2023新教材高中数学课时分层作业37函数模型的应用新人教A版必修第一册

课时分层作业(三十七)函数模型的应用一、选择题1．如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是()A．eq\f(7,11)B．eq\f(7,12)C．eq\r(12,7)－1D．eq\r(11,7)－1D[设月平均增长率为x，1月份的产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝eq\r(11,7)，故x＝eq\r(11,7)－1．故选D．]2．有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()A．u＝log2t B．u＝2t－2C．u＝eq\f(t2－1,2) D．u＝2t－2C[可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B．故选C．]3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()ABCDD[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意知ax＝a(1＋0.104)y，即y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象．故选D．]4．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后，若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为()A．y＝360eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.04,1.012)))eq\s\up12(x)－1 B．y＝360×1.04xC．y＝eq\f(360×1.04x,1.012) D．y＝360eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.04,1.012)))eq\s\up12(x)D[设该乡镇现在人口数为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为eq\f(360M1＋4%,M1＋1.2%)千克，2年后，人均占有粮食产量为eq\f(360M1＋4%2,M1＋1.2%2)千克，……经过x年后，人均占有粮食产量为eq\f(360M1＋4%x,M1＋1.2%x)千克，即所求解析式为y＝360eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1.04,1.012)))eq\s\up12(x)．故选D．]5．(多选)为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg1.2≈0.079，lg2≈0.301)()A．2023年 B．2024年C．2025年 D．2026年CD[设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，则投入的资金为y＝5000×(1＋20%)n，由题意可得：y＝5000×(1＋20%)n>12800，即1.2n>2.56，∴nlg1.2>lg2.56＝lg28－2，∴n>eq\f(lg28－2,lg1.2)≈eq\f(8×0.301－2,0.079)≈5.16，∵n∈Z，∴n≥6，即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元．故选CD．]二、填空题6．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1000元，1500元时，应分别选择________方案．乙、甲、丙[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]7．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下4个模拟函数：①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x．请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．④[画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④．]8．已知某个病毒经30min可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5h，1个病毒能繁殖________个．2ln21024[当t＝0.5时，y＝2，∴2＝eeq\s\up10(eq\f(1,2)k)，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2．当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024．]三、解答题9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm(ppm为浓度单位，1ppm表示百万分之一)，再过4分钟又测得浓度为32ppm．经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(mt)(c，m为常数)．求c，m的值．[解]由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4m)＝64，,c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8m)＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4).))故c，m的值分别为128，eq\f(1,4)．10．为减轻手术给病人带来的痛苦，麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂，某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂，已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位：mg)与时间t(单位：h)成正比，麻醉剂释放完毕后，y与t的函数解析式为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(t－a)(a为常数)，如图所示．(1)试求从麻醉剂释放开始，血液中的麻醉剂含量y(mg)与时间t(h)之间的解析式；(2)根据麻醉师的统计，当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125mg以下时，病人才能清醒过来，那么实施麻醉开始，至少需要经过多长时间，病人才能清醒过来？[解](1)根据题中所述，由题图可知，血液中麻醉剂的含量y(mg)是关于时间t(h)的一个分段函数：当0≤t≤0.1时，函数的图象是一条经过O(0，0)的线段，设其方程为y＝kt(k为待定系数)，又因为A(0.1，1)是这条线段的一个端点，代入点A的坐标得k＝10，所以当0≤t≤0.1时，y＝10t．当t>0.1时，函数解析式为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(t－a)，而A(0.1，1)在这段函数图象上，代入得1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(0.1－a)，所以有0.1－a＝0，解得a＝0.1．故当t>0.1时，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(t－0.1)．综上，血液中麻醉剂的含量y(mg)与时间t(h)之间的解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(t－0.1)，t>0.1.))(2)要使手术后的病人能清醒过来，需要麻醉剂含量降低到0.125mg以下，此时t>0.1，且y≤0.125＝eq\f(1,8)．当t>0.1时，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))eq\s\up12(t－0.1)≤eq\f(1,8)，得t－0.1≥1，解得t≥1.1．所以至少需要经过1.1h后病人才能清醒．1．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14．已知pH的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq\f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,10)C[∵pH＝－lg[H＋]∈(7.35，7.45)．且[H＋]·[OH－]＝10－14，∴lgeq\f([H＋],[OH－])＝lgeq\f([H＋],10－14/[H＋])＝lg([H＋]2·1014)＝2lg[H＋]＋14，又∵7.35<－lg[H＋]<7.45，∴－7.45<lg[H＋]<－7.35，∴－0.9<2lg[H＋]＋14<－0.7，即－0.9<lgeq\f([H＋],[OH－])<－0.7，∵lgeq\f(1,2)＝－lg2≈－0.30，∴A错误；∵lgeq\f(1,3)＝－lg3≈－0.48，∴B错误；∵lgeq\f(1,6)＝－(lg2＋lg3)≈－0.78，∴C正确；∵lgeq\f(1,10)＝－1，∴D错误．故选C．]2．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进去的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt．已知新丸经过50天后，体积变为eq\f(4,9)a．若一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则需经过的天数为()A．125B．100C．75D．50C[由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(eq\f(1,50))．设经过t1天后，一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则eq\f(8,27)a＝a·eeq\s\up10(－kt1)，∴eq\f(8,27)＝(e－k)eq\s\up10(t1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(eq\f(1,50))eq\s\up12(t1)，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75．故选C．]3．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ为正的常数．由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为________．t＝－eq\f(1,λ)lneq\f(N,N0)[因为N＝N0e－λt，所以eq\f(N,N0)＝e－λt，两边取以e为底的对数，得t＝－eq\f(1,λ)lneq\f(N,N0)．]4．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级(里氏)5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量．地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用