双曲线及其标准方程教学实录

双曲线及其标准方程教学实录（课前1分钟，播放片头，包括各种物体及音乐）教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，并研究了这一圆锥曲线的几何性质。在刚才的片头中,我们还看到了许多物体，它们的外形是多种形式的优美曲线。今天我们来研究其中的一种曲线。学生：（兴奋、疑惑、有求知欲）（情境设置：片头中的一幅图片，火力发电厂通风塔）教师：这是火力发电厂的通风塔，它的截面轮廊线是什么曲线？（演示通风塔截面图）教师：这种曲线我们似曾相识，初中代数中我们学习的反比例函数，它的图象就是这样的曲线。（作出图象）为了使大家观察得更清楚，我们将的图象旋转45°。（旋转后又重新建立新的坐标系给出图象）教师：（适时提出）它是什么曲线？学生：（回应热烈）双曲线教师：很好（板书）双曲线教师：通风塔的截面轮廓线是双曲线的一部分，物理中双曲线型旋转体的通风效果是最好的。（设计感悟：片头中的图片直观，引起学生对这课堂的兴趣，同时对双曲线有一个感性认识。演示通风塔截面图，从具体到抽象，将实际问题抽象为数学模型，有利于认识事物。旋转后再建系，这样符合建系的原则，又为后面推导双曲线方程中建系埋下一个伏笔。另外还注意了物理知识的渗透。）教师：双曲线是怎样形成的？我们一起来探索一下。（边演示实验，边讲解）教师：先来做一个实验：取一条拉链，拉开它的一部分，（动画1）在拉开的一边上取其端点，在另一边的中间部分取一点，分别固定在、两点处，使一边比另一边多出。（动画2）在拉动的过程中，我们看到点M随之变，选择拉链的好处是使得与增加的长度相同，都是蓝色部分。教师：为了显示的更直观，将与平移放到下面来，再观察一次。（重新演示动画2）教师：我们看到与增加的长度相同，但是它们的差总保持不变，是这一段红色的部分。教师：（补充）是一个常数。教师：（演示动画3）将笔尖放在点处，随着拉链的逐渐合拢或拉开，笔尖就画出右边的一条曲线。此时大于，且差保持不变，是一个常数。若，互换位置，会得到怎样的曲线呢？学生：（思考）教师：（演示动画4）这样又得到了左边的这条曲线，此时小于，它们的差的绝对值保持不变。教师：想一想，在刚才的实验中，动点与定点、的距离之差的绝对值保持怎样的关系？学生1：是一个定值。教师：也就是一个常数，很好。教师：再想一想，这个常数与大小关系怎样？学生2：小于教师：回答得非常好。你是通过哪个几何图形看出的？学生：三角形教师：三角形两边之差总小于第三边。教师：接着，我们再想一想，与大小关系与点的位置有何关系?学生3：当大于时，点在右支；当小于时，点在左支。教师：上面左右两支合起来叫做双曲线。（设计感悟：选取拉链实验好处是点不断运动，但始终满足差的绝对值为常数。跟踪得轨迹是双曲线，这是辩证唯物主义观点的运用，质点运动规律也是可以被学生掌握和应用的。逐个的演示动画1到4，将实验细化，更清楚更直观。）教师：根据模拟实验，以及椭圆的定义，你能否给双曲线下一个定义呢？椭圆的定义是怎样的？师生：平面内与两定点的距离之和为常数的点的轨迹。教师：那么双曲线定义呢？学生4：平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹叫双曲线。教师：回答得非常好。（板书）定义，用红色字打出“差的绝对值”，“”教师：椭圆定义中和为常数，记为，双曲线中差的绝对值为常数，我们也记为；所不同的是双曲线中常数小于，椭圆中常数大于；同样这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，记为。教师：双曲线满足动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，用数学表达式表示为——（板书）(且）教师：由定义知道，差的绝对值为常数，能否大于或等于呢？我们来讨论一下这三种情况的点的轨迹。问题1、若，点M的轨迹是什么？学生5：双曲线。教师：符合双曲线的定义。问题2、若，点M的轨迹是什么？学生5：是线段教师：若，即，、、、这三点不构成三角形，这三点共线。刚才他说是线段，点在哪儿？师生：在、之间。教师：这样可能吗？不可能。点在哪儿？哪位同学补充一下？学生6：是射线教师：几条？学生6：两条。问题3、若，点的轨迹是什么？学生7：是椭圆教师：椭圆定义中是到两定点的距离“之和”为常数，我们这里是“之差”满不满足椭圆定义？师生：不满足。教师：不是椭圆，教师：当时，、、这三点构成三角形；当时，这三点共线；当时，既不构成三角形，又不共线。那么——师生：轨迹不存在（设计感悟：三个问题的设计，使学生对双曲线定义中2a与2c的关系，更进一步理解。）