河南省洛阳市郑州伊川县第一中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析

河南省洛阳市郑州伊川县第一中学2021年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设的共轭复数是，若，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.若函数，则下列选项的命题为真命题的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C所以A错；，所以B错；C对；D错；选C.

3.设等差数列{an}的前n项为Sn，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，当Sn取最小值时，n=(

)A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和题意求出a5的值，再求出公差d、an和Sn，对Sn化简后利用二次函数的性质，求出Sn取最小值时对应的n的值．【解答】解：由等差数列的性质得，2a5=a3+a7=﹣6，则a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，Sn==n2﹣12n，所以当n=6时，Sn取最小值，故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质、通项公式，以及利用二次函数的性质求Sn最小值的问题．4.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（

）A．

B．4

C.3

D．参考答案：A5.已知f（x）=x（x﹣1）（x﹣m），满足f′（0）=f′（1），则函数f（x）的图象在点（m，f（m））处的切线方程为（）A．2x+8y﹣1=0 B．2x﹣8y﹣1=0 C．2x﹣8y+1=0 D．2x+8y+1=0参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】先化简函数，求出导函数，根据f′（0）=f′（1），求出m的值，可得切点坐标与切线的斜率饿，进而可得切线方程．【解答】解：∵f（x）=x（x﹣1）（x﹣m）=x3﹣（m+1）x2+mx，∴f′（x）=3x2﹣2（m+1）x+m．∵f′（0）=f′（1），∴m=3﹣2（m+1）+m，∴m=．∴=﹣∵f（）=0，∴函数f（x）的图象在点（m，f（m））处的切线方程为y﹣0=﹣（x﹣），即2x+8y﹣1=0．故选A．【点评】本题考查导数的几何意义，考查切线方程，正确求出m的值是关键．6.把函数y=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，所得的图象解析式为(

) A．y=2sin（4x+） B．y=2sin（4x+） C．y=2sin（x+） D．y=2sin（x+）参考答案：A考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：化简可得y=2sin（2x+），由函数图象的周期变换可得．解答： 解：化简可得y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到y=2sin（2?2x+）=2sin（4x+）的图象，故选：A点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及函数图象的变换，属基础题．7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则得到的这个新的三角形的形状为(

)A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．由增加的长度决定参考答案：A8.设点是的重心，若，，则的最小值是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B9.执行图中的程序框图（其中表示不超过的最大整数），则输出的值为．

