一轮复习新人教版小专题(二)共点力平衡的几类典型问题学案

小专题(二)共点力平衡的几类典型问题考点一物体的静态平衡(1)平衡状态:物体静止或做匀速直线运动。(2)平衡条件:F合=0或Fx=0,Fy=0。方法内容合成法物体受三个共点力的作用而平衡,则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等,方向相反分解法物体受三个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的作用效果分解,则其分力和其他两个力满足平衡条件正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用而平衡,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件矢量三角形法对受三个力作用而平衡的物体,将力的矢量图平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形,根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力[例1][单个物体的静态平衡]某同学参加“筷子夹玻璃珠”游戏,如图所示,夹起玻璃珠后,左侧筷子与竖直方向的夹角θ为锐角,右侧筷子竖直,且两筷子始终在同一竖直平面内。保持玻璃珠静止,忽略筷子与玻璃珠间的摩擦,下列说法正确的是(C)解析:由于玻璃珠保持静止,所以两侧筷子对玻璃珠的合力与重力等大反向,故A、B错误;作出玻璃珠的受力示意图如图所示,根据平行四边形定则可知,F2一定大于mg,即左侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃珠的重力大,由于θ未知,右侧筷子对玻璃珠的弹力不一定比玻璃珠的重力大,故C正确,D错误。[例2][多个物体的静态平衡](2022·黑龙江鹤岗月考)如图甲所示,A、B两小球通过两根轻绳连接并悬挂于O点,已知两轻绳OA和AB的长度之比为3∶1,A、B两小球的质量分别为2m和m。现对A、B两小球分别施加水平向右的力F1和水平向左的力F2,两球恰好处于如图乙的位置静止,此时B球恰好在悬点O的正下方,轻绳OA与竖直方向成30°,则(C)1=F21=3F21=2F21=3F2解析:由题意知两轻绳OA和AB的长度之比为3∶1,B球恰好在悬点O的正下方,由几何关系可知,OA与AB垂直;以B球为研究对象,受力示意图如图甲所示,由平衡条件得F2=mgtan(90°-30°)=3mg,以A、B两球整体为研究对象,受力示意图如图乙所示,由平衡条件得F1-F2=3mgtan30°=3mg,可得F1=23mg,即F1=2F2,故C正确。[例3][正交分解法](2023·浙江温州模拟)如图所示,质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上,物体与斜面之间的动摩擦因数为μ,先用平行于斜面的推力F1作用于物体上,使其能沿斜面匀速上滑,若改用水平推力F2作用于物体上,也能使物体沿斜面匀速上滑。则两次的推力之比F1A.cosθ+μsinθ B.cosθ-μsinθC.1+μtanθ D.1-μtanθ解析:物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力分别如图甲、乙所示。将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解,由平衡条件可得F1=mgsinθ+Ff1,FN1=mgcosθ,Ff1=μFN1;F2cosθ=mgsinθ+Ff2,FN2=mgcosθ+F2sinθ;Ff2=μFN2,解得F1=mgsinθ+μmgcosθ,F2=mgsinθ+[例4][矢量三角形法](2022·云南昆明模拟)如图所示,小圆环吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上A处,有一细绳一端拴在小圆环上,另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块。