第二章弹性力学的基本方程

§2-6弹性力学问题的一般提法§2-7指标表示法§2-8迭加原理§2-9弹性力学问题解的唯一性原理§2-10圣维南原理本文档共74页；当前第1页；编辑于星期三\11点37分§2-1

载荷应力1.外力的表示外力：直接施加在物体上引起物体的变形与内力．根据外力作用区域分为体积力和表面力

本文档共74页；当前第2页；编辑于星期三\11点37分体积力：分布在物体的体积内，作用在物体内的所有质点上，例如重力、惯性力、电磁力等。

本文档共74页；当前第3页；编辑于星期三\11点37分体力矢量表示为：

本文档共74页；当前第4页；编辑于星期三\11点37分表面力：作用在物体表面上的外力，简称面力。例如，液体或气体的压力，固体间的接触力等，通常用面力矢量

本文档共74页；当前第5页；编辑于星期三\11点37分2.应力在载荷的作用下，物体的各部分之间要产生相互作用，这种物体内的一部分对另一部分的相互作用力，称为内力。

本文档共74页；当前第6页；编辑于星期三\11点37分弹性体内一点内力集度表示为：

注意：同一点不同截面上的内力不同．本文档共74页；当前第7页；编辑于星期三\11点37分2.应力分量应力正负号的规定：正面上的应力分量与坐标轴的正方向一致为正，负面上的应力分量与坐标的负方向一致为正；反之为负。

本文档共74页；当前第8页；编辑于星期三\11点37分应力分量：

本文档共74页；当前第9页；编辑于星期三\11点37分1.微元体：首先，在物体内一点P的附近，用三组坐标面的平行平面截出一个微小的平行六面体单元，三条棱边的长度分别为dx、dy、dz，如图2-6示。作用在微元体上的体力的三个分量仍用和表示。

§2-2平衡（运动）微分方程本文档共74页；当前第10页；编辑于星期三\11点37分

本文档共74页；当前第11页；编辑于星期三\11点37分2.力平衡微分方程由得：本文档共74页；当前第12页；编辑于星期三\11点37分又称纳维叶(Navier)方程。本文档共74页；当前第13页；编辑于星期三\11点37分3.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。本文档共74页；当前第14页；编辑于星期三\11点37分3.运动微分方程。如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembert）原理，在体力项中引入惯性力：和这里为材料密度，t为时间。

本文档共74页；当前第15页；编辑于星期三\11点37分运动微分方程：本文档共74页；当前第16页；编辑于星期三\11点37分§2-3斜面应力公式应力边界条件过物体内的一点P取出一个微四面体，设斜面

的面积为dA，则三个负面的面积分别为

本文档共74页；当前第17页；编辑于星期三\11点37分本文档共74页；当前第18页；编辑于星期三\11点37分1.四面体的平衡方程由x方向的平衡条件得：将各面面积代入得：本文档共74页；当前第19页；编辑于星期三\11点37分同理可得：上式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。

本文档共74页；当前第20页；编辑于星期三\11点37分2.斜面上的正应力与剪应力本文档共74页；当前第21页；编辑于星期三\11点37分3.边界条件上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面外法线方向余弦．本文档共74页；当前第22页；编辑于星期三\11点37分§2-4位移几何方程1.位移物体内各点位置的改变量称为位移。

用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三个坐标方向的分量，并规定沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。研究物体位形变化，可以将位移分解成两类：

(1)物体刚体位移(2)物体内质点间相对位移

本文档共74页；当前第23页；编辑于星期三\11点37分2.应变

线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z,和表示，即方向线元的正应变分别用,本文档共74页；当前第24页；编辑于星期三\11点37分本文档共74页；当前第25页；编辑于星期三\11点37分正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y、z直角的变化分和表示，方向三个正交线元别用，，符号规定：正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角的减小为正，反之为负。这种规定与应力的正负规定是一致的。

本文档共74页；当前第26页；编辑于星期三\11点37分３.几何方程几何方程是物体变形过程的位移－应变关系．设弹性体内任一点Ｐ的位移分别为u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),为简化起见，通过投影的变形分析来建立应变－位移关系．本文档共74页；当前第27页；编辑于星期三\11点37分物体变形的位移及在坐标面上投影本文档共74页；当前第28页；编辑于星期三\11点37分以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系本文档共74页；当前第29页；编辑于星期三\11点37分以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变－位移关系本文档共74页；当前第30页；编辑于星期三\11点37分

P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z)和(x,y+dy,z),将Ａ，Ｂ点的位移按Taylor级数在Ｐ点处展开：Ａ点：Ｂ点：本文档共74页；当前第31页；编辑于星期三\11点37分

在小变形条件下：本文档共74页；当前第32页；编辑于星期三\11点37分本文档共74页；当前第33页；编辑于星期三\11点37分在小变形条件下本文档共74页；当前第34页；编辑于星期三\11点37分同例分析平面yoz和平面zox可得：方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程本文档共74页；当前第35页；编辑于星期三\11点37分§2-5广义Hooke定律1.简单应力状态

