北京市海淀区2022学年高二数学下学期期中试题理科北师大版含答案

海淀区高二年级第二学期期中练习

数学（理科）

学校班级姓名成绩

本试卷共100分,考试时间90分钟.

一、选择题:本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知向量”=（1,乂-2）/=（2,1"），且。_1），则x的值为（）

A.-1B.0C.11）.2

2.曲线/（幻=」在点（1J⑴）处的切线的倾斜角为（）

X

4.观察下列各等式：55=3125,56=15625,57=78125,则52°尊的末四位数字是

（）

A.3125B.5625C.8125D.0625

5.已知下列命题：

©77-V5<V10-A/2；

②三角形ABC的三个内角满足sinA+sin3>sinC；

③存在等比数列｛a,,｝满足q+%=2在成立.

其中所有正确命题的序号是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

6.若水以恒速(即单位时间内注入的体积相同)注入右图的容器，则

容器中水的高度〃与时间『的函数关系图象是()

7.若函数/0)=*3+。％+/;有三个零点，分别为凡,私了3，且满足玉<1,X2-l,X3〉1,

则实数。的取值范围是O

A.(—00,0)B.(—co,—l)C.(—co,—2)D.(-a>,-3)

8.己知正方体A3CO—A4G2的棱长为1，P是截面

48。内(包括边界)的动点，则GP-GB的值不可能是

()

A.0.9B.1.2

C.1.5D.1.8

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

9.己知三个点—8(2,a,1),0(0,0,0)在同一条直线上，则。=力=

10.若函数y=ar-sinx是R上的单调增函数，则实数。的取值范围___________.

11.由曲线y=f和直线y=2x围成的封闭区域的面积为.

12.如图所示，已知三棱柱A'B'C-ABC的侧棱垂直于底面，

ACLCB,且AC=CB=CC'=2.若点E为A'B'中点，则CE与底

面ABC所成角的余弦值为

13.若函数/。)=。2-3)/,给出下面四个结论：①/(—3)是f(x)的

极大值，/⑴是f(x)的极小值：②/(x)<0的解集为｛x|-6<x<6｝；③/(x)没

有最小值，也没有最大值；④/(X)有最小值，没有最大值，其中正确结论的序号有

14.已知函数〃幻=上，构造如下函数序列=

x+3

其中力(X)=/(X),(X〉0),则力(X)=,函数/,*)的值域为

三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.(本小题共10分)

2

已知函数f(x)=^-x3-lax1+法,其中a,b^R,且曲线y=f(x)在点(0J(0))处的切线

斜率为3.

(I)求〃的值；

(II)若函数f(x)在x=l处取得极大值，求”的值.

16.(本小题共10分)

已知点列4(x〃,0),neN,其中汨=0,X2=a(a>0),4是线段44的中点，4是线段

44的中点，…4是线段4-24-1的中点，….

(1)写出典与王广】、心一2之间的关系式(〃23)；

(II)设a=x〃+i—x〃，计算国，氏，&，由此推测数列｛a｝的通项公式，并加以证明.

17.(本小题共12分)

已知平面AOE/，平面ABCD,其中AOEE为矩形，AB//CD,ABAAD,且

AB=2CD=2DE=4,AD=272,如图所

示.

(I)求证：BE八AC.

(ID求二面角3-CE-。的余弦值；

(III)在线段AF上是否存在点P,使得5P〃

平面ACE,若存在，确定点P的位置，若不存在,

请说明理由.

18.(本小题共12分)

己知函数/(x)=ax2~(a+2)x+Inx.

(I)当。=一2时，判断函数/(x)零点的个数;

(II)求函数/(x)的单调区间.

海淀区高二年级第二学期期中练习

数学(理科)参考答案及评分标准2022.4

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

1.D2.D3.C4.A5.D6.C7.D8.A

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

9.a=-2,b=—10.<7>111.-12.——

233

2

13.©©④14.J；(x)=―-r—；(0,-----)(每空2分)

‘八'13x+273"-1

三、解答题：本大题共4小题，共44分.

