新教材数学苏教版课时素养评价113余弦定理正弦定理的应用

课时素养评价十七余弦定理、正弦定理的应用(20分钟35分)1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是 ()A.50nmile B.70nmileC.90nmile D.110nmile【解析】选B.到14时,轮船A和轮船B分别走了50nmile,30nmile,由余弦定理得两船之间的距离为l=QUOTE=70(nmile).【补偿训练】已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为 ()A.10km B.QUOTEkmC.10QUOTEkm D.10QUOTEkm【解析】选D.在△ABC中,AB=10km,BC=20km,∠ABC=120°,则由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=100+400-2×10×20cos120°=100+400-2×10×20×QUOTE=700,所以AC=10QUOTEkm,即A、C两地的距离为10QUOTE2.如图,从地面上C,D两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB等于 ()A.100米 B.50QUOTE米C.50QUOTE米 D.50QUOTE米【解析】选C.设AB=h,在△ABC中∠ACB=45°,BC=h,在△ADB中,tan∠ADB=QUOTE=QUOTE,解得h=50QUOTE米.3.如图所示,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于 ()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】选B.依题意可得AD=20QUOTEAC=30QUOTEm,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理的推论得,cos∠CAD=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.4.(2020·西安高一检测)甲船在岛B的正南A处,AB=6km,甲船以每小时4km的速度向正北方向航行,同时乙船自B出发以每小时3km的速度向北偏东60°的方向驶去,甲、乙两船相距最近的距离是________km.

【解析】假设经过x小时两船相距最近,甲、乙分别行至C,D,如图所示,可知BC=6-4x,BD=3x,∠CBD=120°,CD2=BC2+BD2-2BC×BD×cos∠CBD=(6-4x)2+9x2+2(6-4x)3x×QUOTE=13x2-30x+36.当x=QUOTE时甲、乙两船相距最近,最近距离为QUOTEkm.答案:QUOTE5.(2020·济南高一检测)如图,-辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上,仰角为α,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为β,若β=45°,则此山的高度CD=________米,仰角α的正切值为________.

【解析】设山的高度CD=x米,由题可得∠CAB=45°,∠ABC=105°,AB=300米,∠CBD=45°.在△ABC中,可得:∠ACB=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理可得QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得CB=300QUOTE(米),AC=150QUOTE(米).在Rt△BCD中,由∠CBD=45°可得:x=CB=300QUOTE(米),在Rt△ACD中可得tanα=QUOTE=QUOTE=QUOTE-1.答案:300QUOTEQUOTE-16.如图,甲船以每小时30QUOTE1处时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距10QUOTE海里.问:乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接A1B2,由已知A2B2=10QUOTEA1A2=30QUOTE×QUOTE=10QUOTE(海里),所以A1A2=A2B2又∠A1A2B2=60°,所以△A1A2B2是等边三角形,所以A1B2=A1A2由已知,A1B1=20海里,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45在△A1B2B1中,由余弦定理得B1QUOTE=A1QUOTE+A1QUOTE-2A1B1·A1B2·cos45°=202+(10QUOTE)2-2×20×10QUOTE×QUOTE=200,所以B1B2=10QUOTE因此,乙船的速度为QUOTE×60=30QUOTE(海里/时).所以乙船每小时航行30QUOTE(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020·杭州高一检测)某船开始看见灯塔A时,灯塔A在船南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行45km后,看见灯塔A在船正西方向,则这时船与灯塔A的距离是 ()A.15QUOTEkm B.30kmC.15km D.15QUOTEkm【解析】选D.设灯塔位于A处,船开始的位置为B,船行45km后处于C,如图所示,可得∠DBC=60°,∠ABD=30°,BC=45,所以∠ABC=30°,∠BAC=120°,在三角形ABC中利用正弦定理可得:QUOTE=QUOTE,可得AC=QUOTE=QUOTE×QUOTE=15QUOTEkm.2.(2020·启动高一检测)如图,某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行.在A处观测地面目标A,测得俯角∠BAP=30°.经2分钟飞行后在B处观测地面目标P,测得俯角∠ABP=60°.又经过一段时间飞行后在C处观察地面目标P,测得俯角∠BCP=θ且cosθ=QUOTE,则该侦察飞机由B至C的飞行时间为 ()分钟 C.1.75分钟 【解析】选B.设飞机的飞行速度为v,根据飞机的飞行图形,测得俯角∠BAP=30°,经过2分钟飞行后在B处观测地面目标P,测得俯角为∠ABP=60°,所以△ABP为直角三角形,过点P作PD⊥AC于点D,则AB=2v,AP=QUOTEv,BP=v,解得DP=QUOTE,设CB=xv,因为cosθ=QUOTE,可得sinθ=QUOTE=QUOTE,所以tanθ=QUOTE,在直角△PCD中tanθ=QUOTE=QUOTE,解得x=1.5,即该侦察飞机由B至C的飞行时间为1.5分钟.3.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200QUOTEm以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为 ()A.200m B.300mC.400m D.100QUOTEm【解析】选B.由题意得如图,则△BED,△BDC均为等腰三角形,BD=ED=600m,BC=DC=200QUOTEm.方法一:在△BCD中,由余弦定理的推论可得cos2θ=QUOTE=QUOTE,又因为0°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200QUOTE×QUOTE=300(m).方法二:由于△BCD是等腰三角形,QUOTEBD=DCcos2θ,即300=200QUOTEcos2θ,所以cos2θ=QUOTE,又0°<2θ<180°,所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=200QUOTE×QUOTE=300(m).4.(2020·南昌高一检测)春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式,使用提水吊杆——桔槔,后发展成辘轳.19世纪末,由于电动机的发明,离心泵得到了广泛应用,为发展机械提水灌溉提供了条件.如图所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影,在A处测得B处的仰角为37度,在A处测得C处的仰角为45度,在B处测得C处的仰角为53度,A点所在等高线值为20米,若BC管道长为50米,则B点所在等高线值为 ()A.30米 B.50米 C.60米 D.70米【解析】选B.由题意,作出示意图如图所示,由已知,BC=50,∠CAE=45°,∠BAE=37°,∠CBF=53°.设BD=x,则AD=QUOTE=QUOTE=QUOTEx,CF=BCsin53°=50cos37°≈50×QUOTE=40,BF=BCcos53°=50sin37°≈50×QUOTE=30,所以由AE=CE,得QUOTEx+30=x+40,解得x=30,又A点所在等高线值为20米,故B点所在等高线值为20+30=50米.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.某人在A处向正东方向走xkm后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3km到达C处,结果他离出发点恰好QUOTEkm,那么x的值为 ()A.QUOTE B.2QUOTE QUOTE 【解析】选AB.由题意得∠ABC=30°,由余弦定理得cos30°=QUOTE,解得x=2QUOTE或x=QUOTE.6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=QUOTE.现有△ABC满足sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶QUOTE,且△ABC的面积S△ABC=6QUOTE,请运用上述公式判断下列说法正确的是 ()A.△ABC的周长为10+2QUOTEB.△ABC的内角C=QUOTEC.△ABC外接圆直径为QUOTED.△ABC中线CD的长为3QUOTE【解析】a∶b∶c=2∶3∶QUOTE.设a=2m,b=3m,c=QUOTEm(m>0),所以S=QUOTE=QUOTEm2=6QUOTE,解得m=2,所以△ABC的周长为a+b+c=4+6+2QUOTE=10+2QUOTE,A正确;由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又C∈(0,π),所以C=QUOTE,B正确;由正弦定理知外接圆直径为2R=QUOTE=QUOTE=QUOTE,C正确;由中线定理得a2+b2=QUOTEc2+2CD2,即CD2=QUOTE×QUOTE=19,所以CD=QUOTE,D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,2019年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示,没有完全断开),树干与地面成75°角,折断部分与地面成45°角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是________米(结果保留根号).