．

．

．

参考答案：．每次循环的结果分别为：，；，；，；，；，；，，这时，输出．故选．【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过的最大整数的理解．要得到该程序运行后输出的的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件调整运算的继续与结束，注意执行程序运算时的顺序．10.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（）A．M∪N B．（?UM）∩N C．M∩（?UN） D．（?UM）∩（?UN）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据补集、交集的概念进行解答即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，∴?UM={0，1}，∴N∩（?UM）={0，1}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的子交并补运算，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的前n项和记为，，则的通项公式为__________。参考答案：12.若数列{an}满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列{an}为“差非增数列”．给出下列数列{an}，n∈N*：①an=2n++1，②an=n2+1，③an=2n+1，④an=ln，⑤an=2n+．其中是“差非增数列”的有（写出所有满足条件的数列的序号）．参考答案：③④【考点】数列递推式．【分析】把恒成立化为an+an+2≤2an+1恒成立，然后逐一验证5个数列得答案．【解答】解：①若an=2n++1为“差非增数列”，则恒成立，即恒成立，此式显然不正确，①不是“差非增数列”；②若an=n2+1为“差非增数列”，则n2+1+（n+2）2+1≤2（n+1）2+2，即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”；③若an=2n+1为“差非增数列”，则2n+1+2（n+2）+1≤2[2（n+1）+1]，即0≤0恒成立，此式显然正确，③是“差非增数列”；④若an=ln为“差非增数列”，则ln+ln≤2ln，即恒成立，也就是2n+3≥0恒成立，此式显然正确，④是“差非增数列”；⑤若an=2n+为“差非增数列”，则，即2≤0恒成立，此式显然不正确，②不是“差非增数列”．故答案为：③④．13.方程的解__________．参考答案：14.（6分）（2015?浙江模拟）已知点M（2，1）及圆x2+y2=4，则过M点的圆的切线方程为，若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A、B两点，且|AB|=2，则a=．参考答案：x=2或3x+4y﹣10=0,.【考点】：圆的切线方程．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：当切线方程的斜率不存在时，显然x=2满足题意，当切线方程的斜率存在时，设斜率为k，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，根据d=r列出关于k的方程，解之即可求出所求；由题意易知圆心到直线的距离等于1（勾股定理），然后可求a的值．解：由圆x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，当过P的切线方程斜率不存在时，显然x=2为圆的切线；当过P的切线方程斜率存在时，设斜率为k，P（2，1），∴切线方程为y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1=0，∵圆心到切线的距离d==r=2，解得：k=﹣，此时切线方程为3x+4y﹣10=0，综上，切线方程为x=2或3x+4y﹣10=0．∵直线ax﹣y+4=0与圆相交于A、B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，0）到直线的距离等于1，∴=1，∴a=．故答案为：x=2或3x+4y﹣10=0；．【点评】：本题主要考查了直线圆的位置关系，以及切线的求解方法，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．15.与双曲线具有相同的渐近线，且经过点的双曲线方程是_______．参考答案：【分析】与双曲线有相同的渐近线的所求双曲线的方程设为，代入已知点的坐标，解方程可得所求双曲线方程．【详解】解：设与双曲线具有相同的渐近线的双曲线的方程为，代入点，解得，则所求双曲线的方程为，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.在中，内角所对的边分别为，且满足，则角B的大小为▲.参考答案：【知识点】正弦定理．C8

解析：在△ABC中，，利用正弦定理化简得：，∵，∴，即，则B=，故答案为：【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出tanB的值，即可确定出B的度数．17.将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.

1719212331292725

……………参考答案：312试题分析：前19行共有个数，所求两数为第78和第79个奇数，因此和为.考点：新定义，数列的项.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（16分）已知向量=（cosα，1+sinα），=（1+cosα，sinα）．（1）若|+|=，求sin2α的值；（2）设=（﹣cosα，﹣2），求（+）?的取值范围．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数；向量的模；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则得到两向量和的坐标，再利用向量模的计算方法表示出两向量和的模，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简后，根据已知两向量和的模得出sinα+cosα的值，两边平方后，再根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值；（2）由及的坐标求出+的坐标，再由的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子，配方后得到关于sinα的二次函数，配方后，根据正弦函数的值域得到自变量sinα的范围，利用二次函数的性质得到二次函数的值域即为所求式子的范围．解答： 解：（1）∵+=（1+2cosα，1+2sinα），|+|===，∴sinα+cosα=﹣，两边平方得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=﹣；（2）因+=（0，﹣1+sinα），∴（+）?=sin2α﹣sinα=﹣．又sinα∈，∴（+）?的取值范围为．点评：此题考查了平面斜率的数量积运算法则，向量模的计算，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的值域以及二次函数的性质，熟练掌握法则、性质及公式是解本题的关键．19.设、分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且为它的右准线.

⑴求椭圆的方程；

⑵设为右准线上不同于点的任意一点,若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、,证明：点在以为直径的圆内.

参考答案：解析：⑴依题意得,,解得,从而.故椭圆的方程为.

⑵解法：由⑴得,,.∵M点在椭圆上,∴

①.又点异于

点、,∴,由三点共线得.∴,,

∴

②.将①代入②,化简得.

∵,∴,则为锐角,∴为钝角,故点在以为直径的圆内.

解法：由⑴得,,设.则,.又的中点

为,依题意,点到圆心的距离与半径的差

③.又直线：,

直线：,而两直线与的交点在准线上,∴,即

④.又点M在椭圆上，则，即

⑤.于是将④、⑤

代入③,化简后可得.从而,点在以为直径的圆内.20.（本小题共13分）在△ABC中，BC＝2，AC＝2，且cos(A＋B)＝－。（Ⅰ）求AB的长度；（Ⅱ）若