北师大初一数学《整式的乘法》基础提高巩固练习、知识讲解

【巩固练习】

一.选择题

1.下列算式中正确的是().

A.3a3-2a°=6abB.2d•4*5=8f

C.3x-3x4=9x4D.5/-5/=10y14

2.(•毕节市)下列运算正确的是()

A.-2(a+b)=-2a+2bB.(a2)3=a5C.a3+4a=-^-a3D.3a2*2a3=6a5

4

3.(秋•白云区期末)下列计算正确的是()

A.x(x2-x-1)=x，-x-1B.ab(a+b)-a'+b'

C.3x(x"-2x-1)=3x3-6x?-3xD.-2x(xJ-x-l)=-2x-2x'+2x

4.已知(2x+l)(x—3)=2f—3,那么加的值为().

A.-2B.2C.-5D.5

5.要使x(x+a)+3x—»=f+5x+4成立，则a,8的值分别是().

A.a=—2,b——2B.a=2,b-2

C.a=2,b=—2D.a=-2,b=2

6.设M=(x-3)(x—7),N=(x-2)(x-8),则M与N的关系为().

A.M<NB.M>NC.M=ND.不能确定

二.填空题

7.已知三角形的底边为(6a—2加，高是(―28+6a),则三角形的面积是.

8.计算：①(x+2)(x+3)=；②(x+3)(x+7)=；

@(x+7)(x-10)=；®(x-5)(x-6)=

9.(•瑶海区一模)计算：lx2y(2x+4y)=

2

10.x(y-z)-y(x-z)+z(x-y)=.

11.(•江都市模拟)若化简(ax+3y)(x-y)的结果中不含xy项，则a的值为.

12.若孙=2,x+y=3,则(x+l)(y+l)=.

三.解答题

13.(春•邳州市期末)当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个

等式.例如,由图1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b\

(1)由图2,可得等式：.

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：

已知a+b+c=l1,ab+bc+ac=38,求a'+b'c'的值；

(3)利用图3中的纸片(足够多)，画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a?+5ab+2b2二

(2a+b)(a+2b)；

(4)小明用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长

方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为.

abb

aba

bb

4b

bba

图1图3

14.解下列各方程.

(1)2y(y+1)-y(3y-2)+2y2=y2-2

(2)5(x"+x—3)—4x(6+x)+x(—x+4)—0

15.化简求值:

(1)x+—»其中x=-4.

(2)(2厂—x+1)—X(3"3—4x?+2x)，其中x=-1.

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】B；

【解析】3。3-2。2=6/；3X-3X4=9X5；5y7-5y7=25y14.

2.【答案】D；

【解析】A、原式=-2a-2b,错误；B、原式=a6,错误：

C、原式不能合并，错误；D、原式=6a5,正确.

3.【答案】C；

【解析】解：A,x(x,：-x-1)=x3-x2-x,故此选项错误；

B、ab(a+b)=a2b+ab2,故此选项错误;

C、3x(x2-2x-1)=3x3-6x2-3x,故此选项正确；

1)、-2x(x2-x-1)2X3+2X2+2X,故此选项错误；

故选：C.

4.【答案】D；

【解析】(2x+l)(x-3)=2x2—5^-3=2^-mx-3,所以加=5.

5.【答案】C；

【解析】由题意。+3=5,—»=4,所以a=2,b=-2.

6.【答案】B；

【解析】M=f—10x+21,N=f-10x+16,所以M>N.

二.填空题

7.【答案】一12。。+18。一+%~；

8.【答案】X2+5x+6;x?+10x+21;x~-3x-70;X?—]£+30.

9.【答案】x3y+2x2y2；

10.【答案】0；

【解析】原式=町-xz-肛+yz+xz-yz=O.

11.【答案】3；

【解析】解：(ax+3y)(x-y)=ax2+(3-a)xy-3y2,

含xy的项系数是3-a,

•展开式中不含xy的项，

3-a=0,

解得a=3.

故答案为：3.

12.【答案】6；

【解析】原式=町+》+丁+1=2+3+1=6.

三.解答题

13•【解析】

解:(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

(2)Va+b+c=ll,ab+bc+ac=38,

/.a2+b2+c2=(a+b+c)J-2(ab+ac+bc)=121-76=45；

(3)如图所示:

(4)根据题意得:2a、5ab+3b2=(2a+3b)(a+b),

则较长的一边为2a+3b.

14.【解析】

解：(1)2y2+2y-3y2+2y+2y2=y2-2.

4y=-2,

(2)5x?+5x—15—24x—4x^—+4x—0.

