线段的比等于相似比；

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

（四）相似三角形应用举例

1.用三角形的相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题。

2.“相似三角形对应边的比相等"—四条对应边中若已知三条则可求第四

条。

（五）位似

1.位似图形：对应顶点的连线相交于一点的两个相似图形叫做位似图形。这

点叫做位似中心。

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2.位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变

换是以原点为位似中心，相似比为鼠那么位似图形对应点的坐标的比等于k或

-ko

第三节四边形

一、平行四边形

平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形

用“口”表示，例如平行四边形ABCD记为“DABCD”

（一）平行四边形的性质

1.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平

行四边形的对角线互相平分。

2.两平行线之间的距离：两平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的

距离，叫做这两平行线之间的距离。

（-）平行四边形的判定

1.平行四边形的判定：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2.中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第

三边的一半。

二、特殊的平行四边形

（一）矩形

1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。AC=

BD。

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3、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、矩形判定定理：

（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

（二）菱形

1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每

一条对角线平分一组对角。

3.菱形的判定定理：

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四条边相等的四边形是菱形。

4.S菱=[ab（a,b为两条对角线）

（三）正方形

1.正方形：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

2.正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。

3.特殊性：正方形既是矩形，又是菱形。

4.正方形判定定理：

（1）邻边相等的矩形是正方形；

（2）有一个角是直角的菱形是正方形。

第四节圆

一、圆的相关概念

1.弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。

2.弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。优弧，劣弧

3.等圆或等弧：能够重合的两个圆叫作等圆，在同圆或等圆中能够重合的弧

叫作等弧。

20

4.圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。

5.圆周角：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫作圆周角。

6.圆的切线：如果一条直线与圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆在

交点处的切线。

7.外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆

的内接多边形，这个圆叫作多边形的外接圆。

8.弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切

角。

二、圆的有关性质

1.圆是轴对称图形、中心对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称

轴，圆心是它的对称中心。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的两条弧。

垂径定理的逆定理：平分非直径的弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧;

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦；弦的垂直平分线经过圆心。

3.圆心角的性质

（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。

（3）在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆心角相等，所对的弦也相等。

4.圆周角的性质

（1）一条弧所对应的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（3）同弧或等弧所对的圆周角相等

5.切线的判定定理：经过半圆的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径

6.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一

21

点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

7.弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半。

推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角。

8.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如

图（1）所示，AM•MB=CM•MD。

9.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条

线段长的积相等。如图（2）所示，PA-PB=PC-PD.

10.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交

点的两条线段长的比例中项。如图（3）所示，PC2=PA-PB.

11.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

三、点和圆、直线和圆的位置关系

（一）点和圆的位置关系

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1.圆和点的位置关系：以点P与圆。的为例(设。。的半径为r,点P到圆心

的距离OP=d),则有：

(1)点P在圆外-d>r；

(2)点P在圆上一d=r；

(3)点P在圆内一d<r0

2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

3.外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是

三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

4.三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心

是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。

(-)直线和圆的位置关系

1.直线与圆有3种位置关系：以直线/与圆。的为例(设。。的半径为r,圆

心到直线的距离为d),则有：

(1)直线，与。。相交<r,直线和圆有两个公共点；

(2)直线/与。。相切-d=r,直线和圆只有一个公共点，就说这条直线

和圆相切，这个点叫做切点。

(3)直线/与。。相离-d>r,直线和圆没有公共点。

2.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

4.切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这

点到圆的切线长。

5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一

点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

6.内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆

心是三角形三条角平分线的交点，称为三角形的内心。

23

7.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之

内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个

公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r,且

R>r,圆心距为P：外离P>R+r；外切P=R+r；相交R—r<P<R+r；

内切P=R—r；内含P<R—r。

四、弧长和扇形面积

1.扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

2.扇形弧长：1=鬻。

180

3.扇形面积：5=嚅=9/?。

3602

4.圆锥:是由一个底面和一个侧面围成的几何体。

5.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥

的母线。

6.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。

7.圆锥侧面积：S御=1-2兀r•I=nrl

9.圆锥的全面积：S全=5侧+S底=兀包+兀八.

