第三章矩阵分析及其应用演示文稿

第三章矩阵分析及其应用演示文稿本文档共78页；当前第1页；编辑于星期三\10点18分（优选）第三章矩阵分析及其应用.本文档共78页；当前第2页；编辑于星期三\10点18分定义设已知矩阵序列，其中，当k→∞，时，称{A(k)}收敛，并称矩阵为{A(k)}的极限，或称{A(k)}收敛于A，记为或不收敛的矩阵序列称为发散。矩阵序列与极限本文档共78页；当前第3页；编辑于星期三\10点18分定理矩阵序列收敛于A的充分必要条件是其中为任意一种矩阵范数。证明取矩阵范数必要性：设那么由定义可知对每一对i,j

都有

本文档共78页；当前第4页；编辑于星期三\10点18分从而有上式即为充分性：设那么对每一对i,j

都有即本文档共78页；当前第5页；编辑于星期三\10点18分故有现在已经证明了定理对于所设的范数成立。如果是另外一种范数，那么由范数的等价性可知这样，当时同样可得因此定理对于任意一种范数都成立。本文档共78页；当前第6页；编辑于星期三\10点18分矩阵序列极限运算的性质。（1）收敛矩阵序列的极限是唯一的。（2）设则（3）设，其中那么（4）设，那么其中（5）设，且,A均可逆，则也收敛，且本文档共78页；当前第7页；编辑于星期三\10点18分证明：（2）（3）（4）（5）本文档共78页；当前第8页；编辑于星期三\10点18分例1若对矩阵A的某一范数，则例2

的充要条件是。证明设A的Jordan标准形本文档共78页；当前第9页；编辑于星期三\10点18分于是显然，的充要条件是又因其中本文档共78页；当前第10页；编辑于星期三\10点18分于是的充要条件是。因此的充要条件是例3设是的相容矩阵范数，则对任意，都有本文档共78页；当前第11页；编辑于星期三\10点18分例4

构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不可逆。解显然每一个均可逆，但是其极限矩阵却不可逆。本文档共78页；当前第12页；编辑于星期三\10点18分定义：设，如果mn个常数项级数都收敛，则称矩阵级数收敛。如果mn个常数项级数都绝对收敛，则称以上矩阵级数绝对收敛。矩阵级数本文档共78页；当前第13页；编辑于星期三\10点18分例如果设，其中那么矩阵级数是收敛的，而且是绝对收敛的。本文档共78页；当前第14页；编辑于星期三\10点18分定理设，则矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是正项级数收敛，其中为任意一种矩阵范数。证明取矩阵范数，那么对每一对i,j

都有因此如果本文档共78页；当前第15页；编辑于星期三\10点18分收敛，则对每一对

i,j

常数项级数都是收敛的，于是矩阵级数绝对收敛。反之，若矩阵级数绝对收敛，则对每一对

i,j

都有本文档共78页；当前第16页；编辑于星期三\10点18分于是根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。本文档共78页；当前第17页；编辑于星期三\10点18分定义设，称形如的矩阵级数为矩阵幂级数。定理设幂级数的收敛半径为R，A为n阶方阵。若，则矩阵幂级数绝对收敛；若，则发散。矩阵幂级数本文档共78页；当前第18页；编辑于星期三\10点18分证明设A的Jordan标准形为其中于是本文档共78页；当前第19页；编辑于星期三\10点18分所以其中本文档共78页；当前第20页；编辑于星期三\10点18分当时，幂级数都是绝对收敛的，故矩阵幂级数绝对收敛。当时，幂级数发散，所以发散。推论矩阵幂级数绝对收敛的充分必要条件是。且其和。本文档共78页；当前第21页；编辑于星期三\10点18分例1

（1）求下面级数的收敛半径（2）设判断矩阵幂级数的敛散性。解设此级数的收敛半径为R，利用公式容易求得此级数的收敛半径为2。而。所以由上面的定理可知矩阵幂级数收敛。本文档共78页；当前第22页；编辑于星期三\10点18分定义：设，一元函数f(z)能够展开成关于z

的幂级数并且该幂级数的收敛半径为R。当矩阵A的谱半径时，我们将收敛的矩阵幂级数矩阵函数的和定义为矩阵函数，一般记为f(A)，即本文档共78页；当前第23页；编辑于星期三\10点18分例：因为当|z|<+∞时，有都是绝对收敛的，因此本文档共78页；当前第24页；编辑于星期三\10点18分都是绝对收敛的，因此可以定义由此可以得到一些简单的结论：本文档共78页；当前第25页；编辑于星期三\10点18分本文档共78页；当前第26页；编辑于星期三\10点18分定理：设，那么当时，我们有证明：首先证明第一个等式本文档共78页；当前第27页；编辑于星期三\10点18分现在证明第二个等式本文档共78页；当前第28页；编辑于星期三\10点18分同样可以证明其余的结论。注意：这里矩阵A