-15x=15,

x=-l.

15•【解析】

解：(])原式=-X•-XX'—I—,一XH———X+—X——

2332

111O

当尤=一4时，原式=—X(T)2——=4——=32.

4999

(2)原式=6/_3/+3尤2—3丁+4%3_2%2=3/+/+%2

当x=_]时，原式=3X(_1)4+(_1)3+(-1)2=3_]+1=3.

整式的乘法(基础)

责编：杜少波

【学习目标】

1.会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算.

2.掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.

【要点梳理】

【高清课堂397531整式的乘法知识要点】

要点一、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有

的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.

要点诠释：(1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数基的乘法法则的综合

应用.

(2)单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系

数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相

同字母相乘，是同底数基的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计

算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的

一个因式.

(3)运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.

(4)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.

要点二、单项式与多项式相乘的运算法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

即m(a+b+c)=ma+mb+me.

要点诠释：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为

多个单项式乘单项式的问题.

(2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.

(3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，

同时还要注意单项式的符号.

(4)对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到

最简的结果.

要点三、多项式与多项式相乘的运算法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得

的积相加.即=

要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于

两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的

二项式相乘：(x+a)(x+b)=f+(a+b)x+a匕.

【典型例题】

类型一、单项式与单项式相乘

【高清课堂397531整式的乘法例1】

1,计算：

(1)3加•[一；/〃).2abc；

(2)(-2x"+[y")・(-3盯)(-gdz)；

(3)-6m2n-(%-y)3~m/72-(j—x)2.

【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第(3)题应把x-y与y-x分别

看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算.

【答案与解析】

解：(1)3。/2abe

=3x|--|x2(a-a2a)(b2・bb)c

1I3)」

--2a4h4c.

(2)(—2x"+iy"),(-3xy),—x2zj

=(—2)x(—3)x1—gl(x,,+l-x•x2)(/-y)z

=-3xn+4/+1z.

(3)-6m2n-(x-y)3-mrr-{y—x)1

=-6in1n-(x-y)3•^mn2-(x-y)2

=(-6)x^j(m2•m)(n-n2)[(x-y)3•(x-y)2]

=-2m3n3(x-y)5.

【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉.

举一反三：

【变式】(•甘肃模拟)计•算：2滔(-2mn)•(-ImV).

2

【答案】解：2m2*(-2mn)•(--lm2n3)

2

二[2X(-2)X(--1)](n/xmnXm2n$)

2

54

=2omn.

类型二、单项式与多项式相乘

—ab2-2ab+—b

33

(2)(-gxy+"|y2―/卜一6孙2)；

（3）（|/+小0.6/）［一#〃

【答案与解析】

解：（1）［—5，仍）［1a/?—-2a/?+耳/?）

=(一+1_gaZ?](_2aZ?)+1_gaZ?)(6

222

=Aa^+ab--ab.

33

⑵1一g盯+12_/卜6个b

I、3

--xy\(-(>xy2)+-y2•(-6xy2)+(-x2)(-6xy2)

=2x2y3-9xy4+6x3y2.

(3)f-|a2+a/7-0.6b2^--^a2/?2^=^-1tz2+ab-^b2>^-^a2b2

=-2aV--aV+-aV.

35

【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“+”或“一”号看

作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“+”号连结，最后写成省略加号的代数和.

举一反三:

【变式1】2m2n(6-m4n)+--m3n

【答案】

解：原式=12川〃一2m2+72+3)

[,7

=12m2n-2m('n2+—m6n2=12〃，〃——in"rr.

44

【变式2】若〃为自然数，试说明整式〃(2〃+1)-2〃(〃一1)的值一定是3的倍数.

【答案】

解：〃(2〃+1)—=2n2+n-2n2+2n=3n

因为3〃能被3整除，所以整式“(2〃+1)—2〃(〃—1)的值一定是3的倍数.

类型三、多项式与多项式相乘

^^3、计算：

(1)(3a+2b)(4a—5b)；

(2)(x-l)(x+l)(x2+l)；

(3)(a+b)(a—2b)—(a+2Z?)(a—h)；

(4)5x(+2x+1)—(2x+3)(x—5).

【答案与解析】

解：(1)(3。+2份(4。-5〃)=12a2—15ah+Sab—10h2=12a2-lab-{Oh2.

(2)(x-l)(x+l)(x2+1)=(x2+x—九-1)(/+1)=x4-1.

(3)(a+/?)(〃一2/?)—(a+2Z?)(Q—〃)=—cib—2b~)—(t?"+cib—2Z?~)

=ci"—cih—2Z?~—/—ab+2b。=-2cib.