简单拉压：

纯剪切：

本文档共74页；当前第36页；编辑于星期三\11点37分2.复杂应力状态本文档共74页；当前第37页；编辑于星期三\11点37分3.体积应变

称为体积应变

本文档共74页；当前第38页；编辑于星期三\11点37分4.用应变表示应力同理本文档共74页；当前第39页；编辑于星期三\11点37分令则本文档共74页；当前第40页；编辑于星期三\11点37分于是式中中称为拉梅常数注意：是应变张量分量而不是剪应变分量．上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律

本文档共74页；当前第41页；编辑于星期三\11点37分上式还可进一步写成：本文档共74页；当前第42页；编辑于星期三\11点37分§2-6弹性力学问题的一般提法

我们通过对平衡、几何和物理三个方面的分析建立了弹性力学的全部基本方程，即平衡（运动）微分方程、几何方程和应力-应变关系；本文档共74页；当前第43页；编辑于星期三\11点37分又称纳维叶(Navier)方程。(1)平衡微分方程本文档共74页；当前第44页；编辑于星期三\11点37分运动微分方程：本文档共74页；当前第45页；编辑于星期三\11点37分(2)几何方程方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程本文档共74页；当前第46页；编辑于星期三\11点37分(3)应力-应变关系(本构关系)应力-应变关系(本构关系)本文档共74页；当前第47页；编辑于星期三\11点37分用应变表示的应力-应变关系

三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有15个未知量15个方程，可以求解。

具体弹性力学问题,必须与相应的弹性力学问题,为此需知具体问题的边界条件。本文档共74页；当前第48页；编辑于星期三\11点37分（4）边界条件（ⅰ）应力边界条件（ⅱ）位移边界条件（ⅲ）混合边界条件本文档共74页；当前第49页；编辑于星期三\11点37分§2-7指标表示法

力的分量、应力分量、应变分量和位移分量引用的记号法，是一种公认的表示方法。但有由于控制方程的表示过于冗长，为减少篇幅，在力学等大多数文献中，在理论推导采用指标表示。

1.指标符号

具有相同性质的一组量，可以用一个带下标的字母表示。

本文档共74页；当前第50页；编辑于星期三\11点37分位移分量：

u、v、w可以写成，缩写后为

坐标：x、y、z可以写成

，缩写后为单位基矢量：可以写成，缩写后为应力分量：可以写成缩写后为本文档共74页；当前第51页；编辑于星期三\11点37分应变分量：可用表示由此，向量可表示为在三维笛卡尔空间中，下标用小写英文母表示，并取

在二维笛卡尔空间中，下标用小写希腊字母表示，并取

本文档共74页；当前第52页；编辑于星期三\11点37分三阶线性代数方程组可表示为引用求和记号以后，还可以进一步简写为本文档共74页；当前第53页；编辑于星期三\11点37分2.求和约定于是上式可表示为

在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，这就是爱因斯坦（Einstein）求和约定。

重复指标称为哑指标（或简称哑标）。

式中的i，不是求和指标。非求和指标称为自由指标。

本文档共74页；当前第54页；编辑于星期三\11点37分注意:而3.求导数的简记方法

本文档共74页；当前第55页；编辑于星期三\11点37分例如:本文档共74页；当前第56页；编辑于星期三\11点37分4.克罗内克（Kroneker）符号

定义:于是本文档共74页；当前第57页；编辑于星期三\11点37分(1)具有如下性质：

(2)(3)(4)本文档共74页；当前第58页；编辑于星期三\11点37分5.置换符号

置换符号用表示,定义:

(a)循环序列：i,j,k取不同的值，本文档共74页；当前第59页；编辑于星期三\11点37分(b)逆循环序列：i,j,k取不同的值(c)非循环序列：i,j,k中有两个以上的指标取相同值利用置换符号可以简化公式

（1）行列式本文档共74页；当前第60页；编辑于星期三\11点37分可表示为（2）向量叉积可表示为本文档共74页；当前第61页；编辑于星期三\11点37分当采用指标记法时,弹性力学问题的控制方程（在V内）（1）平衡（运动）微分方程

（2）几何方程：（在V内）（3）应力-应变关系：本文档共74页；当前第62页；编辑于星期三\11点37分（在V内）（在V内）（在V内）（4）边界条件力的边界条件：（在内）

位移边界条件：（在内）本文档共74页；当前第63页；编辑于星期三\11点37分§2-8迭加原理

考虑同一物体两组载荷情况:(在上）(在上)位移第二组:体力（在V内）面力(在上）第一组:体力（在V内）位移面力(在上）本文档共74页；当前第64页；编辑于星期三\11点37分对第一组载荷应有(在V内)(在上）(在上）本文档共74页；当前第65页；编辑于星期三\11点37分对第二组载荷应有(在V内)(在上）(在上）本文档共74页；当前第66页；编辑于星期三\11点37分(在V内)(在上）(在上）将上面两组关系中的对应方程相加得若则(在上）本文档共74页；当前第67页；编辑于星期三\11点37分上式表示在体力及面力作用下,约束位移为弹性力学问题的解为:应力：应变：位移：

对于大变形情况，几何方程将出现二次非线性项，平衡微分方程将受到变形的影响，因而叠加原理不再适用。

对于非线性弹性或弹塑性材料，应力-应变关是非线性的，叠加原理不成立。本文档共74页；当前第68页；编辑于星期三\11点37分§2-9弹性力学问题解的唯一性原理唯一性定理：在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如果物体的整体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。本文档共74页；当前第69页；编辑于星期三\11点37分

证明：