教师：复杂的曲线可以通过建立适当的坐标系得到简单对称的曲线方程，如椭圆的标准方程，那么双曲线方程如何？教师：我们用求曲线方程的一般步骤，类比于椭圆的标准方程推导过程，来共同推导双曲线的方程。第一步是——师生：建系设点教师：你准备如何建系？学生8：以、它们的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系。设点是双曲线上任一点，，，教师：这样建系设点不仅满足双曲线的对称性，而且还使得所设未知数、参数尽可能少且具有直观性。很好。教师：第二步写出几何条件，第三步根据几何条件以及两点间的距离公式列出方程，第四步化简方程。请同学们类比于椭圆方程推导过程来完成。（学生积极思考，认真演算）教师：（在学生讨论过程中）对于这个方程的化简，主要任务是去掉什么？学生：去根号学生9：先移项，再平方教师：含两个根式时，将一个移项，再平方学生9：再一次平方得：教师：很好。在椭圆方程简化中我们也遇到了类似的一个方程，我们是怎么处理？师生：设字母教师：我们引入一个字母,使，因为椭圆中大于。我们能否也引入一个量，哪位同学出出主意？学生10：设=教师：双曲线中与关系？学生10：大于教师：这个方法很可行，因为是一个正数，所以令=此时即可化简，结果是——师生：教师：这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线焦点在x轴上，其中，（板书）标准方程，焦点在x轴上教师：如果我们以F1F2所在的直线为y轴，即焦点在y轴上，它的标准方程怎样？学生：教师：与椭圆中类似，由坐标变换思想，互换的位置即可得焦点在y轴上的方程。（板书）焦点在y轴上，教师：标准方程形式上与椭圆类似，右边为1，左边为平方差的形式，而椭圆左边为和的形式。两个双曲线标准方程形式相似，但焦点的位置不同，如何判定焦点在哪条坐标轴上？例1判断下列双曲线方程焦点的位置①②③④学生10：①②焦点在x轴上，③④焦点在y轴上。教师：④是标准方程吗？学生：不是标准方程。教师：你能不能将它化为标准方程？学生10：同时乘-1，得就是方程③。教师：你能不能帮我们归纳一下，在双曲线标准方程中如何判断双曲线焦点在哪个坐标轴上？学生10：如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在轴上。教师：他给了我们一个判定双曲线焦点位置的方法，而椭圆标准方程中，通过比较即分母大小来判定焦点的位置。教师：把双曲线标准方程与椭圆标准方程作一下比较。首先，从方程形式上看有什么不同？学生11：双曲线标准方程中距离差“-”，有别于椭圆中距离和“+”，教师：三者关系有什么不同？学生11：双曲线中；有别于椭圆方程中，教师：焦点位置判定方法不同（设计感悟：学生自行推导方程教师进行指导，又推导焦点在y轴上的标准方程形式进行区别，教师适时提出问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？从而突破难点，正确区别两个不同的标准方程形式。）教师：我们来做几个练习，熟悉双曲线的定义和标准方程。例2填空题(1)已知双曲线方程，则①=,=,=②焦点在轴上，其坐标为，焦距为(2)如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么=教师：先看第1题，快速作答。学生12：轴，（-5，0）（5，0），焦距为10教师：接着计算一下第（2）题学生13：=教师：双曲线焦点在哪个轴上？学生13：在轴上。教师：等于多少？教师：在椭圆的焦点也应在轴上，那么等于——学生13：教师：等于5，则为9，等于3，因为大于0（设计感悟：巩固双基，信息反馈）例2已知一动圆过定点且与已知圆相外切，求动圆圆心的轨迹方程学生：（思考）教师：点是动点，点和点是两个定点，且在轴上对称的两点；圆和圆相外切，两圆相外切，能得到什么条件？师生：圆心距等于半径之和。教师：即，点到点的距离之差是——学生：是常数教师：点的轨迹是什么？学生：双曲线教师：我们跟踪一下它的轨迹来看一看（演示跟踪轨迹）教师：当我们知道曲线的属性，就可以用待定系数法求方程，关键是求学生14：P点的轨迹方程为教师：还需要什么条件？学生14：教师：要注意讨论轨迹的范围教师：我们利用双曲线的定义得到了它的方程。（设计感悟：更进一步的掌握双曲线的定义，用待定系数法求方程。）教师：双曲线与椭圆有区别又有联系，我们通过一个表格来比较异同点。我们横向来填空。（教师与学生一起来完成表格）

椭圆双曲线定义图形标准方程焦点坐标焦点位置与标准方程的关系比较分母大小若项的系数是正的，那么焦点在x轴上；若项的系数是正的，焦点在y轴上。关系（设计感悟：