第一章5.1二项式定理

--§5二项式定理5.1二项式定理.．2式..．.中,项？0答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指Cn，C错误，…,C错误!,它只与各项的项数有关,而与,b的值无关，而项的系数是0指该项中除变量外的常数部,它不仅与各项的项数有关而且也与ab的值有关．2二项n与n展开式中第r？答

n第为C，nｂｎｂ

为错误１.二项式定理n（a+n＝C０n+C错误a-１＋…＋C错误n－r＋…C错误!bn这个公式n就称为二项式定.２．二项式定理的有关概念1式在(a＋b）n＝C错误!aｎ+C错误!n－1bC错误!an－2+…＋C错误!an－rb+Ｃ错误bn中，右边的项式叫作(a＋bn的二项展开式.(2二项展式的项----ｂｂ在二项展开中,C＼ｏ＼al(r,nn－rr叫作二项展开式的通项，用示，即通项为展开式的第r＋１项.

T表＋１Ｔr+1=错误an-rbr(其中0≤r≤n，r∈N,n∈N+)．此公式也称为二项展开式的通项公.Ｔ３二项式系数r在展开式,每一项Ｃ错误a－ｂ的系数Ｃ错误称为二项式系.r要点一二项式定理的正用、逆用例1（1求３x+错误４的展开;2简(１)5+５(x－）4+10－１)３1０(1２（x－)．解(1)法一(3x+错误!C错误!(3错误!)４C错误!3错误!3·错误!＋C错误!（2误错误误·(误错误误=81２1０8x+５4+f(12)+错误．法二3x＋错误）4＝错误!＝f(1２（1４+083＋５42＋121）ｆ=12＋108x＋5４+＼(１２,)+错误.ｆ! !（2C错误（x-)5＋C错误（－4+Ｃ错误１)3+C错误(１! !+Ｃ错误-1)+错误－1=[(－１＋1]５-1=5－1.规方法运用二式理开项式,要记准开的项式对较杂的二项式，有时先化简再展开更简捷;要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．----跟踪练１(1)展开2x+错误6;（2)化简:１＋２C错误+C错误…2nＣ错误．ｒ解(１（２＼(）错误）6=错误（2＋1６ｒ!!26Ｃ错误错误错误错误）!!26x３=643+192２+401６0＋60+f(2,2）＋1.x３x(2原式＝1２C错误22错误+…+2nC错误＝(1+n=3n.要点二二项展开式通项的应用例2若(错误+错误n展开式中前三项系数等差数列,求：（1）展开中含x的一次项；２展开式中的所有有理项．解即得＝8,或n＝1（去)．误误误误令4错误r＝１，得r4.ｘ所以x的一为T5=C４，82-4x＝错误!.ｘ３(2令4－４r∈,且0≤r≤8则r＝,4,８所以含x的有理项分别为T1＝ｘ３4，T５＝错误x，９＝错误.规律方法利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型.常见的有求二项展开式中的第项、常数项、含某字母的r次方的项等.其通常解法就是根据通项公式确定Tr1中r或．----跟踪练2已知二项式(x2+错误10.１第5；)求展开式中的常数项．解(１)(2+错误!)10的展开式的第５项为5＝Ｃ!·6·(!4＝２设第r＋１项为常数项，ｒ则ｒ2,…，10,令0-错误r＝0，得r＝８，所以误误第项为常数项，其值错误.要点三二项式定理的应用例3(1用二项式定理证明:34n＋２+521能被４除；（2)求１92除以1０0的余.(1证明＝(14-2n＋１+52+1=142n+1-Ｃ错误!×14２n×5C错误!×12n-１×2－…+Ｃ错误!×1４×n－C错误×52n+1＋2n+1=14（42n－错误×1４２n1×5＋错误×142n2×52…+C错误×52n).１4的被4整除,所以３42＋52n＋１能被4整．9解一91９2=(1０-992＝10０2－C12×1０091×９+2，92×１０0９0×9９２－…-C错误×10×991＋９92１0９9２被0求9２以0的．∵9９2＝(10-１92＝１092错误×1９1+C错误×190-…+错误×1０２-Ｃ错误×1+(１92----＝1092－错误×1０9１错误×190－…错误×1２－９20＋1（192－C错误×１01＋C错误×1９…＋错误×１02－1０００1,∴被0除数为81，即12除以0的为8．法二由９１9２＝（90＋192＝C错误×9０９2+Ｃ错误!×90９1＋…+C错误9０2错误×9+1,可知前面各项均能被100整除只有末尾两项不能被100整除由于C错误×９0＋１＝８２8＝8２00８1故９92以1０0为1．规律方法利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．跟踪演练３求证5-1被7整除.明∵51５1＝9２)１１＝C错误451＋C错误49０×2…＋C错误×4×250+C错误×251-1．