二重积分的计算方法

关于二重积分的计算方法第1页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三2本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为累次积分(即两次定积分).二重积分的计算法第2页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三3一、利用直角坐标系计算二重积分(1)

积分区域为：其中函数X－型在区间上连续.二重积分的计算法第3页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三4计算截面面积(红色部分即A(x0))＊二重积分的计算法以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法是区间为曲边的曲边梯形.为底,曲线第4页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三5是区间为底,曲线为曲边的曲边梯形.有:＊二重积分的计算法称为先对y后对x的二次积分(累次积分))(0xA第5页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三6(2)

积分区域为：Y－型先对x后对y的二次积分也即二重积分的计算法其中函数在区间上连续.第6页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三7特殊地注D为矩形域:则a≤x≤b,c≤y≤d二重积分的计算法第7页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三8穿过区域且平行于y轴的直线穿过区域且平行于x轴的直线abdc

计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:X型区域的特点:Y型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点.但可作出适当选择.二重积分的计算法第8页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三9(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.二重积分的计算法第9页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三10例解

积分域既是X型又是Y型法一所围平面闭区域.两曲线的交点二重积分的计算法第10页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三11？先对x后对y的积分法二二重积分的计算法第11页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三12例siny2对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy

分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:二重积分的计算法第12页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三13oxy二重积分的计算法第13页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三14例交换积分次序：解积分区域:原式=二重积分的计算法第14页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三15交换积分次序的步骤(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;二重积分的计算法第15页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三161990年研究生考题,填空,3分解二重积分的计算法练习交换积分次序第16页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三17又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.二重积分的计算法第17页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三18例求证

左边的累次积分中,积分域可表为提示定积分与积分变量的记法无关不能具体计算.所以,是y的抽象函数,证毕.先交换积分次序.二重积分的计算法第18页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三19▲例求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及

解

求所围成的立体的体积.二重积分的计算法?还有别的做法吗第19页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三20二重积分的计算法2002年研究生考题,7分练习计算二重积分其中

解

设第20页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三21解计算积分不能用初等函数表示,先交换积分次序.练习二重积分的计算法第21页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三第22页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三第23页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三第24页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三第25页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例则提示:如图，A设有平面闭区域第26页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例.有一个平面薄片,在

平面上占有区域

其面密度为，求该薄片的质量M。

由于积分区域关于轴，轴都对称，且被积函数关于都是偶函数，根据得解：根据二重积分的物理意义，第27页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例.

计算其中D由所围成.解:

令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束第28页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三2014.3例.设在连续，且证明证明:补区域使其与区域注意到被积函数关于

和

对称，关于直线对称。第29页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例.设为取值恒大于0的连续函数，区域

，与是两个非零常数，则二重积分第30页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三解：由于区域

关于直线对称，可得从而第31页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三32

计算解

积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.原式=记D1为D的y≥0的部分.则D1练习二重积分的计算法第32页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三33二、利用极坐标系计算二重积分

两相邻弧半径平均值.内取圆周上一点其直角坐标则设为二重积分的计算法第33页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三34得即也即极坐标系中的面积元素二重积分的计算法第34页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三35(1)积分区域D:θ二重积分的计算法θ第35页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三36(2)积分区域D(曲边扇形):二重积分的计算法第36页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三37极坐标系下区域的面积(3)积分区域D:

注一般,在极坐标系下计算:θ二重积分的计算法第37页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三38解例写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式,在极坐标系下圆方程为直线方程为二重积分的计算法第38页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三39解a例计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下二重积分的计算法第39页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三40解求反常积分例显然有二重积分的计算法第40页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三41又二重积分的计算法对称性质第41页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三42概率积分夹逼定理即所求反常积分二重积分的计算法第42页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三43解计算所围成的平面闭区域.例及直线二重积分的计算法第43页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三44解双纽线求曲线所围成的图形的面积.例根据对称性有在极坐标系下二重积分的计算法由得交点面积第44页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三45将直角坐标系下累次积分:化为极坐标系下的累次积分.oxy解练习原式=二重积分的计算法第45页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三46解极坐标二重积分的计算法第46页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三47

计算因被积函数D2极坐标例分析故的在积分域内变号.D1二重积分的计算法第47页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三48

二重积分的计算规律再确定交换积分次1.交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2.如被积函数为圆环域时,或积分域为圆域、扇形域、则用极坐标计算;二重积分的计算法第48页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三493.注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函二重积分的计算法第49页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三50例计算

分析从被积函数看,用极坐标系要简单些,但从积分域D的形状看为宜.用却又以直角坐标系在两者不可兼得的情况下,应以D的形状来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系.二重积分的计算法第50页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三51二重积分的计算法第51页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三52▲﹡三、二重积分的换元法设被积函数在区域D上连续,若变换满足如下条件:(1)一对一地变为D上的点;(2)有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式二重积分的计算法第52页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三53▲基本要求

注意变换后定限简便,求积容易．二重积分的计算法第53页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三54▲