第五节图形的变化

一、图形的轴对称

如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个

图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

二、图形的旋转

L概念

把一个平面图形绕着平面内某一点。转动一个角度，叫做图形的旋转。点。

叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2.性质

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对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

角；旋转前后的图形全等。

3.中心对称

(1)概念

如果把一个图形绕着某一点旋转180。后能与另一个图形重合，那么我们就说,

这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能够重合的

对应点叫做关于对称中心的对称点。

(2)性质

中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中

心平分；中心对称的两个图形是全等图形。

三、图形的平移

1.平移

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平

移平移变换，简称平移。

2.对应点

平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这

样的两个点叫做对应点。

3.平移特点

平移不改变图形的形状和大小；对应点连线平行且相等。

第三章统计与概率

第一节抽样与数据分析

一、统计名称

1.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。

2.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。

3.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。

25

4.简单随机抽样：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像这样的抽

样方法是一种简单随机抽样。

5.平均数

加权平均数：一般地，若n个数孙孙…,丁的权分别是Wi，W2,…,wn,则

X-X2W2+…,叫做这〃个数的加权平均数。

w1+w2+---+wn

6.中位数

将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是

奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，

则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

7.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

2222

8,方差：S=^[(%1-%)+(%2-^)+...+(Xn-%)]o方差越大，数据的波

动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

二、直方图

1.频数：一般地，我们称落在各个小组内的数据个数为该组的频数。

2.频率：频数与数据总数的比为频率。

3.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成

组的个数称为组数，每个小组的两个端点之间的距离(组内数据的取值范围)称

为组距。

4.直方图与条形图区别

相同之处：条形图与直方图都是在坐标系中用矩形的高来表示频数的图形。

不同之处：直方图组距是相等的，而条形图不一定。直方图各矩形间无空隙，

而条形图则有空隙。直方图可以显示各组频数分布的情况，而条形图不能明确反

映这点。

5.扇形统计图

圆心角的度数=百分比X360。

第二节事件的概率

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一、随机事件

1.必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件；

2.不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件，称为不可能事件；

3.必然事件和不可能事件统称为确定事件。

4.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

二、概率

1.概率：把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件/发生的概率，记

为PQ4）。一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能

性都相等，事件4包含其中的m种结果，那么事件/发生的概率P（A）=-n-，

2.0<P（71）<1,特别地，当/为必然事件时，P（/）=1；当/为不可能

事件时，P（/）=0o

3.用列举法求概率

（1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的

可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的

概率。

（2）列举法常用的表现形式有：

①直接列举法：适用于涉及的对象比较单一且出现的等可能结果较少的情况。

②列表法：当一次设计两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不

遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。

③画树状图法：当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不

方便了，为不重不遗漏地列出所有可能的结果，通常用画树状图法。

4.用频率估计概率

（1）适用条件：当试验的所有结果不是有限个，或者各种可能结果发生的

可能性不相等时常用频率估计概率。

（2）归纳：利用多次重复试验，通过统计试验结果估计概率的方法叫做用

频率估计概率。当试验的次数九足够大，频率上越接近真实值。

n

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注意：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反应的规律并非在每

