新教材数学苏教版课件1222复数的乘除运算

第2课时复数的乘除运算必备知识·自主学习1.复数乘法的运算法则和运算律(1)复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1z2=(a+bi)(c+di)=_________________.导思1.两个复数怎样进行乘法运算?2.两个复数能直接进行除法运算吗?(ac-bd)+(ad+bc)i(2)复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3∈C,有交换律z1z2=____结合律(z1z2)z3=________乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=________z2z1z1(z2z3)z1z2+z1z3(3)复数的乘方复数的乘方是相同复数的积,即对任何z,z1,z2∈C及m,n∈N*,则有:zmzn=zm+n,（zm）n

=zmn,

.【思考】复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系?提示:复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部和虚部分别合并即可.2.复数除法的运算法则(1)共轭复数的概念如果两个复数满足实部_____,虚部互为_______,那么称这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用__表示.即z=a+bi,则

=_____.相等相反数a-bi(2)复数除法运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),则

(c+di≠0).(3)本质:复数的除法,其实质是分母实数化,即把分子和分母同乘以分母的共轭复数.(4)应用:共轭复数的主要应用是将复数的除法化为乘法运算,也可以单独命题考查.【思考】两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗?提示:若z=a+bi(a,b∈R),则

=a-bi,则z+

=2a∈R.因此,和一定是实数;而z-

=2bi.当b=0时,两共轭复数的差是实数,而当b≠0时,两共轭复数的差是纯虚数.n(n∈N*)的周期性计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方,in(n∈N*)有如下性质:i1=i,i2=-1,i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N*,有i4n=1,i4n+1=i,同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4,n可以推广到整数集.注意:4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期,显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*),因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用或适当变形,创造条件转化为i的计算,一般地,有(1±i)2=±2i,

【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件. ()(2)若z1,z2∈C,且

=0,则z1=z2=0. ()(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,后加减. ()提示:(1)×.两个复数为共轭复数,则它们的模相等;但是两个复数的模相等,复数不一定是共轭复数,如z1=3+4i,z2=4+3i.(2)×.例如当z1=1,z2=i时,

=0,但z1≠0,z2≠0.(3)√.复数的运算法则和实数一样,都是先乘除,后加减.2.(2020·江苏高考)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是________.

【解析】z=(1+i)(2-i)

=3+i,则实部为3.答案:33.(教材二次开发:例题改编)(2-i)÷i=________.

【解析】(2-i)÷i=

=-1-2i.答案:-1-2i关键能力·合作学习类型一复数的乘法运算(数学运算)【题组训练】1.(2019·北京高考)已知复数z=2+i,则z·

= ()A.

B.

2.(1-i)

(1+i)= ()A.1+

i B.-1+

iC.

+i3.(2020·上海高一检测)已知复数(a+3i)(1+2i)是纯虚数,则实数a的值为________.

【解析】1.选·

=(2+i)(2-i)=4-i2=5.2.选B.(1-i)

(1+i)=(1-i)(1+i)

=(1-i2)=2

=-1+

i.3.复数(a+3i)(1+2i)=a-6+(3+2a)i是纯虚数,则a-6=0,3+2a≠0,解得a=6.答案:6【解题策略】复数乘法运算法则的应用(1)复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行运算,注意选用合适的乘法公式进行简便运算.(2)常用公式:(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R)(1±i)2=±2i.【补偿训练】计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(3+4i)(3-4i).【解析】(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.类型二复数的除法运算(数学运算)【典例】(2020·青岛高二检测)已知复数

(1)求z的共轭复数

;(2)若az+b=1-i,求实数a,b的值.【解题策略】两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写成分式;(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数;(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.【跟踪训练】(2020·哈尔滨高二检测)计算下列各式:(1)

(2)

【解析】(1)

(2)

【拓展延伸】ω的性质由方程x3-1=0,得x1=1,

,取ω1=

,ω2=

,则具有如下关系:(1)

