初等几何之母希腊

关于初等几何之母希腊第1页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪）特殊的地理位置与文化.社会制度第2页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三§1、古典时期这一时期的主要数学家有：泰勒斯（Thales，公元前624—前547）；毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前560—前497）；芝诺（Zeno，约公元前490—前425）；希波克拉底（Hyppocrates，约公元前５世纪）；德谟克利特（Democritus，公元前460—前370）；柏拉图（Plato，公元前427—前347）；欧多克斯（Eudoxus，公元前409—前356）；亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322）。第3页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三学派林立1、泰勒斯与爱奥尼亚学派２、毕达哥拉斯学派和“第一次数学危机”３、厄里亚学派和芝诺疑难４、巧辩学派和尺规作图三大不能问题５、柏拉图学派６、亚里士多德与吕园学派学派：同一学科中由于学说、观点不同而形成的派别。原因：学术自由探索自然或社会的奥秘自动第4页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三1、泰勒斯与爱奥尼亚学派古希腊历史上的第一个学派是爱奥尼亚（古希腊接近埃及、巴比伦的一个地区）学派，它是由泰勒斯创立的。泰勒斯是希腊几何学的鼻祖，商人第5页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三数学成就及传说作为演绎科学的数学，公认是从泰勒斯开始的。据记载，泰勒斯曾证明了直径平分圆、对顶角相等、圆周角定理、相似三角形性质等几何命题。据传：预测过公元前585年5月28日的日食，利用日影测金字塔的高；教训过蠢驴，观天象掉水沟“世界上最难于理解的就是在于被理解这一点上。”第6页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三２、毕达哥拉斯学派和“第一次数学危机”稍晚于爱奥尼亚学派的是毕达哥拉斯学派。其创始人毕达哥拉斯出生于靠近小亚细亚海岸的萨摩岛，可能是泰勒斯的学生。他游历过埃及和巴比伦，可能在那里学习了数学。并建立了一个宗教、哲学、科学性质的组织，后来发展成为毕达哥拉斯学派。第7页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三毕达哥拉斯学派的数学成就毕达哥拉斯学派认识到“数学研究抽象概念”他们研究了一些数列：三角形数、正方形数，长方形数、五角形数，六角形数；完全数（6=1+2+3），28，496；友数（亲和数）（284，220）他们研究了质数、递进数列、一些比和比例关系他们发现了无理数，“万物皆数”第8页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三

第一次数学危机毕达哥拉斯学派规定：“鉴于我们是依靠自己的智慧合力进行研究，我们获得的成果绝对不许外传。”无理数的第一个发现者希帕萨斯向外界透露抛进了茫茫大海，葬身鱼腹，引起了所谓“第一次数学危机”。第9页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三３、厄里亚学派和芝诺疑难公元前496—前430年间，厄里亚（今意大利南部的一个城市）形成一个学术中心，即厄里亚学派，芝诺是这个学派的中心人物。芝诺不仅是一个数学家，而且是一位哲学家，他和他的老师帕门尼茨（Parmenides）一样，据说都是毕达哥拉斯派学者。第10页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三芝诺疑难人们对空间和时间有两种对立的看法：一种认为空间和时间无限可分，那样的话，运动是连续而又平顺的；另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的（像放映电影那样），那样的话，运动将是一连串的小跳动。芝诺疑难就是针对这两种对立的观点而提出的。芝诺疑难，通常指下述四个问题。第11页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三