∴易知除（C错误×251-１外各项都能７整．又２５1－1=(３）7－（7+11７-１＝C错误×７１7错误×7+…+C错误×7＋C错误1＝７(Ｃ错误７1６＋错误715+…+C错误),显然被7整除，所以(5１51-１)除.1．(1+24=b错误(a，b为有理)，则a＋b等( )A．33．29 C．２3 Ｄ1９答案B----解析∵(1+r（２)）4=1＋错误+12＋８错误＋=1712错误=a+b错误,又∵a，b为有理数,∴a＝17,b＝1２.∴a＋2９.在(1－x5－(1－)6的中,含3的项数（)A．５B5Ｃ.-１０D．10答案D!解析1－5中3数Ｃ错误=0（1-６中3误-1）!3=２0,（1-5-(1－x6的中3为.3３.（2x-25的．3）解先化简再求展开式（2－f(３,22））错误（3)4(-3)＋C错误(４3)３－3）2＋5错误误（5８ｘ＝3２５－12２+f(8０)-f1３5,４＋40７－错误８ｘ1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．２.要牢记错误an-r是式第＋1项不认第项．3.求定必通式一指具求令为特值.一础标１.2６式中x３的系ﻩ ﻩﻩ ﻩ ﻩ ()Ａ20 ﻩ .４0 ﻩ.0 ﻩＤ.160----答案D解析法一设含3的项第＋1项,则6r,得6r３,中３为C３×２3=1６0．6二根的x与2为6,件3按3与3可,则中3为错误×2３＝16．2.(2１·江西(x２-错误5展开式中的常数项为ﻩ ﻩ( ）A0 ﻩ.80 ﻩ Ｃ.0 ﻩ．－4０答案Ｃ解析展开式的通项公式为Tr＋１＝C错误2)5－r（－错误）r=C错误x１０-５rｒ（-.由1-５r＝０，得２,所以常数项为T21=错误－22＝40.3（-＼(2)y）1０的展开式中6y４的数ﻩﻩ ﻩﻩ ( )ｒA．8４0 ﻩ ．-40 ﻩﻩﻩC.21０ －0案AＴr0解析在公式r＋＝C，1（-错误１0-r中,令r=4,（－错误10的展开式中x64项为Ｔr0４（２０3·辽宁)使3＋错误n(n∈N)的展开式中含有常数项的最小的n为( ）A.4 ﻩ5 ﻩﻩﻩC．６ﻩﻩD.7答案B解析为由－错误＝0得n＝错误，所以２,n有最小值５．求3b＋2a６展式第3项的数为___＿___为_＿_＿.案４0 １5----6．2０·四理)二项式＋5的展开式中，含x2y3的项的系数是__＿＿＿_用数字作答.答案１０解析设二项式(ｘ＋ｙ)5的展开式的通项公式为Tｒ+1,则Tｒ+1=＼aｌ(,5)５ryr,令r3,含２3的是C错误１0.7.已知在(r)＋f(22))ｎ的展开式中,第５项的系数与第3项的系数之比为5∶3，求展开式中的常数项．解５＝错误错误n-4２4x１6Ｃ错误错误，T3＝C错误(错误）n22２x-4=４错误错误.由题意知错误错误，解得n=10．1Tr+1=r0(r())10－rr－２r＝2C错误错误，1令错误＝0,解＝２，∴展开式中的常数项为C＼ｏ＼l(２,0)22＝1８0．升.设S=（－1）3＋3（x1）２３(,则S等于ﻩ ﻩ( )Ａ－ ﻩ ．x-2）3 ﻩﻩＣ.3 ﻩD.＋1）3答案C! !3解析S=Ｃ错误1）+C错误（x-12×1+C错误（x-1×12+C错误×13=! !3－１)+]3＝x,故选.·新课标Ⅱ)已知(１a(１＋5的展开式中ｘ２的系数为５,则a等于( ）A.4 ．３ C．-2 D.-1答案D解析（１+ax）(1＋x）5的中2的为C错误＋a·Ｃ错误5解----得a－1．１0．对于二项式(错误3)n∈),有以下四种判断：①存在∈Ｎ＊，展开式中有常数项；②对任意n∈N,展开式中没有常数项；③对任意n∈N*,展开式中没有在n∈Ｎ*,有x的一案①④析二式(错误３n的展开式的通项公式为Tr+1=错误4r－n由通项公式可知，当n＝4r(r∈N和n4r-1（r∈Ｎ＊)时，展开式中分别存在常数项和一次项．1１.(错误＋错误n展开式第９项与第1０项二项式系数相,求的一次项系数．解C错误＝错误,＝1,Tr+1＝Ｃ错误错误·2·－错误,∴错误－错误=１,∴＝9，∴T１0＝错误·4·２９·x-3C错误２9·x,其一项系为C错误2.1１.在(2２－n的展开中第9项为数项,求：1１（1n的值；（2）开中5数;(3含的整数次幂的项的个数．）解已知二项展开式的通项Tr+1=错误(错误2 n-r·(－错误))r(错误)n-rC）错误2n－错误r．１因为第9项为常数项，即当r8时２n-（5,２０,解得＝1.(2令2－f52）r＝5,得r＝f(2,５（2５)＝6，以5的系（-1（错误)4错误＝错误．----（3）要使2n－错误r,即错误为整数，只需r为偶数，由于r0,1,2，…,０,故有6第13，5,7,9,１１项.三、探究与创新n13.已知(x)=(1＋2x)＋(1+4x）(m,n∈N＊)的展开式中含x项的系数为