(4)5光(厂+2x+1)—(2x+3)(x—5)

=(5x3+10X2+5X)-(2X2-7X-15)

=5x+1Ox~+5x—2x?+7x+15

-5尤3+8》2+12x+15.

【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，

刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：(1)每一项的

符号不能弄错；(2)不能漏乘任何一项.

4、(春•长春校级期末)若(x+a)(x+2)=x2-5x+b,贝!]a+b的值是多少？

【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出

a、b的值，计算即可.

【答案与解析】

解：(x+a)(x+2)=x2+(a+2)x+2a,

则a+2=-5,2a=b»

解得，a=-7,b=-14,

则a+b=-21.

【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式

相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

举一反三：

【变式】求出使(3%+2)(3x-4)>9(x-2)(%+3)成立的非负整数解.

【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解.

解：9%2—12x+6x-8>9(%2+元—6),

9厂—6x—8>9x2+9x—54,

9%2—6x—9l2—9x>8—54,

—15x>-46，

：.x取非负整数为0,1,2,3.

【巩固练习】

一.选择题

1.(•台湾)计算(2x2-4)(2x-1-当）的结果，与下列哪一个式子相同？（）

2

A.-X2+2B.X3+4C.x3-4x+4D.x3-2x2-2x+4

2.下列各题中，计算正确的是().

662\3/2\399

A.(-，(一〃2)=/nn(—mF)l-mnj=—mn

C.(一/〃%)(-加〃之)--m9n8D.[(-J??『(一〃2)]=-加84

3.如果/与一2y2的和为小，i+y2与—2/的差为〃，那么2m-4〃化简后为（）

A.-6x2-8y2-4B.1Ox"-8y2—4

C.-6x2-8y2+4D.10X2-8/+4

4.如图，用代数式表示阴影部分面积为（)・

A.abB.ac+bc

C.ac+9-D.(Q-C)(Z?-C)

5.结果是V—Kx+IG的式子是（）.

A.(x+4)(x+2)2B.(x+4)(x2-x+2)

C.(i—4)(公+1+2)D.(x+4)(x-2)~

6.已知：2a2+2b2=3,则工/。+2匕的值为(

6Z-4Z?-4=0,)

1

A.-lB.OC.-D.l

2

二.填空题

7.已知加+2n=0,则n?+2/〃〃（/〃+〃）+4〃3—8=.

8.（春•无锡校级期中）如果（x+l）（x2-2ax+a2）的乘积中不含x?项，则a=.

9.（4/一2/丁一3盯2+5/）（2/_3孙+3/）之积中含丁丁项的系数为.

10.（春•莘县期末）若（am+ibn+2）•（a2nlb2n）=a5b3,则m+n的值为.

11.观察下列各式：

(x-y)(x+y)=x-/；

(x-y)(x2+孙+y2)=d_/3；

(x-y)，+Yy+孙2+/3)=丁一54；

(x-J)(X4+X2y2+孙3+y4)=x5-y5

根据这些式子的规律，归纳得到：

(X-y)(x"T+x"-2y+x"-3y2+...........+孙"-2+y"T)=

262w2

12.把(x-x+1)展开后得a}2x[+<2]^"+awx+.+a2x+atx+a0,则

al2+aw+as+a6+a4+a2+aQ=

三.解答题

13.(春•聊城校级月考)计算

(1)(-2a2b)2.(^)3

3

(2)已知a』2,an=3,求a2m+3n的值.

14.先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际

上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：

(2a+b)(a+Z?)=2a2+3ab+b2<就可以用图1的面积关系来说明*

①根据图2写出一个等式；

②已知等式：(x+p4x+q)=%2+(〃+4)》+四，请你画出一个相应的几何图形加

以说明.

I

-

!■.*

G—

―

-►

方

t-

15.已知卜2+〃x+8)(》2_3%+4)的展开式中不含/和x'项，求〃、夕的值.

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】D；

【解析】(2X2-4)(2x-1-—x)=(27-4)(―%-|)=/-2X2-2x+4.故选：D.

22

2.【答案】D；

【解析】（-，/）（—“I=—，〃6〃6；（-加％）=〃『〃9；

（一〃，〃）2（一/加）=—m'ns.

3.【答案】A；

【解析】x2-2y2=m,\+y2+2x2-n,

2m-4n=2x2-4/-4-4y2-8x2=-6x2-8/-4

4.【答案】C；

【解析】阴影部分面积为次?一(a-c)(。一c)="一向+。。+》。一。2=ac+c(b-c).