(2)1+ω1+ω2=0;(3)

(4)(5)ω1·ω2=1,

(6)ω3n=1,ω3n+1=ω,ω3n+2=ω2.同样地,ω具有周期性,解题时灵活运算,适当变形,巧用ω的性质,从而达到事半功倍的效果.【拓展训练】(2020·上海高二检测)已知ω=-

+

i(i为虚数单位),求:(1)

(2)(3)类比i(i2=-1),探讨ω(ω3=1,ω为虚数)的性质,求ωn

(n∈R)的值.【解析】(1)因为ω=-+i,所以ω2=--i=,ω3=1,ω2+ω+1=0,ω·=1,所以=ω2+4ω3+4ω4+4ω2+4ω3+ω4=5ω2+5ω+8=3.(2)

(3)由(1)可知ω2=--i=,ω3=1,所以ωn=类型三复数乘、除运算的综合应用(数学运算、逻辑推理)

角度1i的乘方的周期性及应用

【典例】计算i1+i2+i3+…+i2020=________.

【思路导引】先利用复数的运算计算i1+i2+i3+i4的值,再根据周期性,计算i1+i2+i3+…+i2020的值.【解析】因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,所以i1+i2+i3+i4=0,所以in+in+1+in+2+in+3

=0(n∈N*),所以i1+i2+i3+…+i2020=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2017+i2018+i2019+i2020)=0.答案:0【变式探究】本例改为计算“

的结果”.【解析】

=(1+2i-i)2-i10=(1+i)2-i10=1+2i.角度2共轭复数的应用

【典例】已知z∈C,

为z的共轭复数,若z·

-3i

=1+3i,求z.【思路导引】设z=a+bi(a,b∈R),则

=a-bi;代入所给等式,利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则

=a-bi(a,b∈R),由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,则有

解得

或所以z=-1或z=-1+3i.【解题策略】 共轭复数的求解与应用(1)若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出

,再进行复数的四则运算.(2)若已知关于z和

的方程,而复数z的代数形式未知,求z,解此类题的常规思路为设z=a+bi(a,b∈R),则

=a-bi,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组)求解.【题组训练】1.复数z=

,则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为 ()A.1 B.-1 【解析】选2==-1,所以ω=-1+1-1+1-1=-1.2.(2019·全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则

= ()【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,得

=-1-2i.3.(2020·蚌埠高二检测)计算

(i是虚数单位).【解析】=i1008+i6=1-1=0.备选类型复数乘、除运算与其他知识的结合(数学运算、逻辑推理)【典例】(2020·新泰高二检测)已知复数z=1-2i(i为虚数单位).(1)若z·z0=2z+z0,求复数z0的共轭复数;(2)若z是关于x的方程x2-mx+5=0一个虚根,求实数m的值.【思路导引】(1)因为z·z0=2z+z0,所以

,求出z0,即可得到z0的共轭复数;(2)将z=1-2i代入方程x2-mx+5=0,根据复数相等可求出实数m的值.【解析】(1)因为z·z0=2z+z0,所以=所以复数z0的共轭复数为2-i.(2)因为z是关于x的方程x2-mx+5=0的一个虚根,所以(1－2i)2-m(1－2i)+5=0即(2-m)+(2m-4)i=0.又因为m是实数,所以m=2.【解题策略】利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题的技巧复数乘除运算可以结合方程、集合等知识综合考查,其关键就是复数的运算.利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题,比如复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.【跟踪训练】(2020·济南高二检测)若

(n=1,2,3,4),则

的所有取值构成的集合为________.

【解析】因为f(n)=

=in+(-i)n=in[1+(-1)n],所以当n=1,3时f(n)=0;当n=2时,f(2)=i2[1+(-1)2]=-2;当n=4时,f(4)=i4[1+(-1)4]=2;故f(n)的所有取值构成的集合为{-2,0,2}.答案:{-2,0,2}1.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)= ()A.-3