【解题指南】根据题意,画出示意图,大树原来的高度分为两部分,利用正弦定理或余弦定理分别求出两部分的长度,求和即为大树原来的高度.【解析】如图所示,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠AOB=75°,∠ABO=45°,所以∠OAB=60°.由正弦定理知,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以OA=QUOTE米,AB=QUOTE米,所以OA+AB=(5QUOTE+5QUOTE)米.答案:(5QUOTE+5QUOTE)________,sinα=________.

【解析】由已知得AB=12千米,AC=20千米,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=122+202-2×12×20×QUOTE=784,所以BC=28千米,所以渔船甲的速度v甲=QUOTE=14(千米/时).在△ABC中,∠BCA=α,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinα=QUOTE.答案:14千米/时QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前进QUOTEkm到达D处,看到A在他的北偏东45°方向,B在北偏东75°方向,试求这两座建筑物之间的距离.【解析】依题意得,CD=QUOTEkm,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°.在△BDC中,由正弦定理得BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE(km).在△ADC中,由正弦定理得AC=QUOTE=QUOTE=3QUOTE(km).在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(3QUOTE)2+(QUOTE)2-2×3QUOTE×QUOTEcos45°=25.所以AB=5km,故这两座建筑物之间的距离为5km.10.(2020·南通高一检测)根据国际海洋安全规定:两国军舰正常状况下(联合军演除外),在公海上的安全距离为20mile(即距离不得小于20mile),否则违反了国际海洋安全规定.如图,在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′,YY′,交点是O,现有两国的军舰甲、乙分别在OX,OY上的A,B处,起初OA=30mile,OB=10mile,后来军舰甲沿XX′的方向,乙军舰沿Y′Y的方向,同时以40mile/h的速度航行.(1)起初两军舰的距离为多少?(2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定?并说明理由.【解析】(1)连接AB,在△ABO中,由余弦定理得AB=QUOTE=10QUOTE.所以起初两军舰的距离为10QUOTEmile.(2)设t小时后,甲、乙两军舰分别运动到C,D,连接CD,当0<t≤QUOTE时,CD==10QUOTE,当t>QUOTE时,CD==10QUOTE,所以经过t小时后,甲、乙两军舰距离CD=10QUOTE(t>0),因为CD=10QUOTE=10QUOTE,因为t>0,所以当t=QUOTE时,甲、乙两军舰距离最小为20mile.所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定.我国古代数学家刘徽在其《海岛算经》中给出了著名的望海岛问题及二次测望方法:今有望海岛,立两表,齐高三丈,前后相去千步,令后表与前表参相直.从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十