如果小圆环、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计,绳子不可伸长,平衡时弦AB所对的圆心角为α,则两物块的质量之比m1∶m2应为(C)A.cosα2 B.sinC.2sinα2 D.2cos解析:对小圆环受力分析,如图所示,FT2与FN的合力F与FT1大小相等,由矢量三角形与几何三角形相似,可知FT2R=F2Rsinα2,其中FT2=m2g,F=F考点二物体的动态平衡“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力,是动态力,力的大小或方向发生变化,但变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态,所以叫动态平衡。在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。方法步骤解析法(1)列平衡方程得出未知量与已知量的关系表达式。(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况图解法(1)根据已知量的变化情况,画出平行四边形边、角的变化。(2)确定未知量大小、方向的变化相似三角形法(1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形,确定对应边,利用三角形相似知识列出比例式。(2)确定未知量大小的变化情况[例5](多选)如图所示,不计质量的光滑小滑轮用细绳悬挂于墙上O点,跨过滑轮的细绳连接物块甲、乙,甲、乙都处于静止状态。现将物块乙移至C点后,甲、乙仍保持静止,下列说法正确的是(ABD)D.甲、乙静止时,图中α、β、θ三角始终相等解析:对物块甲受力分析可知,细绳的拉力等于物块甲受的重力,当把物块乙移至C点后,细绳与水平方向的夹角变小,但细绳的拉力不变,对物块乙受力分析,受重力、支持力、拉力和静摩擦力,如图所示。根据平衡条件,有FTcosγ=Ff,FTsinγ+FN=mg,由于角γ变小,故乙与水平面间的静摩擦力变大,地面对乙的弹力增大,故A、B正确;对滑轮受力分析,受绳子的拉力FT以及悬于墙上的绳子的拉力F,由于绳子的拉力与甲受到的重力相等且夹角变大,故其合力变小,故墙上的绳子的拉力F也变小,故C错误;由于绳子的拉力大小相等,故合力在角平分线上,故α=β,由几何关系可知α=θ,故α=β=θ,故D正确。[例6][图解法]如图所示,用OA、OB两根轻绳将物体悬于两竖直墙之间,开始时OB绳水平。现保持O点位置不变,改变OB绳长使绳末端由B点缓慢上移至B′点,此时OB′与OA之间的夹角θ<90°。设此过程中OA、OB的拉力分别为FOA、FOB,下列说法正确的是(B)OA逐渐增大OA逐渐减小OB逐渐增大OB逐渐减小解析:以结点O为研究对象,受力分析,根据平衡条件知,两绳的拉力的合力与重力大小相等、方向相反,作出OB绳在三个位置时力的合成图,如图,由图看出,FOA逐渐减小,FOB先减小后增大,当θ=90°时,FOB最小,选项B正确。[例7][图解法的拓展应用](多选)如图所示装置,两根细绳拴住一小球,保持两细绳间的夹角θ=120°不变,若把整个装置在纸面内顺时针缓慢转过90°,则在转动过程中,CA绳的拉力F1、CB绳的拉力F2的大小变化情况是(BCD)1先变小后变大1先变大后变小2一直变小2最终变为零解析:画出小球的受力分析图如图。构建力的矢量三角形,由于这个三角形中重力不变,另两个力间的夹角(180°-θ)保持不变,这类似于圆周角与对应弦长的关系,作初始三角形的外接圆(任意两边的中垂线交点即外接圆圆心),然后让另两个力的交点在圆周上按F1、F2的方向变化规律滑动,力的三角形的外接圆正好是以初态时的F2为直径的圆周,知F1先变大后变小,F2一直变小,最终CA沿竖直方向,此时F1=mg,F2变为零,B、C、D正确,A错误。[例8][相似三角形法](多选)(2022·江苏连云港模拟)如图所示,质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连,B球用长为L的细绳悬挂于O点,A球固定在O点正下方,当小球B平衡时,细绳所受的拉力为FT1,弹簧的弹力为F1;现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧,在其他条件不变的情况下仍使系统平衡,此时细绳所受的拉力为FT2,弹簧的弹力为F2。则下列关于FT1与FT2、F1与F2大小的比较,正确的是(BC)T1>FT2T1=FT21<F21=F2解析:以B为研究对象,分析受力情况,如图所示。由平衡条件可知,弹簧的弹力F和细绳的拉力FT的合力F合与其重力mg大小相等、方向相反,即F合=mg,由三角形相似得mgOA=FAB=FTOB。