山东省淄博市潍坊尚文中学高三数学理月考试卷含解析

山东省淄博市潍坊尚文中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的最小正周期是

（）A． B． C．

D．参考答案：B略2.定义在区间上的函数f(x)的图象如右下图所示，记以,,为顶点的三角形的面积为，则函数的导函数的图象大致是参考答案：D略3.若，则“”是“”

的

（

）A．必要不充分条件

B．充分不必要条件C．充要条件

D．既非充分又非必要条件参考答案：A略4.设函数.若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（

）.

A.

B.

C.

D.参考答案：C5.已知集合，则满足条件的集合B的个数为（

）A．2

B．3

C．4

D．8参考答案：C∵，又，∴集合的个数为个，故选C．6.设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．π B． C． D．参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．7.已知函数y＝f(x)为偶函数，满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝，则的值等于（

）A.-1

B.

C.

D.1参考答案：D8.设若有且仅有三个解，则实数的取值范围是A.[1,2]

B.(-∞,2)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1)参考答案：B9.函数的图像向右平移（）个单位后，与函数

的图像重合．则（

）A．

B．

C． D．参考答案：C10.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点(a，b)与直线的位置关系是（

）A．

B．

C.

D．与100的大小无法确定参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，用表示不超过x的最大值整数，则y＝称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有＿＿＿①

②

③④

⑤离实数z最近的整数是参考答案：②③⑤12.点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线的最大距离为，则参考答案：做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知点D到直线的距离最大，此时，解得。13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=

．参考答案：∵，，，，，由正弦定理得：解得．

14.若在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，则a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，1）考点：函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，利用函数的单调性可求最值．解答： 解：2x（3x+a）＜1可化为a＜2﹣x﹣3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x（3x+a）＜1成立，等价于a＜（2﹣x﹣3x）max，而2﹣x﹣3x在[0，1]上单调递减，∴2﹣x﹣3x的最大值为20﹣0=1，∴a＜1，故a的取值范围是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．点评：该题考查函数恒成立问题，考查转化思想，注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题关键．15.已知，则函数的最大值是____．参考答案：1316.对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[tt]=n同时成立，则正整数n的最大值为．参考答案：4【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4．【解答】解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4．故答案为：4．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义的理解和运用，属于中档题．17.已知x，y满足的取值范围是________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知等差数列的首项为，公差为，且方程

的解为

．（1）求的通项公式及前n项和公式；（2）求数列{}的前n项和.参考答案：解：（1）方程的两根为．利用韦达定理得出．

-----------2分由此知，

----6分（2）令则

---------8分两式相减，得

------10分

..

-----12分

19.（本小题满分12分）已知，函数，（1）若直线与函数相切于同一点，求实数的值；（2）是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的取值集合，不存在说明理由．参考答案：解（1）设切点，，，，设切点，，

………5分（2）令，即，令，所以有两不等根，，不妨令，所以在上递减，在上递增，所以成立因为，所以所以,且令，所以在上递增，在上递减所以，又，所以代入,所以

………12分20.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．参考答案：（Ⅰ）4（Ⅱ）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（Ⅲ）试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，,,因为,，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.

（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分设两科成绩都是一等奖的人分别为，只有数学一科为一等奖的人分别是,只有语文一科为一等奖的人是，则随机抽取两人的基本事件空间为,共有个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率.21.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an﹣，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（2）设cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）由Sn=an﹣，可得当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即an=3an﹣1，a1=S1，利用等比数列的通项公式即可得出．∵由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，bn+1﹣bn=2，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）cn=an?bn=（2n﹣1）?3n，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵Sn=an﹣，∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣﹣，即an=3an﹣1，．∵a1=S1=﹣，∴a1=3．∴数列{an}是等比数列，∴an=3n．∵点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，∴bn+1﹣bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n﹣1．（2）∵cn=an?bn=（2n﹣1）?3n，∵Tn=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，∴3Tn=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，两式相减得：﹣2Tn=3+2×（32+33+34+…+3n