15.(本小题满分10分)

解：(I)f'[x}=a2x2-4ax+b............2分

由题意/'(0)=b=3............4分

(II)由函数/(x)在x=l处取得极大值

:.f'(i)=a2-4a+3=0

解得a=l或a=3............6分

①当4=1时，f'(x)-x2-4x+3=(x-l)(x-3)

X1(1,3)3(3,+oo)

f'M+0—0+

/(x)JI极大值极小值/

由上表知，函数/(x)在x=l处取得极大值，符合题意............8分

②当a=3时，f\x)=9/-12A-+3=3(3x-l)(x-1)

X(制)事)1(L+O0)

3

f'M+0—0+

JI

极大值If极小值/

由上表知，函数/(x)在x=l处取得极小值，不符合题意.

综上所述，若函数/(x)在x=l处取得极大值，a的值为1.............10分

16.(本小题满分10分)

解：(I)由题意，当〃23时，X”=g(x,i+5_2)............2分

cia

4分

:.ax=x2-x]=a,a2=x3-x2=--9a3=x4-x3=—

推测为=事............6分

（一，）

方法一

证明：对于任意〃wN*,%=x〃+i一%

«,1+|=七+2一=（（%M+X„）-X„+I=-1uw+l-xn）=~an........-9分

又•％=。＞0;.｛/｝是以。为首项，以-g为公比的等比数列.

故4,="；）"'=（_栋,1............10分

方法二

下面用数学归纳法证明：

①当〃=1时，q=a=a.（—g）i，4=（_；.成

立...................7分

②假设当〃=攵伏21,ZeN）时，成立，即以=心（一31，

则〃=Z+1时，ak+i=xk+2-xk+i=_Xm="J

=_g（4+i_%）=a，（_g）**i，

所以〃=4+1时，a“=―•成立................9分

"（-2）"T

由①②可知，数列｛4｝的通项公式为4=a《—4）"T,〃eN*..........10分

17.（本小题满分12分）

解：（I）证明：平面ADMJ_平面ABCD,交线为4）

由已知可得A尸_L4）且AFu平面ADEF

AF_L平面ABCO..........2分

又ABLAD

所以，有BE=(-4,2板,2),AC=(2,272,0)

BE.AC=(-4,2-J1,2)-(2,2立0)=0

:.BE±AC,:.BE±AC............4分

(II)由已知可得ADJ_CD,ADLOE,

所以平面CEO的一个法向量为6=(0,1,0)............5分

设平面8CE的法向量为％=(x,y,z),则有

w,-BE=0-4x+2>/2y+2z=0一八.人]

--l,不妨令y=1,

n1BC=0-2x+2>J2y=0

所以平面BCE的一个法向量为％=(夜』，及)・..........7分

n.•小V5

cos<n,,n.>=——!——--=——.

5

由已知可得所求二面角3-CE-。的余弦值为-。........................9分

(III)设尸(0,0,z),0<z<2,BP=(-4,0,z)

设平面ACE的法向量为”=(x,y,z),则有

n-AE=0|"2五)'+2z=0,,

.=)厂，不妨令y=i，n则

平面ACE的一个法向量为"=(-&,1,-3),............11分

由8P."=(-4,0,z)•(-夜,1,-夜)=0,解得z=4,不符合题意，

即线段AF上不存在点P,使得3P〃平面ACE............12分

18.(本小题满分12分)

解：(I)f(x)的定义域为(0,+8),............1分

1-4r2

当a=—2时，=............3分

x

(*)]_(g,y)

X

2

fXx)4-0—

/极大值

因为/（；）=—；—ln2<0,所以，此时，在定义域上/（无）<（）,

所以函数/（无）的零点个数为0.....................................6分

(II)/⑶=2奴-(a+2)+L(吐DQx二D,8分

XX

①当a<0时，

]_

X（g，+8）

畤2.....9分

八幻+0—

f(x)

Z极大值②当0<a<2时，

吗）1、

X4，-)（Z一,十8）

22aaa

f'M+0—0+

JI

极大值极小值/

③当a=2