北京市通州区2022-2023学年高三期末考试数学试题及答案

通州区2022—2023学年高三年级摸底考试

数学试卷2023年1月

本试卷共4页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作

答无效。考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题1分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项。

(1)已知集合人=｛]|一2</<1｝,5=｛川0〈1<3〉,则41)5=

(A){x|0<x<l>(B){x|—2VnV3}

(C){x|l<x<3}(D){x|-2<x<0}

(2)等差数列｛4｝中，%+。6=8,。3+4=3,则｛/｝的通项为

(A)5〃-16(B)5w-ll(C)3〃-8(D)3n—5

(3)已知抛物线C：/2=8y,则C的焦点坐标为

(A)(4,0)(B)(0,4)(0(2,0)(D)(0,2)

(4)已知向量a.8满足a+b=(2,—4),3。一6=(-10,16),则a-b等于

(A)-13(B)13(0-29(D)29

⑸设”为正整数,(2，+»的展开式中存在常数项，则n的最小值为

(A)2(B)3(04(D)5

⑹在△ABC中，若。=3"=西,8=合,则a等于

o

(A)^^(B)^^

(C)3A/2(D)2V6

(7)Z>2”是“2"一々一1>0”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(8)已知半径为1的圆经过点(2,3),则其圆心到直线3z-4y-4=0距离的最大值为

(A)l(B)2(03(D)4

高三数学试卷第1页(共4页)

（9）要制作一个容积为2167t（cm：'）的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省,则圆柱的高和

底面半径应分别为

（A）6cm»6cm（B）6y/2cm,3显cm

（C）67?cm,3泞cm（D）8cm,373cm

（10）设点P（ny）是曲线C：/+J=i+Ey|上任意一点，则点p到原点距离的最大值、最小值

分别为

（A）最大值最小值乎（B）最大值々，最小值1

（C）最大值2,最小值喀（D）最大值2,最小值1

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）复数z=f的共扼复数2=

（12）若双曲线4一1=1（。>0">0）的一条渐近线的倾斜角为60°,则该双曲线的离心率等于

ab

In

（13）已知函数/（工）=1，若函数/（工）存在最大值，则a的取值范围为.

—,x>a

x

（14）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于

齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下

等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺

序，则田忌获胜的概率为;若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌

获胜的概率为.

（15）已知数列｛a,｝的前〃项和为S.（S,#0）,7”为数列｛S"的前〃项积，满足

S,+T“=S"•T"（”eN'）,给出下列四个结论：

①①=2；②％=③｛T,｝为等差数列；④5=中.

Tl\LtJlk/fl

其中所有正确结论的序号是.

高三数学试卷第2页（共4页）

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

已知函数/（z）=sin23_r+2cosZ3H（3>0）的最小正周期为兀

（I）求3的值；

（口）把y=/（z）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向

右平移合个单位，得到函数y=g（W的图象，求函数*（工）的单调递增区间.

0

（17）（本小题14分）

如图.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD,平

面ABCD.AB=2,AD=AP=^,M.N分别是BC,PD的中点.

（I）求证:MN〃平面PABf

（II）再从条件①,条件②两个中选择一个作为已知，

求平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值.

条件①:AD^MN；

条件②:AM=AN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

（18）（本小题13分）

为了解A、B两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得A

平台问卷100份，B平台问卷80份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数

分别为：5分、3分、1分，数据统计如下：

好评（5分）中评（3分）差评（1分）

A平台75205

B平台6488

假设用频率估计概率，且买家对A,B平台的满意度评价相互独立.

（I）估计买家对A平台的评价不是差评的概率；

（II）从所有在A平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在B平台购物的买家中随机抽取2人,

估计这4人中恰有2人给出好评的概率；

（ffl）根据上述数据，你若购物，选择A、B哪个平台？说明理由.

高三数学试卷第3页（共4页）

（19）（本小题15分）

已知椭圆C：4+g=l（a>6>0）的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4,离心率为

ab/

（I）求椭圆C的方程；

（n）设P是椭圆c上不同于A,B的一点，直线PA.PB与直线工=4分别交于点M.N.试判断

以MN为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

（20）（本小题15分）

已知函数/（比）=冷静.

（I）当a=0时,求曲线y=/（z）在点（0,/（0））处的切线方程；

（II）求函数八幻的单调区间；

（111）当函数/（l）存在极小值时，求证：函数/（工）的极小值一定小于0.

