北师大初一数学《一元一次方程的解法》基础提高巩固练习、知识讲解

【巩固练习】

一、选择题

1.(春•唐河县期末)方程|2x-1|=2的解是()

A.x=2B.x=--C.x=a或x=-AD.x=-l

22222

2.下列解方程的过程中，移项错误的是().

A.方程2x+6=-3变形为2x=-3+6

B.方程2x-6=-3变形为2x=-3+6

C.方程3x=4-x变形为3x+x=4

D.方程4-x=3x变形为x+3x=4

3.方程=L的解是（）.

43

143

A.x=12B.x=—C.x=一D.x=—

1234

4.对方程2(2x-l)-(x-3)=l,去括号正确的是().

A.4xT-x-3=lB.4xT-x+3=lC.4x-2-x-3=lD.4x-2-x+3=l

5.方程3—0可变形为().

2

A.3-x-l=0B.6-x-l=0C.6-x+l=0D.6-x+l=2

6.3x-12的值与-•!•互为倒数，则x的值为().

3

A.3B.-3C.5D.-5

7.(•株洲)在解方程三二L+xMU寸，方程两边同时乘以6,去分母后，正确的是()

32

A.2x-l+6x=3(3x+l)B.2(x-1)+6x=3(3x+l)

C.2(x-1)+x=3(3x+l)D.(x-1)+x=3(x+1)

8.某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能

灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有().

A.54盏B.55盏C.56盏D.57盏

二、填空题

9.(1)方程2x+3=3x-2,利用______可变形为2x-3x=-2-3,这种变形叫________.

⑵方程-3x=5,利用把方程两边都,把x的系数化为1,得x=

10.方程2x-kx+l=5x~2的解是x=7,k的值是.

11.(秋•铜陵期末)如果|a+3|=l,那么a二.

12.(春•南江县校级月考)在解方程史L-在二三=2时，去分母得.

46

13.在有理数范围内定义一种运算“※”，其规则为aXb=a-b.根据这个规则，求方程(x-2)

X1=0的解为.

14.一列长为150m的火车，以15m/s的速度通过600m的隧道，则这列火车完全通过此隧道

所需时间是s.

三、解答题

15.解下列方程：

(1)4(2x-l)-3(5x+2)=3(2-x)；

0.lx-0.2x+l

(3)----------------=3.

0.020.5

16.(春•宜阳县期中)当k取何值时，关于x的方程2(2x-3)=1-2乂和8-1t=2(x+i)

6

的解相同？

17.小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为3V三4-1」=1-r^4-—•，

55

他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是!，于是他把被污染了的数字求出来了，请

4

你把小明的计算过程写出来.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C.

【解析】由题意，2x7=2,或2x7=-2,解这两个方程得：x=V,或x=-工

22

2.【答案】A

【解析】A中移项未改变符号.

3.【答案】C

【解析】系数化为1,两边同乘以4即可.

4.【答案】D

【解析】A中，去掉第1个括号时第二项漏乘，去掉第2个括号时，-3没变号；B中，

去掉第1个括号时第二项漏乘；C中，去掉第2个括号时，-3没变号.

5.【答案】C

【解析】A中，去分母时3没有乘以2,-1没变号；B中，去分母时T没变号；D中，等

号右边0乘以2应是0,而不应是2.

6.【答案】A

【解析】-3x-12与一,互为倒数，所以3x-12=-3,x=3.

3

7.【答案】B

【解析】解：方程两边同时乘以6得：2(x-1)+6x=3(3x+l),

故选B.

8.【答案】B

【解析】设有x盏，则有(x-l)个灯距，由题意可得：36(106-1)=70*-1),解得：

x—55.

二、填空题

9.【答案】(1)等式性质1,移项；(2)等式性质2,除以-3,--

3

10.【答案】k=-6

【解析】将x=—1代入得：—2+后+1=—5—2,解得：k=-6.

11.【答案】-2或-4.

【解析】V|a+3|=l,，a+3=l或a+3=-1,；.a=-2或-4.

12.【答案】3(x+1)-2(2x-3)=24.

【解析】解：方程两边都乘以12,去分母得，3(x+1)-2(2x-3)=24.

故答案为：3(x+1)-2(2x-3)=24.

13.【答案】x=3

【解析】根据规则得：x-2-l=0,x=3.

