八年级下学期期中-第24题集锦

八年级下学期数学期中第24题集锦

1、如图1,在平面直角坐标系中，四边形AOCB为正方形.

(1)点E、F分别在边OC、BC±,若OE=BF,ZEAF=60°,①若AE=2,求EC

的长；②点G在线段FC上，ZAGC=nO°,求证：AG=EG+FGi

(2)如图2,在平面直角坐标系中，OC=3,点E、尸分别是边OC、BC上的动点，且

OE=CF,4E与。尸相交于点P.若点M为边OC的中点，点N为边BC上任意一点,

则MN+PN的最小值等于

2、如图1,在平面直角坐标系中，矩形AOCC的顶点A(0,2),C(2V3,0).

（1）求点D到直线AC的距离;

（2）如图2,NAOC的角平分线交A。于点8,交CO的延长线于点E,F为BE的中点,

连接CF,求/ACF的大小;

（3）如图3,M,N分别是边CZ）和对角线AC上的动点，且AN=CM,则OM+ON的最

小值一.（直接写出结果）

图1图2图3

3、在菱形ABC。中，NDCB=120°,E为CD上一点.

(2)F为CB上一点,ZEAF=30a.

①如图2,连接E尸，求证：EA平分NDEF.

DE

②如图3,若BF=2FC,求一的值.

4、如图，点8(机，〃)为平面直角坐标系内一点，且加，n满足Ji=-6+)6—m+6,

过点B分别作轴于点A,BCLx轴于点C.

(1)求证：四边形A8C0是正方形；

(2)点E(0,h)为y轴上一点，点F(a,0)为x轴上一点.

①如图1,若a=2,。=4,点G为线段8E上一点，且/EGF=45°,求线段FG的长;

②如图2,若a+b=6,直线A尸与BE交于点H,连接CH,则CH的最小值为.

5、如图1,在平面直角坐标系中，四边形A8CZ)的顶点坐标分别为A(a,m),B(b,0),

C(c,0),D(d,n),且BZ)平分NA8C,且a,b,c,d,m,〃满足关系式Gd—a—c+b+|,〃

-川=0.

（1）判断四边形ABC。的形状并证明你的结论.

（2）在图1中，若/ABC=60°,8。交y轴于点F,点尸为线段正。上一点，连接见,

且点E与点8关于），轴对称，连接PE,若PE=外,

①试求/APE的度数;

②试求嬴的值.

（3）如图2,在（2）的条件下，若PE与C。交于点且NCME=45°,请直接写出

BC+CE

目的值

6、平面直角坐标系中，矩形A08C的顶点C的坐标为（相，〃），"人〃满足加-8=Si—4+

V4—n.

(1)m=n=

(2)如图1,连接AB、0C交于点£>,过点。作。例交x轴于点M,求点M的坐

标；

(3)如图2,E、F分别为03、8c上的动点，以4E、£尸为边作矩形4EFQ,连接EQ、

CQ,当EQ=2C。时，求点。的纵坐标.

7、如图(1),四边形O8C。正方形，0,。两点的坐标分别是(0,0),(0,4).

(1)直接写出点C的坐标是；

(2)如图(2),点F为线段BC的中点，点E在线段08上，若/EDF=NCDF,求点

E的坐标;

(3)如图(3),动点E,F分别在边OB,CO上，将正方形OBCO沿直线EF折叠，使

点3的对应点M始终落在边0。上(点M不与点O,£＞重合)，点C落在点N处，设

OM=x,四边形BEFC的面积为S,请求出S与x的关系式.

D

0B

图⑴

8、如图①，在回A8CD中，AB^BC,将△ABC沿AC翻折至△AB'C,连接2'D.

(1)求证：AC//B'D；

(2)如图①，若NB=30°,AB=V6,ZAB'D=75°，则NACB=,BC=

(3)如图②，若AB=2H，ZB=30°,BC=1,AB'与边CQ相交于点E,求AE的

长.

图1图2

9、如图：正方形ABCO边长为"，正方形OEFG边长为〃(«</«),以AO,QG为边作平

行四边形AOGM,以，CD,£>E为边作平行四边形CDEM点P,。分别是。M,CE的

中点.正方形DEFG绕点D旋转.

(1)求证：名△EC。；

（2）求△OPQ的面积（用含如〃的代数式表示）；

（3）直接写出尸Q的长度的最大值（用含如”的代数式表示）.