（21）（本小题15分）

约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m（mW0）除得的商正好是整数而没有余

数，我们就称a为机的倍数，称m为a的约数.

设正整数。共有k个正约数，即为ax,如，…，-1,aA（al<a2<—<a4）.

（I）当4=4时，若正整数。的A个正约数构成等比数列,请写出一个a的值；

（II）当上>4时，若%—%，%一生，…,4一。…构成等比数列，求正整数

（HI）记A=a1a2+a2a3+…+生］4，求证：AV〃’.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

高三数学试卷第4页（共4页）

通州区2022—2023学年高三年级摸底考试

数学参考答案及评分标准2023年1月

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

答案BADCBAACCB

二、填空题（共5小题，每小题3分，共25分）

（ll）l-i（12）2（13）Ee.+oo）（14）4-,4-（15）①③④

0Z

说明：（14）题两空前3后2;（15）题全选对5分，漏选3分，其他情况0分。

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题13分）

解：（I）因为/（彳）=sin2ttKr+2cos2sz

=sin2a）jrH-cos2cdJ7+1

=V^sin仅卬彳+孑）+1,

所以/⑺的最小正周期T=^=三.依题意，三=K，解得3=1.................5分

乙3U）U）

（11）/（x）=V2sin^2x+Y）+L

把》=/（z）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到尸”sin（z+£）+l的图象，.............................................7分

再把得到的图象向右平移半个单位，得到尸展sin卜一言）+1的图象，

即g（z）=7?sin（z—恚）+1................................................9分

由函数ksinZ的单调递增区间为［2薪一会,2石元+$］（狂2）.................10分

由24n一尊42&K+3,得2石4一雪4^4244+条......................12分

乙1乙乙•1乙1.乙

所以/（工）的单调递增区间为［2批一捐,2批+修］&ez）.....................13分

（17）（本小题14分）

解：（I）取AP中点E,连接EN,BE.

因为N为PD中点,所以有EN〃AD且EN=5AD.

因为BM〃AD,BM=/AD,所以EN〃BM且EN=BM.

高三数学参考答案及评分标准第1页（共5页）

所以四边形BMNE为平行四边形.

所以BE//MN.

又因为MNU平面PAB,BEU平面PAB,

所以MN〃平面PAB.............................................................................................................4分

([I)选择条件①;

因为平面PADJ_平面ABCD,ABCD为矩形

所以AB,平面PAD.

所以ABJ_PA.

又因为AD-LMN,由(1)可知BE〃MN,BEU平面PAB,

所以ADJ_BE,又因为AD_LAB,ABC\BE=B,

所以AD,平面PAB.

所以PA±AD.........................................................................................................................8分

以A为原点，以AB,AD,AP分别为？轴、y轴、z轴建立坐标系，则A(0,0,0),M(2,2,0),

N(0,2,2),

则同宓=(2,2,0),万芮=(0,2,2),设面AMN的法向量”=(H,‘,Z),

\n-A必=2z+2y=0

In・AI^=2z+2y=0

令y=l,则〃=(一1,1,一1),...............................................................................................12分

因为APJ_平面ABC。，

则平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值|cos〈n,舒〉|=义=呼.............14分

4733

选择条件②:AM=AN.

因为平面ABCDJ_平面PAD,ABCD为矩形

所以有AB,平面PAD.

所以AB±PA.

又因为AM=AN,

取AD中点为G,连接MG，NG,

则有MG=AG=2,NG/7PA.

所以△ANG'Z\AMG.

所以NAGM=NAGN=90°

所以PA±AD.........................................................................................................................8分

以A为原点，以AB,AD,AP分别为z轴、y轴、z轴建立坐标系，则A(O,O,O),M(2,2,O),

N(0,2,2),

则碗=(2,2,0),互符=(0,2,2),设面AMN的法向量”=(才,y,z),

\n•A/\J=2x+2v=0

则《—►，

\n•AN=2z+2y=0

令y=l,则〃=(—1,1,—D,

则平面AMN与平面ABCD夹角的余弦值Icos5,河＞|=冬=呼.............14分

4乃3

高三数学参考答案及评分标准第2页(共5页)

（18）（本小题13分）

解：（1）设“买家对A平台的评价不是差评”为事件C,则

（2）设“这4人中恰有2人给出好评”为事件D,由已知数据估计,买家在A平台好评的概率

芸=,，买家在B平台好评的概率寡=高,。事件包含:A平台2个好评,B平台。个好

评;A平台1个好评,B平台1个好评;A平台0个好评,B平台2个好评.

