数列求和问题

数列求和问题①等差数列的前n项和公式：②等比数列的前n项和公式③④⑤1.公式法即直接用求和公式,求前n项和Sn分析：通过观察，看出所求得数列实际上就是等比数列其首项为a，公比为ab，因此由题设求出a,b，再用等比数列前n项和公式求和例1：若实数a,b满足：

求：例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)解：∵1，1/a,1/a2……1/an是首项为1，公比为1/a的等比数列，∴原式=原因：上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n项和公式不再成立。例2求和：1+(1/a)+(1/a2)+……+(1/an)在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q≠1两种情况讨论求解。对策：倒序相加法在教材中是推导等差数列前n项和的方法2.倒序相加法例4.求下列数列的前n项和（1）

3.分组求和法：

若数列的通项可转化为

的形式，且数列可求出前n项和则解（1）：该数列的通项公式为

当a≠0且a≠1时，Sn=规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要遇到如下两种形式的数列.

其一：通项公式为：

其二：通项公式为：例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)[分析]：观察数列的前几项：1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11这时我们就能把数列的每一项裂成两项再求和，这种方法叫什么呢？裂项法11×3=（-213111）例5、Sn=++……+11×313×51(2n-1)×(2n+1)解：由通项an=1(2n-1)×(2n+1)=（-）212n-112n+11∴Sn=

（-+-+……+-)21311151312n-112n+11=（1-）212n+112n+1n=评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。4.拆项相消法（或裂项法）：若数列的通项公式拆分为某数列相邻两项之差的形式即：

或（）则可用如下方法求前n项和.

例6、设是公差d不为零的等差数列，满足求：的前n项和它的拆项方法你掌握了吗？常见的拆项公式有：5.错位相减法：设数列是公差为d的等差数列（d不等于零），数列是公比为q的等比数列(q不

等于1），数列满足：则的前n项和为：例7、求和Sn=1+2x+3x2+……+nxn-1(x≠0,1)[分析]这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？Sn=1+2x+3x2

+……+nxn-1①

xSn=x+2x2

+……+(n-1)xn-1+nxn②(1-x)Sn=1+x+x2+……+xn-1-

nxnn项这时等式的右边是一个等比数列的前n项和与一个式子的和，这样我们就可以化简求值。错位相减法例7、求和Sn=1+2x+3x2++nxn-1(x≠0,1)解：∵Sn=1+2x+3x2++nxn-1∴xSn=x+2x2++(n-1)xn-1+nxn∴①-②，得：(1-x)

Sn=1+x+x2++xn-1-

nxn∴Sn=1-(1+n)xn+nxn+1(1-x)21-xn1-x=-

nxn………………练习：求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n答案：Sn=3-2n+32n求和Sn=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2n

直接求和（公式法）等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。倒序相加等差数列的求和方法错位相减数列{anbn}的求和，