参考答案与试题解析

一.解答题(共9小题)

1.【解答】(1)①解：在正方形AOC3中，AB=AO,ZB=ZAOC,

在△A8F和△AOE中，

(AB=A0

48=4/0C,

\BF=0E

：.(SAS),

：.AE=AF,

VZEAF=60°,

・・・是等边三角形，

：.EF=AE=2,

•：OE=BF,BC=OC,

：.BC-BF=OC-OE,

即CE=CF,

・・・△CM是等腰直角三角形，

:・EC=辱EF=孝x2=V2；

/.ZAGF=60°,

•••△FGH是等边三角形，

:・FH=FG,NF77G=60°,

•••△AE尸是等边三角形，

：,ZAFE=60°,AF=EF,

AZAFE=ZGFH=6Q°,

・,.NAFE-ZEFH=ZGFH-/EFH,

即NAFH=NEFG,

在△4/77和△£1水；中，

MF=EF

\/LAFH=乙EFG,

[FH=FG

：./\AFH^/\EFG(SAS),

:.AH=GE,

:・AG=AH+GH=EG+FG,

即AG=EG+FG；

(2)解：作M关于BC的对称点。取。4的中点"，连接尸。与8c交于点M,连接

PH,HQ,则MN=QN,

4V

图2

•・•四边形A0C8是正方形，

：.OA=OC,OA//BC,ZAOC=ZOCB=90o,

在aAOE和△OC/中，

(OA=OC

\/-AOC=乙OCB,

(OE=CF

：./\AOE^/\OCF(SAS),

JNAEO=NOFC,

^OA/ZBC,

JZAOP=ZOFC=/AEO,

,：ZOAE+ZAEO=90°,

NOA£+NA。尸=90°,

ZAPO=90°,

13

PH=件=I，

M点是OC的中点，

13

OM=MC=CQ=^OC=I，

9

2-

•：PH+PQ》HQ,

:.当H、P、。三点共线时，PH+PQ=HQ=JOH2+0Q2=J(|)2+/产=竽的值最

小，

PQ的最小值为3，^-1,

此时，若N与N重合时，MN+PN=MN+PM=QN+PN=PQ='羿-怖的值最小，

-3-/103

故答案为：------

22

2.【解答】解：(1)如图1,作。G,AC于点G,

♦.,四边形AOCD是矩形，A(0,2),C(2V3,0),

AZADC=90°,AO=OC=2V5,8=。4=2,

：.AC=y/AD2+CD2=J(2V3)2+22=4,

,.•5田—戈。06=^AD'CD,

111

x4£>G=1x2>/3x2,

：.DG=V3,

.•.点D到直线AC的距离是遮.

(2)如图2,连接2F、DF,

；/AOC的角平分线交AQ于点B,交CD的延长线于点E,ZAOC=90Q,

1

・・・ZCOE=ZAOE=^ZAOC=45°,

・.・/OCE=90°,

：.ZE=ZCOE=45°,

：・CE=OC,

:.CE=AD9

VZBD£=180°-ZADC=90°,

AZDBE=ZE=45°,

:・DB=DE,

•・,尸为BE的中点,

11

：.NADF=NEDF=aNDBE=45。,EF=DF=^BE,DFLBE,

：.Z£=ZADF,

：./\CEF^/\ADF(SAS),

:.CF=AF,NCFE=NAFD,

：.ZAFC=ZAFD-NCFD=NCFE-NCFD=NDFE=90°,

：.ZACF=ZCAF=45Q.

(3)如图3,连接0。交AC于点Q,

\'OD=AC=4,

'.QD=QC=CD=AQ=OQ=OA=2,

...△QCO和△QOA都是等边三角形，

过CQ中点R作RP_LCZ),CP〃OD交RP于点P,连接OP、MP,

'：ZCRP=90°,NPCR=NCDQ=60°,CR=DR=1cD=l,

AZ/?PC=30°,

：.PC=2CR=2,

：.PR=yJPC2-CR2=V22-l2=V3,

：.P(3V3,1),

：.OP=J(3g)2+12=2夕,

；0M+PM>0P,

当点M在OP上时，0M+PM=2夕，此时OM+PM的值最小，

：PC=OA=1,ZPCM=ZOAN=60°,CM=AN,

.二△PCM丝△OAN(SAS),

：.PM=ON,

：.OM+ON的最小值为2夕，

故答案为：2夕.

图2

3.【解答】(1)证明：如图1,•・,四边形ABCO是菱形,

:・AD=CD=BC,AD//BC,

VZ£>CB=120°,ZDAE=30Q,

AZD=180°-ZDCB=60°,

AZAED=90°,

：.DE=^AD=^CD,

111

：.CE=CD-DE=CD-^CD=^CD=抑J,

：.BC=2CE.