四个问题（1）两分法悖论（2）阿基里斯（Achilles）追不上乌龟这两个疑难是针对空间和时间无限可分这个观点的．（３）飞矢不动说（４）操场问题后两个疑难是针对空间和时间是由不可分的小段组成这个观点的．无理数离散与连续！第12页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第13页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三４、巧辩学派和尺规作图三大不能问题公元前479年，希（希腊）波（波斯）战争以波斯失败而告终。之后，雅典成了希腊商业兴旺、人才荟萃的中心，各学派的学者群聚于次，一扫毕达哥拉斯学派秘密的作风，崇尚公开、雄辩的精神，欲取得胜利，必具有渊博的知识和辩论的艺术及才能，这样巧辩学派应运而生。第14页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三巧辩学派当时研究、涉及的数学问题（1）三等分任意角问题。（2）倍立方问题——求作一个立方体，使其体积为已知立方体体积的二倍。（3）化圆为方问题——求作一正方体，使其面积为已知圆的面积。最基本的作图工具——规、矩（不带任何标记）最基本的图形——直线、圆第15页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三５、柏拉图学派继巧辩学派之后领导数学活动的是柏拉图学派。柏拉图出生于名门，他游历过埃及并在意大利南部来往于毕达哥拉斯学者之间。毕达哥拉斯学派对他的影响可能是从这些接触中得来的。公元前387年左右他在雅典成立学院，在很多方面像现代的大学，学院有场地、房屋、学生，并有柏拉图及其助手讲授的正式课程。古希腊时期，数学和哲学是学院里受欢迎的学科。第16页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三柏拉图学院（又称雅典学院）第17页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三柏拉图学派的数学成就柏拉图是那个时代最有学问的人，但他不是数学家，不过他热心这门科学，重视这门科学。学院门口曾写着：“不懂几何者不得人内！”柏拉图首先较系统地研究了概念、判断和推理，并试图给判断下定义，考虑过同一律和无矛盾律柏拉图把数学概念看作抽象物列宁：“唯心主义地倒置过来的唯物主义！”柏拉图和他的学生改进了定义，该学派的欧多克斯是比例论的创立者梅内克谬斯——亚历山大的老师：“几何无王者之道！”第18页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三６、亚里士多德与吕园学派亚里士多德是柏拉图的学生与同事，相处20年之久，曾是亚历山大青少年时代的老师。公元前335年他成立了自己的吕园学派，又称为逍遥学派（因为他喜欢在林荫道上边散步边讲学）。他在这里讲学达13年之久。他的著作甚丰，他没专门写过关于数学的书，但在许多地方讨论过数学，并用数学说明他的一些观点。第19页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三亚里士多德与吕园学派的数学成就亚里士多德——堪称逻辑学之父，形式逻辑中的四条基本规律（除充足理由律由莱布尼茨提出），三段论他重视抽象概念、抽象思维，对数学、物理的一些基本概念有着深远的影响，他指出数及几何形状是实物的属性他把形式逻辑运用于数学推理，对某些几何定理给出了逻辑证明，他认识到，逻辑论证要有逻辑起点第20页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三

亚里士多德的名言

“吾爱吾师，吾尤爱真理！”

正是这样，亚里士多德在柏拉图的演绎系统的基础上，创立了形式逻辑和三段论。也正是这样，他批判并摈弃了柏拉图的“理念论”，认为那是徒劳无益的虚构，他和德谟克利特一样，认为自然界、物质世界是真正的认识的对象，首先是经验、感觉的源泉。那些引起感觉的东西在人的意识之外的物质世界之中。列宁指出了亚里士多德这一论点的唯物主义性质。对亚里士多德来说，“真理”是他追求和崇拜的更崇高的目标。第21页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三§2亚历山大时期公元前４世纪末，希腊北部的马其顿王国势力日盛，很快控制了整个希腊。公元前336年马其顿国王亚历山大挂帅远征，历经13年，征服了埃及和近东，往东远及印度，往南乃至尼罗河上游，建立起亚历山大帝国。公元前323年亚历山大战死后，经过内部的一系列战争，亚历山大帝国分裂为三部分：马其顿、埃及、西亚。第22页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三以亚历山大城为中心的埃及部分成为托勒密王朝，其统治者在公元前200年左右在亚历山大城修建了一个学术中心——艺术宫。以上从亚历山大远征到公元前146年罗马灭亡希腊为亚历山大前期。其后期，指罗马帝国统治地中海区域到公元641年——阿拉伯人占据亚历山大城，罗马帝国灭亡为止。前后两期延续千余年之久。第23页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三

数学与哲学分离这个时期的特点是，几何学明显地与哲学分离而独立，而且日益与力学、天文学、光学、声学、实用算术、测地学相结合。正如克莱因所指出那样：“亚历山大时期的数学同哲学分离了，同工程结合了。”第24页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三