14.【答案】50

600+150

【解析】--------------=50(秒).

15

三、解答题

15.【解析】

解：(l)8x-4-15x-6=6-3x

8xT5x+3x=6+4+6

-4x=16

x=-4

,.1—xx—2

(2)x---------=3----------

23

6x-3(l-x)=18-2(x-2)

llx=25

25

x-一

11

103-20-10V-1Q^3,约分得：5xT0-(2x+2)=3,去括号得

⑶原方程可化为:

25

5x-10-2x-2=3,移项及合并，得3x=15,系数化为1,得x=5.

16.【解析】

解2(2x-3)=1-2x,得

XY—_-7，

6

把x=_Z代入8-k=2(x+i),得

66

8-k=2(I+J),

66

解得k=4,

当k=4时，关于x的方程2(2x-3)=1-2x和8-k=2(x+—)的解相同.

6

17.【解析】

解：将尤=J■代入，得:

4

3x—+1—+•

4=1-4_

55

解得：・=3.

所以被污染的数字为3.

元一次方程的解法(基础)知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据;

2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想;

3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.

【要点梳理】

要点一、解一元一次方程的一般步骤

变形名称具体做法注意事项

(1)不要漏乘不含分母的项

,八也在方程两边都乘以各分母的最小公倍

去分母(2)分子是一个整体的，去分母后应加

上括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括(1)不要漏乘括号里的项

去括号

号(2)不要弄错符号

把含有未知数的项都移到方程的一边，

(1)移项要变号

移项其他项都移到方程的另一边(记住移项

(2)不要丢项

要变号)

合并同类

把方程化成ax=b(aWO)的形式字母及其指数不变

项

在方程两边都除以未知数的系数a,得

系数化成

到方程的解x=2.不要把分子、分母写颠倒

1

a

要点诠释:

(1)解方程时，表中有些变形步骤可能用不到,而且也不一定要按照自上而下的顺序，有

些步骤可以合并简化.

(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再

去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆.

要点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是

绝对值的意义.

要点诠释：此类问题一般先把方程化为|方+可=。的形式，再分类讨论：

(1)当c<0时，无解；(2)当c=0时，原方程化为：ax+h=O；(3)当c>0时，原方程

可化为：ax^b=c^ax+b=-c.

2.含字母的一元一次方程

此类方程一般先化为最简形式ax=b,再分三种情况分类讨论：

b

(1)当a70时，x=一；(2)当a=0,b=OH寸，x为任意有理数；(3)当a=0,b¥OEI寸,

方程无解.

【典型例题】

类型一、解较简单的一元一次方程

▼1.(•广州)解方程：5x=3(x-4)

【答案与解析】

解：方程去括号得：5x=3x-12,

移项合并得：2x=-12,

解得：x=-6.

【总结升华】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：

(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)

放在等式的右边.

(2)合并：即通过合并将方程化为ax=b(aWO)的形式.

(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a,即得方程的解x=2.

a

举一反三：

【变式】下列方程变形正确的是().

A.由2x-3=-x-4,得2x+x=-4-3

B.由x+3=2-4x,得5x=5

23

C.由——x=—,得x=T

32

D.由3=x_2,得-*=-2-3

【答案】D

类型二、去括号解一元一次方程

【高清课堂：一元一次方程的解法388407去括号解一元一次方程】

02.解方程：

(1)2(2x+l)=10x+7(2)3-2(x+l)=2(x—3)

【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1,从而解出方程.

【答案与解析】(1)去括号得：4x+2=10x+7

移项合并得：-6x=5

解得：元=一»

6

(2)去括号得：3—2x—2=2x—6

移项合并得：-4x=-7

解得：x=L7

4

【总结升华】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面

是各项均变号.

举一反三：

【变式】解方程：5(x-5)+2x=-4.

【答案】解：去括号得：5x-25+2x=-4.

移项合并得：7x=21.

解得：x=3.

类型三、解含分母的一元一次方程

03.(春•新乡期末)解方程空二工-2=叟坦.

32

【思路点拨】方程按照去分母，去括号，移项合并同类项，把x系数化为1的步骤，即可求

出解.

【答案与解析】

解：去分母得：2(2x-l)-12=3(3x+2),

去括号得：4x-2-12=9x+6,

移项合并得：5x=-20,

解得:x=-4.

【总结升华】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知

数系数化为1,求出解.