(2)①证明：如图2,在OC上截取GZ)=尸C,连接AG、FG、AC,

\*AD=CD=AB=CBfNB=N£>=60°,

・・・AADC和△ABC都是等边三角形，

：.AD=AC,ZD=ZACF=ZDAC=60°,

A(SAS),

：.AG=AFfZDAG=ZCAFf

：.ZFAG=ZCAF+ZCAG=ZBAG+ZCAG=ZDAC=60°,

VZEAF=30°,

：.ZEAG=^EAF=30°,

・,・AE垂直平分rG,

:.EF=EG,

：.NAEG=NAEF,

EA平分NDEF.

②解：如图3,在OC上截取GO=FC,连接E3AG、FG、AC,

由①得AG=AREF=EG,ZE4G=60°,

•••△4PG是等边三角形，

■:CD・GD=CB-FC,

:.BF=CG,

•；BF=2FC,

：.CG=2GD,

作GP_LA。于点尸，尸Q_LO。交0c的延长线于点。，则NAPG=NG。b=90°,设PD

=mf

•：NDPG=90°,ZD=60°,

AZDGP=30Q,

:・GD=2PD=2m,CG=2GD=4m,

.\AD=CD=2m+4m=6m,

*.PA=6m-in=5m,

9：ZD=ZAGF=60°,AG=GF,

・・・N%G=1800-ZD-ZAGD=\200-ZAGD,ZQGF=180°-ZAGF-ZAGD=

120°-ZAGD,

：.ZPAG=ZQGF,

/.△MG^AeGF(A4S),

：.PG=QF,PA=QG=5m,

：.QF2=PG1=(2m)2-m2=3m2,

,：QF2+EQ1=EF2,EF=EG,EQ=5m-EG,

：.3m2+(5m-EG)2=EG2,

解得EG=葺，力，

1424146

DE=2rn+-g-/w=~g~CE=6m-2m--g-/w=耳%z,

24

DEVm

—=-f—=4,

CE凯

DE

•・•瓦的值是4.

图2

图1

4•【解答】⑴证明：由题意得，『二工

・・"z=6,

•・〃=6,

：.B(6,6),

〈BAJLy轴，8CJ_x轴，ZAOC=90°,

・・・四边形ABC。是矩形，

:・BC=6,A8=6,

:.BC=AB,

・・・四边形A8CO是正方形；

(2)解：①连接AF,交BE于点、H,

・・・0尸=2,0E=4,

"/四边形ABCO是正方形，

：.AB=0A=6,ZBAO=ZAOC=ZABC=90°,

：.AE=OA-0E=2,

：.AE=OFf

在△BAE和△AOF中，

AB=AO

Z-BAE=/.AOF=90°,

AE=OF

：./\BAE^/\AOF(SAS),

/.ZABE=ZOAF,

VZABE+ZAEB=90°,

・・・NOAE+NAE8=90°,

；.AF_LBE,

在RtZVIO尸中，

AF=VOF24-OA2=&2+22=2710,

在和△AOb中，

(Z.AHE=Z-AOF

V^HAE=/OAF'

J△AHES/WOF,

.AEAH

••-9

AFAO

.2AH

^2y/10~6'

・5—3国

•、AH—5,

•口后一Ar-Ao—o/Tn_3/IU_7/IU

••Hk/»r-AH2V1u5~•5,

在Rt△尸，G中，NHGF=45°,WFG=45°,

ZHGF=ZHFG,

:.HG=HF=^p~,

：.FG=VWF2+HG2=J（Z^）2+（Z^）2=

②（0,b）,F（a,0）,

；.O尸=a,OE=6,AE^OA-0E=6-6=0,

：.OF=AE,

在△BAE和△AOF中，

（AB=OA

\z.BAE=〃0F,

{AE=OF

.♦.△84E岭zMO尸（SAS）,

取A8的中点为M,连接CM交圆弧于点H',C”的最小值为CH',

在RtZXCBM中，0M=3,BC=6,

：.CM=VBC2+BM2=V62+32=3后

：.CH'=CM-MH'=3花一3,

...C，的最小值为3西-3.

故答案为：3V5-3.

5.【解答】解：（1）四边形ABCO是菱形.

证明：・・'

vVd—a—c+b+|"?-川=0.

:・d-a-c+b=O,m-n=0,

:・d-a=c-b,tn=n>

：.AD//BC,AD=BC,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

VAD//BC,

：./ADB=/DBC,

,.・8。平分NA8C,

・•・/ABD=/DBC,

：.ZABD=ZADB,

：.AB=ADf

：.回ABCD是菱形.