5.【答案】D；

【解析】(X+4)(X—2)2=(X+4乂幺_/+4)

=x3-4x2+4x2+4x-16x+16=x3-12x+16

6.【答案】A；

【解析】两式相减得2〃+40=—1,将Y=4人+4代入,。％+2匕得

2

-（4b+4）b+2b^2b2+4b^-l.

二.填空题

7.【答案】一8；

【解析】nr'+2mn（m+〃）+4n3-8=m3+2m2ft+2"M+4/-8

2

=m(m+2〃)+2n之(m+2n)-8=-8

8.【答案】工

2

【解析】解：原式=x3-2ax2+a2x+x2-2ax+a2

=x3+(1-2a)x2+(a2-2a)x+a2,

・・,不含x2项,

.\1-2a=0,

解得a」，

2

故答案为：1.

2

9.【答案】12；

【解析】用多项式的乘法展开式子，得项的系数为12.

10.【答案】目；

3

【解析】已知等式整理得：am，2nhin'2=a5b\可得《，解得：加二士”=上

[3/1+2=333

则m+/7=-lA,故答案为：❷

33.

11.【答案】xn-/；

12.【答案】365；

10

【解析】-x+】)6展开后得aHrQ+auTU+oKjX+……+o2x'+olx+a0

♦••当x=l时,(/—x+1)=出o+%]+/+...+%+出+/=3①；

当x=-l时,1'-x+1)=a。-a”+/+—.+%-%+%=3*=729，②

.,.①+②=2(4口+aw+③+4+。4+%+4)=730,

.,.出+%+/+/+的+陶=365.

三.解答题

13.【解析】

解：⑴原式=4a4b2•鸟3b3

27

=邃37b5；

27

(2)a2,n+3n

mn3

=(a)2.(a)

=4x27

=108.

14.【解析】

解：@(2«+/?)(«+2/?)=2a2+5ah+2h2

②如图所示：

±

7

X

1

15.【解析】

解：(x?+px+8)(x2-3x+q)

=x4—3x3+qx2+px3—3px2+pqx+Sx2-24x+8q

=x4+(p—3)x^+(q—3p+8)x"+pqx—24x+8q

因为展开式中不含f和/项，

所以p-3=0,q-3p+S=Q

解得p=3,q=l.

整式的乘法(提高)

责编：杜少波

【学习目标】

1.会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算.

2.掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.

【要点梳理】

【高清课堂397531整式的乘法知识要点】

要点一、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有

的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.

要点诠释：(1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幕的乘法法则的综合

应用.

(2)单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系

数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相

同字母相乘，是同底数幕的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计

算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的

一个因式.

(3)运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.

(4)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.

要点二、单项式与多项式相乘的运算法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

即m(a+Z?+c)=ma+mb+me.

要点诠释：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为

多个单项式乘单项式的问题.

(2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.

(3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，

同时还要注意单项式的符号.

(4)对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到

最简的结果.

要点三、多项式与多项式相乘的运算法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得

的积相加.即+=am+an+bm+bn.

要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于

两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的

二项式相乘：(x+a)(x+b)=+(a+。)x+a。.

【典型例题】

【高清课堂397531整式的乘法例1]

类型一、单项式与单项式相乘

1、计算:

(1)(-2x"+l/)-(-3Ay)|-1x2zj

(2)5a3b•(—3/?)2+(—6Q〃)~•(—ab)—ab~・(—4a)“.

【答案与解析】

解:(1)(―2x〃”y").(―3xy)(—/fz)

=(-2)x(-3)x„(%,,+l-x-x2)(/-y)-z

=-3xn+4/+lz

(2)5a•(—3i>)2+(—6o/？)~•(—cib)—cib^•(―4a)1

=5a3b.9b2+36a2b2.(-ab)-ab3•16a2

=45aV-36«V-16«3ZJ3=-laV.

【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺

序，有同类项，必须合并.

类型二、单项式与多项式相乘

【高清课堂397531整式的乘法例2】

^^2、计算：

(1)x(x-2)-2x(x4-1)-3x(x-5)

(2)2a(a~+3。—2)-3(/+2。~—a+1)

【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进行化简.

【答案与解析】

解：(1)x{x—2)-2x(x+1)—3x(x-5)

=%2+x•(—2)+(―2x)•x+(―2x)+(―3x)x+(-3x)(-5)

=—2x—2x”—2x—3x?+15x=-4x~+1lx.

(2)2a(a~+3。-2)-3(/+2a