湖南省长沙市长郡外国语学校2021年高三数学理月考试卷含解析

湖南省长沙市长郡外国语学校2021年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，二项式的展开式中项的系数为20，则定积分的最小值为（

）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：C【分析】由二项式定理展开项可得，再利用基本不等式可得结果.【详解】二项式的展开式的通项为当时，二次项系数为而定积分当且仅当时取等号故选B【点睛】本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.2.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是A.

B.

C.D.参考答案：D3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于()A．1∶2

B．2∶3C．3∶4 D．1∶3参考答案：C4.设集合，，若，则的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：D5.已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为A.

B.

2

C.

D.参考答案：D17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（

）（A）充分条件

（B）必要条件（C）充分必要条件

（D）既非充分又非必要条件参考答案：A7.在中，，则

的值是

（

）

参考答案：B略8.已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则的值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为5，则输出v的值为A. B. C. D.参考答案：B【分析】依次运行程序框图中的程序，直到不满足条件，停止运行，输出结果.【详解】依次运行程序框图中的程序，可得①满足条件，；②满足条件，；③满足条件，；……⑨满足条件，；⑩满足条件，．而不满足条件，停止运行，输出．故选B．【点睛】本题主要考查了秦九韶算法的程序框图，考查了循环结构，属于中档题.10.已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)＝lg(x－1)的定义域为________．参考答案：(1，＋∞)12.某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取—个容量为的样本，已知从女生中抽取的人数为80，则等于

·参考答案：19213.已知函数f（x）=，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是．参考答案：（10，15）【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，根据f（a）=f（b）=f（c），可得﹣lga=lgb=﹣c+3∈（0，1），即可求出abc的范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣lga=lgb=﹣c+3∈（0，1）∴ab=1，c∈（10，15），∴abc=c∈（10，15）．故答案为：（10，15）．14.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______________参考答案：15.已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为．参考答案：【考点】几何概型．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用对应的体积比值求出对应的概率．【解答】解：如图所示，AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H，当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，V三棱锥O﹣PAB≥；在几何体CDEFGH中，连接GD、GE，则V多面体CDEFGH=V四棱锥G﹣CDEF+V三棱锥G﹣DEH=，又V四棱锥P﹣ABCD=，则所求的概率为P==．故答案为：【点评】本题考查了空间几何体体积的计算问题，也考查了几何概型的应用问题，是综合性题目．16.已知函数，，则________．参考答案：－2解答：，，∴，∴.

17.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是___________________参考答案：或，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以，即的取值范围是。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE．（1）求证：AF⊥平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可；（2）抓住两点找到问题的求解方向：一是点G的预设位置，二是二面角G﹣AF﹣E的位置，计算即可．【解答】（1）证明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中点，得．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE．在Rt△SAE中，，所以．因此AE2=EF?SE，又因为∠AEF=∠AES，所以△EFA∽△EAS，则∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE．因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥底面SAE，则BC⊥AF．又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC．（2）结论：在线段上DE上存在点G使二面角G﹣AF﹣E的大小为30°，此时DG=．理由如下：假设满足条件的点G存在，并设DG=t．过点G作GM⊥AE交AE于点M，又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．作MN⊥AF交AF于点N，连结NG，则AF⊥NG．于是∠GNM为二面角G﹣AF﹣E的平面角，即∠GNM=30°，由此可得．

由MN∥EF，得，于是有，．在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，即，解得．于是满足条件的点G存在，且．【点评】本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19.已知集合（1）若，求的取值范围.（2）当取使不等式恒成立的最小值时，求（）.参考答案：解：或（1）当时，，所以或.（2）由，得依题意知，，则，即的最小值为-2.当时，或所以，故（.20.已知函数f（x）=8a2lnx+x2+6ax+b（a，b∈R） （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，求a，b的值； （2）若a≥1，证明：?x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＞14成立． 参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求导，由题意可知，即可求得a，b的值； （2）利用分析法，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得结论． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=+2x+6a， 由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x，则， 解得：或， 则a，b的值0，1或﹣，； （2）证明：①当x1＜x2时，则x2﹣x1＞0，欲证：?x1，x2∈（0，+∞），都有＞14成立， 只需证?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立， 只需证?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立， 构造函数h（x）=f（x）﹣14x，则h′（x）=2x++6a﹣14， 由a≥1，则h′（x）=2x++6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0， ∴h（x）在（0，+∞）内单调递增，则h（x2）＞h（x1）成立， ∴f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立，则＞14成立； ②当x1＞x2时，则x2﹣x2＜0， 欲证：?x1，x2∈（0，+∞），都有＞14成立， 只需证?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣f（x1）＞14（x2﹣x1）成立， 只需证?x1，x2∈（0，+∞），都有f（x2）﹣14x2＞f（x1）﹣14x1成立， 构造函数H（x）=f（x）﹣14x，则H′（x）=2x++6a﹣14， 由a≥1，则H′（x）=2x++6a﹣14≥8a+6a﹣14≥0， ∴H（x）在（0，+∞）内单调递增，则H（x2）＜H（x1）成立， ∴＞14成立， 综上可知：?x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＞14成立． 【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，利用导数求函数的单调性及最值，考查分析法证明不等式，考查转化思想，属于中档题． 21.（本小题满分12分）

已知函数的图