与B

的交换性条件是必不可少的。本文档共78页；当前第29页；编辑于星期三\10点18分例：设那么容易计算并且于是有本文档共78页；当前第30页；编辑于星期三\10点18分故有显然三者互不相等。本文档共78页；当前第31页；编辑于星期三\10点18分当|z|<1时，有设，当时，有本文档共78页；当前第32页；编辑于星期三\10点18分函数在矩阵谱上的值与矩阵函数定义：设，为A

的r个互不相同的特征值，为其最小多项式且有其中如果函数f(x)具有足够高阶的导数并且下列m个值存在，则称函数f(x)在矩阵A的谱上有定义。矩阵函数的计算-待定系数法本文档共78页；当前第33页；编辑于星期三\10点18分例：设又已知容易求得矩阵A的最小多项式为并且所以f(x)

在A的谱上有定义.本文档共78页；当前第34页；编辑于星期三\10点18分但是如果取容易求得矩阵B的最小多项式为显然f(3)不存在，所以在B的谱上无定义。本文档共78页；当前第35页；编辑于星期三\10点18分定理：设函数f(x)与函数g(x)在矩阵A的谱上都有定义，那么f(A)=g(A)的充分必要条件是f(x)与g(x)在A的谱上的值完全相同。设矩阵的最小多项式为其中为矩阵A的r个互异特征值且矩阵函数的计算-待定系数法本文档共78页；当前第36页；编辑于星期三\10点18分

如何寻找多项式p(x)使得p(A)与所求的矩阵函数f(A)完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为m-1次的多项式且满足条件这样，多项式中的系数完全可以通过关系式本文档共78页；当前第37页；编辑于星期三\10点18分确定出来。则我们称为矩阵函数f(A)的多项式表示。本文档共78页；当前第38页；编辑于星期三\10点18分例2

：设求f(A)的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2的多项式且满足本文档共78页；当前第39页；编辑于星期三\10点18分于是有解得所以其多项式表示为本文档共78页；当前第40页；编辑于星期三\10点18分当时，可得于是有当时，可得故有本文档共78页；当前第41页；编辑于星期三\10点18分类似地有本文档共78页；当前第42页；编辑于星期三\10点18分例3

：设求的多项式表示并且计算解：容易观察出该矩阵的最小多项式为这是一个2次多项式，从而存在一个次数为1的多项式且满足本文档共78页；当前第43页；编辑于星期三\10点18分于是有解得所以其多项式表示为当时，可得本文档共78页；当前第44页；编辑于星期三\10点18分当时，可得同样可得本文档共78页；当前第45页；编辑于星期三\10点18分练习：设求的多项式表示并且计算本文档共78页；当前第46页；编辑于星期三\10点18分矩阵函数的计算-相似对角矩阵

设矩阵A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，满足则有本文档共78页；当前第47页；编辑于星期三\10点18分本文档共78页；当前第48页；编辑于星期三\10点18分例：设求解：该矩阵的特征多项式为求得特征值λ1=-2，λ2=λ3=1，对应的特征向量本文档共78页；当前第49页；编辑于星期三\10点18分构造矩阵求得则有本文档共78页；当前第50页；编辑于星期三\10点18分因此有本文档共78页；当前第51页；编辑于星期三\10点18分定理：设，J为矩阵A的Jordan标准形，P为其相似变换矩阵且使得，其中矩阵函数的计算-Jordan标准形法如果函数f(x)在矩阵A的谱上有定义，那么其中本文档共78页；当前第52页；编辑于星期三\10点18分本文档共78页；当前第53页；编辑于星期三\10点18分例1：设求A的Jordan表示并计算.解：首先求出其Jordan标准形矩阵J与相似变换矩阵P.从而的Jordan表示为本文档共78页；当前第54页；编辑于星期三\10点18分当时，可得，从而有本文档共78页；当前第55页；编辑于星期三\10点18分当时，可得，于是有当时，可得，同样可得本文档共78页；当前第56页；编辑于星期三\10点18分矩阵的微分和积分导数定义基本性质其中为标量函数本文档共78页；当前第57页；编辑于星期三\10点18分本文档共78页；当前第58页；编辑于星期三\10点18分如果方阵A(t)的逆矩阵存在，则有于是有本文档共78页；当前第59页；编辑于星期三\10点18分积分基本性质本文档共78页；当前第60页；编辑于星期三\10点18分函数对矩阵的导数定义：设，即：X→f(X)，f(X)∈F，记定义本文档共78页；当前第61页；编辑于星期三\10点18分例1：设，n元函数计算。解：本文档共78页；当前第62页；编辑于星期三\10点18分例2：本文档共78页；当前第63页；编辑于星期三\10点18分例3本文档共78页；当前第64页；编辑于星期三\10点18分例4本文档共78页；当前第65页；编辑于星期三\10点18分

当A是对称矩阵时，即：AT=A，则有本文档共78页；当前第66页；编辑于星期三\10点18分例5：设，一元函数计算。解：本文档共78页；当前第67页；编辑于星期三\10点18分矩阵函数对矩阵的导数矩阵函数的定义本文档共78页；当前第68页；编辑于星期三\10点18分例1：设