P（D）=（4）（1-4）+c4（i-4）c4（i-4）+（i-4）（4）

45444'5545

（3）设一位买家对A平台的满意度评分为X,一位买家对B平台的满意度评分为Y,

X531Y531

P0.750.20.05P0.80.10.1

则EX=4.4,EY=4.4.DX=1.24,DY=1.64.

从买家对两个平台满意度得分看两个平台均分相等，但DXVDY.

所以选择A平台...........................................................13分

注：

1.若在均值相等的条件下，没有计算方差，只从好评率高的角度选择B平台，不扣分

2.若在均值相等的条件下，没有计算方差，只从差评率低的角度选择A平台，不扣分；

3.若没有计算均值和方差，只从好评率、差评率的角度选择A,B平台给2分.

（19）（本小题15分）

2a=4,

解:（1）由题设，伯C=/1，

,a2=b2+c2.

a=2,

解得v6=^3»

c=l.

22

所以求椭圆C的方程为亍+[=1............................................5分

（U）设P（相，〃）（加^±2）,可知3加+4/=12................................6分

依题意可知,AP的直线方程为y=f（z+2）,

Tn-rZ

BP的直线方程为y2）..........................................8分

m—2

令z=4,可得M=（4,-^）,N（4,-^）....................................10分

根十，m-L

假设以MN为直径的圆过定点，不妨设定点为Q（z。，％）

依题意可知，MQLNQ,所以函•而5=0....................................11分

高三数学参考答案及评分标准第3页（共5页）

血•丽=(4一4，%-^7^)•(x0—4,^0—^-^2)

2

28mn—872.12w

=(x0—4)+J；O

因为3m?+4〃2=12,

所以丽。•N5=（4—4）2+就一包？一到九—9.

因为M@•N匕=0,

所以（①0-4）2+就一■―誓％—9=0・..........................................................................13分

TYI-4

令.=0,可得（10—4）2=9,解得4=1,々=7・..............................................................14分

所以以MN为直径的圆过定点（1,0）,（7,0）...................................................................15分

（20）（本小题15分）

解：（I）当a=0,f（z）=,至,V，则/（0）=0,

（•T十1）

因为/（工）=-2x+2

0+1)3

所以/(0)=2.

所以曲线y=/（z）在（0,0）的切线方程为y=2x..............................................................4分

（U）函数定义域为{川2/一1}............................................................................................5分

_(-2z+2a+2)(z+l)——2(x—a—1)(J+1)

6分

(x+1)4(x+1)4

令r(z)=0,解得:z=a+l...........................................................................................7分

当a+l=-l即。=一2时

,（Z）=一2L2=—2（z+l）=T<o.

（x+l）3（jr+1）3（T+1）2'

所以函数y=/（x）的单调递减区间为（-8,—1）和（一1,+8）,无单调递增区间.

当a+l<-l即aV-2时，

函数y=f（z）的单调递减区间为（一8,。+1）和（-1,+8）,...................................8分

单调递增区间为（a+1,—D.

当0+1>-1即a>-2时，...............................................9分

函数3=八工）的单调递减区间为（一8,—1）和（a+1,+8）,

单调递增区间为...............................................10分

综上所述：

a=-2时，函数y=/（z）的单调递减区间为（—8,—1）和（一1,+8）,无单调递增区间.

a<-2时，函数的单调递减区间为（一8,a+l）和（一1,十8）,单调递增区间为

（a+1,-1）.

a>~2时，函数y=/（z）的单调递减区间为—和（a+1,+8）,单调递增区间为

（—1,a+1）.

（皿）函数定义域为{工|工#一1}.

由题意，函数存在极小值，

高三数学参考答案及评分标准第4页（共5页）

则在极小值点有定义，且在该点左侧函数单调递减，在该点右侧函数单调递增.

........................................................................12分

由（U）可知，当。＜一2时，函数,=/（外在工=々+1处取得极小值.

........................................................................14分

即外外极小值+D==1....................15分

（21）（本小题15分）

（I）存在，比如1,2,4,