举一反三：

【变式】(•岳池县模拟)解方程：x+县史二2-二1巨

234

【答案】解:去分母得：12x+30=24x-8-3x+24,

移项合并得：-9x=-14,

解得：x=M.

9

类型四、解较复杂的一元一次方程

x0.17-0.2%

解方程:

050X)3-

【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误.

【答案与解析】原方程可以化成：--17~20X^l.

73

去分母，得:30x-7(17-20x)=21.

去括号、移项、合并同类项，得：170x=140.

系数化成1,得：x=—.

17

【总结升华】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使

分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数要区分开.

@^5.解方程：匕l)]=2(x-l)

223

【答案与解析】

11122

解法1:先去小括号得：一(X--x+-)=-x一一

22233

111

XX+-22

再去中括号得:2--4-4-—x——

511

移项，合并得:—x=----

1212

系数化为1,得：x=U

5

14

解法2：两边均乘以2,去中括号得：x--(x-l)=-(x-l)

去小括号，并移项合并得：—2》=—1,解得：x=U

665

112

解法3：原方程可化为：-[(x-l)+l--(x-l)]=-(x-l)

1112

去中括号，得](工一口+耳一10―l)=](x—1)

移项、合并，得—』(x—1)=—工

122

解得x=U

5

【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，

但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便.例如本题的方法3：方程

左、右两边都含(x-D,因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整

体运算.

举一反三：

32x

【变式】-F(--l)-2]-x=2

234

【答案】

x3

解：去中括号得：(一一l)--x2-x=2

42

去小括号，移项合并得：一己3尤=6,解得x=-8

4

类型五、解含绝对值的方程

6解方程|x|-2=0

【答案与解析】

解：原方程可化为：W=2

当x20时，得x=2,

当xVO时，得一x=2,即，x=-2.

所以原方程的解是x=2或x=-2.

【总结升华】此类问题一般先把方程化为|以|=匕的形式，再根据4X的正负分类讨论，注意

不要漏解.

【巩固练习】

一、选择题

1.（秋•榆阳区校级期末）关于X的方程3x+5=0与3x+3k=l的解相同，则1<=（）

44

A.-2B.-C.21）.--

33

2.下列说法正确的是（）.

A.由7x=4x-3移项得7x-4x=-3

B.由生」=1+三口去分母得2（2x-l）=l+3（x-3）

32

C.由2（2x_l）_3（x_3）=1去括号得4x-2-3x-9=4

D.由2（x-l）=x+7移项合并同类项得x=5

3.将方程22r-—1-土x-」1=1去分母得到方程6x-3-2x-2=6,其错误的原因是（）.

23

A.分母的最小公倍数找错

B.去分母时，漏乘了分母为1的项

C.去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误

D.去分母时，分子未乘相应的数

4.解方程“一5己x—3、0=7,较简便的是（）.

5（4）

A.先去分母B.先去括号C.先两边都除以上4D.先两边都乘以上4

55

5.小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：

2y—；=怎么办呢？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是y=|,

于是小明很快补上了这个常数，并迅速完成了作业.同学们，你们能补出这个常数吗?它应

是（）.

A.1B.2C.3D.4

6.（春•龙海市期中）已知aWl,则关于x的方程（a-1）x=l-a的解是（）

A.x=0B.x=lC.x=-1D.无解

7.“△”表示一种运算符号，其意义是。幼=2。一力，若必（1A3）=2,则x等于（）.

A.1B.—C.—D.2

22

8.关于x的方程（3机+8〃）x+7=0无解，则加〃是（）.

A.正数B.非正数C.负数D.非负数

二、填空题

9.已知方程|x|=2,那么方程的解是.

10.当x=时，x一上上的值等于2.

3

11.已知关于X的方程的3巳a—x=x—+3解是4,则（一。）2-2。=.

22

12.若关于x的方程ax+3=4x+l的解为正整数，则整数a的值是.

13.（秋•高新区校级期末）如果5x+3与-2x+9是互为相反数，则x-2的值是,

b,,24

14.a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算:=ad-be,那么当=18

d1—x5

时，则x=______.

