2023新教材高中数学微专题强化练4与对数函数有关的复合函数新人教A版必修第一册

微专题强化练(四)与对数函数有关的复合函数一、选择题1．函数y＝logeq\s\do6(eq\f(1,2))(2x2－3x＋1)的单调减区间为()A．(1，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))A[由2x2－3x＋1>0得(2x－1)(x－1)>0，解得x<eq\f(1,2)或x>1．设t＝2x2－3x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,8)，所以函数t的单调递增区间为(1，＋∞)．又y＝logeq\s\do6(eq\f(1,2))t为减函数，故y＝logeq\s\do6(eq\f(1,2))(2x2－3x＋1)的单调递减区间为(1，＋∞)．故选A．]2．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数B[∵3x＋3－x＞0恒成立，∴f(x)的定义域为R．又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选B．]3．若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4) B．(－4，4]C．(－∞，4)∪[2，＋∞) D．[－4，4)D[令t(x)＝x2－ax－3a，则由函数f(x)＝log2t在区间(－∞，－2]上单调递减，可得函数t(x)在区间(－∞，－2]上单调递减，且t(－2)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≥－2，,4＋2a－3a>0，))解得有－4≤a<4．故选D．]4．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是()A．f(a＋1)<f(b＋2)B．f(a＋1)≤f(b＋2)C．f(a＋1)≥f(b＋2)D．f(a＋1)>f(b＋2)D[由于此函数是偶函数，所以b＝0，又函数在(－∞，0)上单调递增，所以在(0，＋∞)上单调递减，则0<a<1，所以有1<a＋1<2，因为f(a＋1)＝loga|a＋1|，f(b＋2)＝loga2，且1<a＋1<2，所以f(a＋1)>f(b＋2)．故选D．]5．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是()A．f(4)＝－3B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点C．函数y＝f(x)的最小值为－4D．函数y＝f(x)的最大值为4ABC[A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝eq\f(1,2)或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．故选ABC．]二、填空题6．函数y＝logeq\s\do6(eq\f(1,2))(1－2x)的单调递增区间为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))[令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))内递减，而y＝logeq\s\do6(eq\f(1,2))u是减函数，故函数y＝logeq\s\do6(eq\f(1,2))(1－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上单调递增．]7．若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________．1[∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，∴－ln(－1＋eq\r(a＋1))＝ln(1＋eq\r(a＋1))，∴ln(1＋eq\r(a＋1))＋ln(－1＋eq\r(a＋1))＝0，∴ln[(eq\r(a＋1))2－1]＝0，∴lna＝0，∴a＝1．经检验，当a＝1时，f(x)是偶函数．]8．函数y＝logeq\s\do6(eq\f(1,2))(x2＋2)的最大值为__________，单调递增区间是__________．－1(－∞，0)[∵函数y＝x2＋2在(－∞，0)单调递减，∴函数y＝logeq\s\do6(eq\f(1,2))(x2＋2)在(－∞，0)单调递增，∴当x＝0时，ymax＝logeq\s\do6(eq\f(1,2))2＝－1．]三、解答题9．已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，求a的取值范围．[解]令u＝2－ax，则y＝logau．因为a＞0，所以u＝2－ax递减，由题意可知y＝logau在[0，1]内递增，所以a＞1．又u＝2－ax在x∈[0，1]上恒大于0，所以2－a＞0，即a＜2．综上，1＜a＜2．10．已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x＋3>0，))得定义域为{x|－3<x<1}．f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，令t＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，因为x∈(－3，1)，所以t∈(0，4]．所以f(x)＝g(t)＝logat，t∈(0，4]．当0<a<1时，f(x)min