二次型正定惯性指数

关于二次型正定惯性指数第1页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三一、用配方法化二次型为标准形第2页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三令第3页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三实对称矩阵A经过非退化线性替换二次型f化为:存在可逆矩阵C,使得第4页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三二、用正交替换化二次型为标准形实对称矩阵A存在正交矩阵Q,使得存在正交矩阵Q,使得

QTAQ=A的所有特征值实对称矩阵A经过正交替换

标准形二次型化为：第5页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例1用正交替换化二次型为标准形,解二次型对应的矩阵为特征值：再将

单位化,得将1,2正交化得并写出所作的线性替换.是正交矩阵第6页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三是正交矩阵经过非退化的线性替换二次型化为第7页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三第8页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例1考虑二次型有称此二次型是正定二次型.相应的矩阵为正定矩阵.设实二次型f(x1,x2,…,xn

)=XTAX(AT=A),如果对任何则称二次型

A称为正定矩阵.是正定二次型.X=(x1,x2,…,xn

)T

o，有

例1二次型对任何为正定二次型X=(x1,x2,…,xn

)T

o，二次型f(x1,x2,…,xn

)=x12+x22+…+xr2

(r<n)第9页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三§4.3二次型和对称矩阵的有定性一、正定二次型和正定矩阵二次型f(x1,x2,…,xn

)=x12+x22+…+xr2

(r<n)对x=(0,…,0,f(x1,x2,…,xn

)=0.xr+1,…,xn

)T

o，有故二次型不是正定二次型.例1二次型为正定二次型对任何X=(x1,x2,…,xn

)T

o，第10页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三|A|大于零二、二次型正定性的判别如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢?以下给出几个矩阵为正定矩阵的充分必要条件.准则1准则2

f的正惯性指数为nf正定准则3

A的特征值都大于零

对称矩阵A为正定矩阵第11页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三称为矩阵A的顺序主子式.准则4

对称阵A为正定矩阵A的顺序主子式都大于零.例1判别下列矩阵或二次型是否正定∴A正定第12页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例1判别下列矩阵或二次型是否正定解

二次型对应的矩阵为：∴该二次型正定∴A正定第13页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例2取何值时,下面的二次型正定解二次型对应的矩阵为：当时，二次型正定.Ex2:取何值时,下面的二次型正定第14页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三B正定.第15页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三第16页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三三、二次型的有定性也不是负定的.有

二次型是正定的有

二次型是负定的有

二次型是半正定的使

有

二次型是半负定的使

例二次型不是正定的;(半)(半)此时称为不定的.第17页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三1.二次型的负定性

矩阵A负定矩阵正定.即奇数