当弹簧劲度系数变大时,弹簧的压缩量减小,故AB的长度增加,而OB、OA的长度不变,故FT不变,F变大,则FT1=F考点三平衡中的临界、极值问题当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。(1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大或极小。(2)数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。(3)物理分析方法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用图解法进行动态分析,确定最大值与最小值。[例9][临界问题]如图所示,两个完全相同的球,重力大小均为G,两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,一根轻绳两端分别固定在两个球上,在绳的中点施加一个竖直向上的拉力,当绳被拉直后,两段绳间的夹角为α。问当F至少为多大时,两球将会发生滑动?解析:对O点受力分析,如图甲所示,由平衡条件得F1=F2=F2cos对任一球(如右球)受力分析如图乙所示,球发生滑动的临界条件是F2′sinα2=μFN又F2′cosα2+FN=G,F2′=F2联立解得F=2μG答案:2四步法解决临界极值问题[例10][物理分析方法解决极值问题]如图所示,重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上,O、B间的绳子长度是2l,A、B间的绳子长度是l。将一个拉力F作用到小球B上,使三段轻绳都伸直,同时O、A间和A、B间的两段轻绳分别处于竖直和水平方向上,则拉力F的最小值为(A)A.12G B.33G D.解析:对小球A受力分析可知,因O、A间轻绳竖直,则A、B间轻绳上的拉力为0。对小球B受力分析如图所示,则可知当F与O、B间轻绳垂直时F最小,Fmin=Gsinθ,其中sinθ=l2l=12,则Fmin[例11][数学分析法解决极值问题]如图所示,质量为M的木楔倾角为θ,在水平面上保持静止,当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时,它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块,木块能匀速上升,已知木楔在整个过程中始终静止。(1)当α为多大时,F有最小值,求此时α的大小及F的最小值;(2)当α=θ时,木楔对水平面的摩擦力是多大?解析:(1)木块在木楔斜面上匀速下滑时,有mgsinθ=μmgcosθ,解得μ=tanθ。木块在F作用下沿斜面向上匀速运动,有Fcosα=mgsinθ+Ff,Fsinα+FN=mgcosθ,Ff=μFN,解得F=2=2=mgsin2则当α=θ时,F有最小值,为Fmin=mgsin2θ。(2)因为木块及木楔均处于平衡状态,整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力,即Ff′=Fcos(α+θ),当α=θ,即F取最小值mgsin2θ时,Ff′=Fmincos2θ=mgsin2θcos2θ=12答案:(1)θmgsin2θ(2)121.(2022·广东广州三模)如图所示,为一种倾斜放置的装取台球的装置,圆筒底部有一轻质弹簧,每个台球的质量为m,半径为R,圆筒直径略大于台球的直径。当将筒口处台球缓慢取走后,又会冒出一个台球,刚好到达被取走台球的位置。若圆筒与水平面之间的夹角为θ,重力加速度为g,忽略球与筒间的摩擦力,则弹簧的劲度系数k的值为(A)A.mgsinθC.mgcosθ解析:球、筒整体处于平衡状态,受力分析,沿筒方向受力平衡有mgsinθ=ΔF=k·2R,解得k=mgsin2.(2022·广东卷,1)如图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时,连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点,F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小,F1=F2且∠AOB=60°。下列关系式正确的是(D)A.F=F1 B.F=2F1 C.F=3F1 D.F=3F1解析:以结点O为研究对象,进行受力分析,由平衡条件可得F=2F1cos30°=3F1。3.(2022·广东广州阶段检测)元代《王祯农书》记载了戽斗,它是一种小型的人力提水灌田农具,形状像斗,两边有绳,靠两人拉绳牵斗取水,如图所示。