三、解答题

15.(春•宜宾校级月考)解方程：

(1)5x+3(2-x)=8

(2)2x-1=]_x+2

43

(3)0.5x+0.9+x-5_0.01+0.02x

~07530.03

(4)l[x-1(x-1)]=2(x-1)

223

16.解关于x的方程：

(1)4x+b—ax-S；(2)(m—1)%=(m—l)(m—2)(3)(m—l)(m—2)%=m—1

17.(•裕华区模拟)定义一种新运算“㊉"：a®b=a-2b,比如：26(-3)=2-2X(-

3)=2+6=8.

(1)求(-3)㊉2的值；

(2)若(x-3)㊉(x+1)=1,求x的值.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C.

【解析】解第一个方程得：x=-

3

解第二个方程得：x-匕巫

3

•.•-l--3--k--_—-5-

33

解得：k=2.

2.【答案】A

2r-1r-3

【解析】由7x=4x-3移项得7x-4x=-3；B.二」=1+土上去分母得2(2xT)=

32

6+3(x-3)；C.把2(2xT)-3(x-3)=l去括号得4x-2-3x+9=l；D.2(xT)=x+7,

2x-2=x+7,2x-x=7+2,x=9

3.【答案】C

2x—1x—1

【解析】把方程一----------=1去分母，得3(2x-l)-2(x-l)=6,6x-3-2x+2=6与

23

6x-3-2x-2=6相比较，很显然是符号上的错误.

4.【答案】B

【解析】因为士4与士5互为倒数，所以去括号它们的积为1.

54

5.【答案】B

【解析】设被污染的方程的常数为k,则方程为2y-；=+k,把y=|代入方程得

---=-+k,移项得一4=2+2一3，合并同类项得-k=-2,系数化为1

326623

得k=2,故选B.

6.【答案】C

【解析】解：•••aWl,

.".在(a-1)x=l-a中，x=———,

a-1

又：a-1和1-a互为相反数，

x=-1.

故选C.

7.【答案】B

【解析】由题意可得：“△”表示2倍的第一个数减去第二个数，由此可得：

1A3=2*1—3=—1,而xA(lA3)=必(―1)=2x+1=2,解得：X=(

8.【答案】B

【解析】原方程可化为：(3m+8〃)》=-7,将“3根+8〃”看作整体，只有3机+8〃=0

时原方程才无解，由此可得加，〃均为零或一正一负，所以根〃的值应为非正数.

二、填空

9.【答案】X]=2,9=-2

10.【答案】x=3-

2

11.【答案】24

34

【解析】把x=4代入方程，得一a—4=—+3,解得a=6,从而(-a)?-2a=24.

22

12.【答案】2或3

2

【解析】由题意，求出方程的解为：QC—4x=l—3,(a—4)x=—2,x=------,因

a-4

为解为正整数，所以a—4=—1或—2,即。=2或3.

13.【答案】-6.

【解析】由题意得：5x+3+(-2x+9)=0,

解得：x=-4,

.*.x-2=-6.

14.【答案】3

【解析】由题意，得2X5-4(l-x)=18,解得x=3.

三、解答题

15.【解析】

解：(1)去括号得：5x+6-3x=8,

移项合并得：2x=2,

解得：x=l；

(2)去分母得：3(2x-1)=12-4(x+2),

去括号得：6x-3=12-4x-8,

移项合并得：10x=7,

解得:x=0.7；

(3)方程整理得：5X+9+£££=1+2X,

533

去分母得：15x+27+5x-25=5+1Ox,

移项合并得：10x=3,

解得:x=0.3；

(4)去括号得：—X-—(x-1)=—(x-1),

243

去分母得：6x-3(x-1)=8(x-1),

去括号得：6x-3x+3=8x-8,

移项合并得：5x=ll,

解得：x=2.2.

16.【解析】

解：(1)原方程可化为：(a—4)x=〃+8

1Q

当。工4时，方程有唯一解：工=上工2；

a-4

当。=4,bw—8时，方程无解；

当。=4,h=—8时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解.

(2)(m—l)x=(m—l)(m-2)

当根一IwO,即〃zwl时，方程有唯一的解：x=m—2.

当m一1=0,即加=1时，原方程变为0・x=0.原方程的解为任意有理数，即有无穷

多解.

(3)(m—l)(/n—2)x=m-l

当mW1,〃2W2时，原方程有唯一解：x=-----；

m-2

当加=1时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解；

当加=2时，原方程无解.