三大数学家欧几里得（Euclid，公元前330——前275）阿波罗尼斯（Apollonius，公元前261——前170）阿基米德（Archimedes，公元前287——前212）前两者概括和提高了古典时期的理论成就，而后者的著作和发明是亚历山大时期的典型代表。还有一些数学家：海伦、梅内劳斯、帕普斯、古代著名女数学家希帕蒂娅(Hypatia，公元370——415)第25页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三古希腊女数学家希帕蒂娅古代著名女数学家希帕蒂娅(Hypatia，公元370——415)，历史上第一位杰出的女数学家，其父为塞翁。她曾注释过阿基米德、阿波罗尼斯和丢番图的著作。公元415年，被基督教暴徒残酷杀害。第26页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三１、欧几里得和《几何原本》欧几里得在公元前300年左右，受托勒密王的邀请，在亚历山大城从事教学工作。他是一个温良、敦厚的教育家。他曾受教于柏拉图的“雅典学院”，深知柏拉图学派的几何学。第27页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三欧几里得欧几里得（Euclid）:欧几里得生平简历不详。根据有限的记载推断，他早年曾就学于雅典，在柏拉图学院经受过数学训练。在托勒密王延聘天下英才之际，应邀来到亚历山大。第28页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三

《几何原本》《几何原本》为欧几里得著《几何原本》的手稿现已无存，赛翁父女整理现在的《初等几何》是《几何原本》的改写本它的伟大意义在于它是用公理化法建立起演绎数学的最早的、最成功的典范。正因如此，古希腊可以当之无愧地称作“几何学之母”。《几何原本》在我国最早的译本是1607年利玛窦与徐光启合译的前六卷及1857年伟烈亚力与李善兰合译的后九卷。（15卷本）第29页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三第30页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三２、阿波罗尼斯及其《圆锥曲线论》阿波罗尼斯青年时代去亚历山大城，从欧几里得那里学习数学。据目前所知道的材料，他嗣后居住在亚历山大城和当地数学家合作研究。他的主要著作是关于圆锥曲线的，但也写过其他著作。第31页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三

《圆锥曲线论》阿波罗尼斯著《圆锥曲线论》，这是一个不朽的丰碑，也是希腊几何登峰造极之作，使后人几乎没插足之余地。由于它是用纯几何方法而非坐标几何其难度很大。《圆锥曲线论》共8篇，487个命题。第32页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三３、阿基米德——“数学之神”阿基米德生于叙拉古（今意大利西西里岛的一个地方），是一位天文学家的儿子，早年曾在亚历山大城学习，后来回到家乡并在那里度过余年，但他始终与亚历山大城保持联系，他具有惊人的创造力和熟练的计算技巧。第33页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三阿基米德的数学成就数学史上三大数学家：牛顿、高斯、阿基米德罗马时代的数学史家普列尼曾称他为“数学之神”1、他在机械制造方面有不少发明，在力学方面他发现了杠杆原理和“阿基米德原理”，“尤里卡”奖2、他在数学方面有卓越的贡献，走到了微积分的边缘3、大数的表示：他曾估计，宇宙半径为1光年，假定一颗罂粟壳可以容下1万粒砂子，那么填满宇宙所需的的砂粒数为1063。他的著作中里确实用过这样的数字。第34页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三有关阿基米德的事迹及传说1、叙拉古国王的金王冠2、杠杆原理---支点——60公斤之躯、抬起地球1毫米、力臂端点移动10000光年！3、“不要弄坏我的图！”4、马塞拉斯为阿基米德建陵墓，墓碑上有根据其遗愿刻下他认为体现自然的美妙和谐的有名定理：第35页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三有关阿基米德的事迹及传说（续）命题33：球面积=大圆面积的四倍。命题34：以球的大圆为底、球直径为高的圆柱体体积=球体积，其表面积=球面积。5、阿基米德早于海伦得出三角形的面积公式：

第36页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三4、古希腊和罗马帝国数学的衰退公元前３世纪初，罗马控制了希腊西部的意大利半岛，经过一百多年的“布匿战争”同时又打败了马其顿人，成立了罗马帝国．公元前146年，希腊全部灭亡于罗马帝国。罗马文化虽然也有一定成就，但却逐步衰退了。其原因是多方面的。第37页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三古希腊和罗马帝国数学衰退原因外部因素：1、罗马人热衷扩张他们的政治势力，并不热心传播他们的文化，歧视数学，视数学为异端2、“坑儒”——迫害数学家3、焚书4、公元529年，东罗马王封闭所有希腊学校第38页，讲稿共43页，2023年5月2日，星期三古希腊和罗马帝国数学衰退原因内部