一次试验中都发生。

第二部分《义务教育数学课程标准（2011年版）》

简答和论述题整理

1.请简述义务教育阶段数学课程性质。

【参考答案】义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有

基础性、普及性和发展性。

（1）首先，义务教育阶段数学课程具有基础性。数学课程能使学生掌握必

备的基础知识和基本技能，是学生全面发展的重要基础，能为学生未来生活、

工作和学习奠定重要的基础；

（2）其次，义务教育阶段数学课程具有普及性。即义务教育阶段的教育是

国家统一实施的所有适龄儿童、少年必须接受的教育，是国家必须予以保障的,

属于义务教育。

（3）最后，义务教育阶段数学课程具有发展性。通过义务教育阶段的数学

学习可以培养学生的抽象思维和推理能力，提升创新意识和实践能力，促进学生

在情感、态度与价值观等方面的发展，为即将结束义务教育阶段的初中学生的可

持续发展而设置的。

2.请简述义务教育阶段数学课程内容的设置要注意哪些方面。

【参考答案】数学课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的

认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思

想方法。

第一，课程内容的选择要反映社会的需要，即社会需要什么样的人才，学校

就需要培养什么样的人才并设置对应的课程内容，比如，现在社会需要创新型和

应用型人才，那么数学课程的设置也要考虑到提升学生的创新意识和应用意识;

第二，课程内容的组织要符合数学的特点。数学知识的学习注重严谨性和科

学性，因此在课程设时要重视知识的生成过程和推理论证的过程，处理好过程与

结果的关系；要重视直观教学，处理好直观与抽象的关系；要重视数学课程直接

经验的获得，处理好直接经验与间接经验的关系；

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第三，课程内容的选择要要符合学生的认知规律，即贴近学生的生活实际、

思维现实和认知经验，要有利于学生体验与理解、思考与探索，同时课程内容的

呈现应注意层次性和多样性。

3.《义务教育数学课程标准（2011年版）》有两类行为动词，其中一类是描

述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”，其中另一类是描述

过程目标的行为动词，包括“经历”“体验”“感悟”“探索”，请通过举例说明各

含义。

【答题模板】

（1）了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特

征，从具体情境中辨认或举例说明对象。

例1：“了解分式的概念”具体含义为：能够举例说出分式的的形式，即形

如今A,B均为整式，且B中含有字母的式子就叫分式，能在具体实例中初步认

识分式。（结合动词介绍并分析具体知识点）

例2：“了解等腰三角形的概念”的具体含义为：一个三角形中如果有两条

边相等，那么这个三角形称为等腰三角形；相等的两边称为等腰三角形的腰，

另一条边称为底边；两腰的夹角称为顶角，两腰与底边的夹角称为底角。（结

合动词介绍并分析具体知识点）

（2）理解：描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象之间的

区别和联系。

例1：以“平行四边形概念”为例，教学目标中“理解”平行四边形的概念和平

行四边形对边、对角相等的性质。这些都属于“理解”的目标层次。学生在学习过

程中，能够把握平行四边形的概念，通过内在逻辑联系，以此为前提进行推导,

得到平行四边形的对边、对角相等的性质。

例2：以“三角形相似的概念”为例，“理解”的具体含义为：能说出相似三角

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形的具体概念，会用符号表示两个三角形相似边和角的相关性质，并能区分全等

与相似。

(3)掌握：多角度理解和表征数学对象的本质，把对象用于新的情境。

例1：以“认识万以内的数”，教学目标中学生能认、读、写万以内的数，能

用数表示实际生活中物体的个数或事物的顺序和位置。

例2：以“常见图形的面积公式”为例，“掌握”的具体含义指，能在组合图形

中运用常见图形，如三角形、平行四边形、圆形、梯形等的面积公式求解阴影部

分图形的面积。

(4)运用：基于数学对象和对象之间的关系，选择或创造适当的方法解决

问题。

例1：证明"角角边”定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两

个三角形全等。

例2：运用线段垂直平分线的性质定理解决最短路径问题。

(5)经历：有意识地参加特定的数学活动，感受数学知识的发生发展过程，

获得一些感性认识。

例如：：经历观察、对比的活动，认识平行四边形，初步得到平行四边

形边、角、对角线对印关系。

(6)体验：有目的地参与特定的数学活动，验证对象的特征，获得一些具

体经验。

例1：通过直尺、量角器等进行测量，验证平行四边形的相关性质，并尝

试运用