17•【解析】

解：(1)根据题中的新定义得：原式=-3-4=-7；

(2)已知等式变形得：x-3-2(x+1)=1,

去括号得：x-3-2x-2=1,

移项合并得：-x=6,

解得：x=-6.

元一次方程的解法(提高)知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

4.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据;

5.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想;

6.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.

【要点梳理】

要点一、解一元一次方程的一般步骤

变形名称具体做法注意事项

(1)不要漏乘不含分母的项

,八也在方程两边都乘以各分母的最小公倍

去分母(2)分子是一个整体的，去分母后应加

上括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括(1)不要漏乘括号里的项

去括号

号(2)不要弄错符号

把含有未知数的项都移到方程的一边，

(1)移项要变号

移项其他项都移到方程的另一边(记住移项

(2)不要丢项

要变号)

合并同类

把方程化成ax=b(aWO)的形式字母及其指数不变

项

在方程两边都除以未知数的系数a,得

系数化成

到方程的解x=2.不要把分子、分母写颠倒

1

a

要点诠释:

(1)解方程时，表中有些变形步骤可能用不到,而且也不一定要按照自上而下的顺序，有

些步骤可以合并简化.

(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.

(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再

去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆.

要点二、解特殊的一元一次方程

1.含绝对值的一元一次方程

解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是

绝对值的意义.

要点诠释：此类问题一般先把方程化为|方+可=。的形式，再分类讨论：

(1)当c<0时，无解；(2)当c=0时，原方程化为：ax+h=O；(3)当c>0时，原方程

可化为：ax^b=c^ax+b=-c.

2.含字母的一元一次方程

此类方程一般先化为最简形式ax=b,再分三种情况分类讨论：

b

(1)当a70时，x=一；(2)当a=0,b=OH寸，x为任意有理数；(3)当a=0,b¥OEI寸,

方程无解.

【典型例题】

类型一、解较简单的一元一次方程

1.（秋•新洲区期末）关于X的方程2x-4=3m和x+2=m有相同的解，则m的值是（）

A.10B.-8C.-10D.8

【答案】B.

【解析】

解：由2x-4=3m得：x=3/4；由x+2=m得：x=m-2

2

由题意知细生m-2

2

解之得：m=-8.

【总结升华】根据题目给出的条件，列出方程组，便可求出未知数.

举一反三：

【变式】下列方程的解法对不对?如果不对，错在哪里?应当怎样改正？

3x+2=7x+5

解：移项得3x+7x=2+5,合并得10x=7.,

7

系数化为1得X=’.

10

【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边

的7x移到方程左边应变为-7x,方程左边的2移到方程右边应变为-2.

正确解法：

解：移项得3x-7x=5-2,合并得-4x=3,系数化为1得%=-23.

4

类型二、去括号解一元一次方程

2.解方程:-1）］=2（尤—1）.

【答案与解析】

11122

解法1:先去小括号得：一［%XH］——X.

22233

11122

再去中括号得：-x--x+-=-x--.

24433

移项，合并得：—9x=—1.

1212

系数化为1,得：x,

5

14

解法2：两边均乘以2,去中括号得：x--（x-l）=-（x-l）.

去小括号，并移项合并得：-2%=—1,解得：x=U.

665

112

解法3：原方程可化为：-［（x-l）+l--（x-l）］=-（%-1）.

1112

去中括号，得一（X—1）H-----（X-1）=—（X—1）.

2243

移项、合并，得—』(x—1)=—

122

解得x=U.

5

【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，

但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便.例如本题的方法3：方程

左、右两边都含(x-D,因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整

体运算.

3.解方程：，!斗-1］一1］一1=0.

212|_2(2)\

【答案与解析】

解法1：(层层去括号)

去中括号，

2［842J

去大括号」l=

16842

移项、合并同类项，得-!-x=",

系数化为1,得x=30.

168

解法2：(层层去分母)

移项，得，J1-[-x-1-1U1.

22212)

移项，得-1)-1=3.

两边都乘2,得—1)—1=6.

移项，得，=两边都乘2,得，x—1=14.

移项，得2％=15,系数化为1,得x=30.

2

【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做.

举一反三：

【变式】解方程-(-X-1|-6+41=1.

2[3|_4(5)J

【答案】

解：方程两边同乘2,#--f-x-11-6+4=2.

3[4(5)」

移项、合并同类项，得;;(1X一,—6