忽略绳子质量,人拉绳子的作用点高度不变,绳子长度不变,戽斗处于平衡状态时,两人站得越近,则(B)A.绳子越短、绳子对人的作用力越大B.绳子越长,绳子对人的作用力越大C.绳子越短,绳子对戽斗的作用力越大D.绳子越长,绳子对戽斗的作用力越大解析:戽斗受重力和两个拉力,设拉力与竖直方向的夹角为α,根据平衡条件,有2Fcosα=mg,解得F=mg2cosα。设每边绳子的长度为L,人的手到水面的距离为h,由几何关系可得cosα=4.(多选)如图,物块a、b叠放在斜面上,物块b通过细绳跨过定滑轮与物块c相连,初始时系统处于静止状态。缓慢增大斜面倾角θ,仍保持物块a、b相对斜面静止,忽略绳与滑轮间摩擦,下列说法正确的是(BC)解析:物块b对物块a的作用力与a受到的重力平衡,所以物块b对物块a的作用力不变,A错误;物块a受到的摩擦力为Ff=magsinθ,随着倾角θ增大,物块a受到的摩擦力增大,所以物块a对物块b的摩擦力一定增大,B正确;系统处于平衡状态,所以绳子拉力与重物c受到的重力平衡,C正确;如果开始斜面对b的摩擦力方向向下,则对a、b有(ma+mb)gsinθ+Ff′=mcg,随着倾角θ增大,斜面对物块b的摩擦力先减小再增大,D错误。5.(2023·广东深圳测试)如图所示,一小球被竖直放置的光滑挡板挡在光滑半球面上。现水平向右缓慢地移动挡板,则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止),挡板对小球的支持力F1、半球面对小球的支持力F2的变化情况是(B)1增大,F2减小1增大,F2增大1减小,F2减小1减小,F2增大F2=mgcosθ,小球运动过程中,θ增大,所以F1和F6.(2022·浙江6月选考,10)如图所示,一轻质晒衣架静置于水平地面上,水平横杆与四根相同的斜杆垂直,两斜杆夹角θ=60°。一重为G的物体悬挂在横杆中点,则每根斜杆受到地面的(B)33G334G3解析:根据对称性,四根斜杆对横杆的作用力大小相等,设为F,选择横杆和物体为研究对象,根据平衡条件有4Fcosθ2=G,解得F=36G,故每根斜杆受到地面的作用力也为对某根斜杆受力分析如图,Fsin30°=Ff,解得Ff=3G7.(多选)如图甲所示,一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬,绳的一端固定在较高处的A点,另一端拴在人的腰间C点(重心处)。在人向上攀爬的过程中可以把人简化为图乙所示的物理模型:脚与崖壁接触点为O点,人的重力G全部集中在C点,O到C点可简化为轻杆,AC为轻绳。已知OC长度不变,人向上攀爬过程中的某时刻AOC构成等边三角形,则(BD)B.在此时刻,轻绳对人的拉力大小等于GC.在虚线位置时,轻绳AC承受的拉力更小D.在虚线位置时,OC段承受的压力大小不变解析:轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对作用力和反作用力,故A错误;重力、轻绳对人的拉力、OC的支持力构成等边三角形,所以轻绳对人的拉力和OC的支持力大小都等于人受到的重力大小G,故B正确;根据相似三角形,有GOA=FNOC8.(2022·广东深圳月考)(多选)建筑工地上,工人用滑轮来提升物体,如图所示,工人的质量为M,物体的质量为m,且M>m,若不计绳与滑轮的摩擦,则当人拉着绳向前跨出一步后,人和物体仍保持静止,则下列说法正确的是(BCD)解析:物体始终处于静止状态,所以绳子对物体的拉力始终等于mg,则人对绳的拉力始终等于mg,A错误;对人受力分析并正交分解如图。由平衡条件得FN+mgsinθ=Mg,Ff=mgcosθ,当人拉着绳向前跨出一步后,θ将变小,所以Ff=mgcosθ会变大;又FN=Mg-mgsinθ,故FN也将变大,C、D正确;地面对人的作用力即摩擦力与支持力的合力,由于Ff和FN都是增大的,所以地面对人的作用力也是增大的,由牛顿第三定律知,人对地面的作用力增大,B正确。9.(多选)如图所示,质量为m=5kg的物体放在水平面上,物体与水平面间的动摩擦因数μ=33,g取10m/s2下列说法正确的是(AD)A.牵引力F的最小值为25N253°°解析:物体受重力mg、支持力FN、摩擦力Ff和拉力F的共同作用,将联立解得F=μmgcosθ+μsinθ,设tan=μ,则cos=11+μ2,所以有F=μmgFmin=μmg1+μ2=25N,tan=μ=33,得=30°,θ=3010.(2022·广东广州阶段检测)如图甲为某种家用双层晾衣篮,可用于晾晒袜子、手套、小玩具等轻小物品或羊毛衫等容易变形的衣物。图中上、下