(2)①如图1,连接PC,过点尸作PQLx轴于点Q,

・・•四边形ABC。是菱形，

：.AB=CB,NABD=NCBD,

■:BP=BP,

：./\ABP^ACBP(SA5),

：.PA=PC,ZAPB=ZCPBf

•:PE=PN,

:.PC=PE,

■:PQ工CE,

：.ZCPQ=ZEPQ,

VZABC=60°,

AZPBC=30°,

VZBQP=90°,

・・・N3PQ=60°,即N3PC+NCPQ=60°,

AZAPE=ZAPB+ZBPC+ZCPQ+ZEPQ=2(NBPC+NCPQ)=120°；

②如图1,连接AC交8。于点S,

则AC_L8。，BD=2BS,

•:BQb,0),C(c,0),

:・BC=c-b,

VZCBS=30°,ZBSC=90Q,

：.CS=1BC=|(c-b),

,:BS=yjBC2-CS2=J(c-b)2-[|(c-b)]2=等(c-b),

BD=V3(c-b),

在RtABFO中，OF=刎F,BF1-01^=OB1,

：.BF=一竽b,

在RtZ\BPQ中，PQ=*P,BQ=BC+^CE=c-h+:~^=BP2-PQ2=B^,

：.BP=^-(c-36),

:.PF=BP-BF泻Qc-3b)-(—孥b)=孚(c-b),

：.BF+PD=BD-PF=V3(c-b)一孚(c-b)=孥(c-b),

■「尸_亨①一匕)_1

-BF+PD=竽3)=5

(3)•••点E与点3关于y轴对称，

：.E(-b,0),

：.BE=-b-b=-2b,

VZCME=45°,

；./£>MP=45°,

:NBDC=30°,

：./BPE=NBDC+/DMP=30°+45°=75°,

"：ZDCE=ZABC=60°,

：.ZBEP=lS00-ZDCE-ZCME=\S0a-60°-45°=75°,

/BPE=NBEP,

:.BP=BE=-2b,

■:NDBC=30°,PQJ_x轴，

：.PQ=初=-b,

：.BQ=y/BP2-PQ2=J(-2b)2-(-匕)2=-y/3h,

由（2）②知：BQ=

c—3b

2

：.c=(3-2V3)b,

BC+CEc—b+(一匕-c)b12回3

BC-CEc-b-^-b-c)(2百一3)b-2V3-33

2V3+3

故答案为:

CQE

图2

n-420,

由“4—ri有意义得：4-/?，0,

・"=4,

把.=4代入m-8=A/九一4+44—九得:m=8,

故答案为：4；8；

(2)・.・m=8,〃=4,

：.C(8,4),

•・•四边形AO8C是矩形,

：.A0=4,80=8,AD=BD,

：.AB=>/AO2+BO2=475,

：.BD=^AB=2A/5,

,：DM1DB,

:.NBDM=NBOA=90°,

又；NDBM=NOBA,

:.丛DBMs丛OBA,

BMBD

""AB~B0'

BM2>/5

即Hn一F,

4V58

：.BM=5,

：.OM=BO-BM=3,

：.M(3,0)；

(3)如图，连接AF交EQ于点尸，连接CP,过点。作Q”_Ly轴于点H,交BC的延

长线于G,设CE交QF于N,

•；四边形4EF。是矩形，

11

：.AF=EQ,PF=PA=讶力"，PE=PQ=qEQ,ZQAE=ZAEF=AEFQ=^°,4。=跖,

1

:・PF=^EQ,

・・♦四边形A03C是矩形，

AZACB=ZOBC=ZAOB=90°,

又・.・尸尸=%,

1

:.PC=PF=^AF，

1

：.PC=^EQ,

:・PC=PE=PQ,

：.NPEC=/PCE,ZPCQ=NPQC,

又〈NPEC+/ECQ+NPQC+NPCQ=180°,

・・・/PEC+NPCE+NPCQ+NPQC=180°,

・・・NPCE+NPCQ=90°,

即NECQ=90°,

*：EQ=2CQ,

・・・NCEQ=30°,

•：NEFQ=NECQ=90*,4CNQ=4FNE,

：.4CNQs丛FNE,

.NCNQ

•・NF~NE'

又•：NCNF=/QNE,

:.△CNFs/XQNE,

：.ZQFC=ZCEQ=30°,

<NEFQ=90°,

：.ZEFB=60°,

：.ZBEF=30°,

VZAEF=90°,

：.ZOAE=30°,

：.ZQAH=60Q,

在RtZ^AOE中，ZOAE=30°,AO=4,

OE=AO・tan30°=4x停=竽，

：.BE=BO-OE=S-^-,

在RtZsBEP中，NBEF=30°,

.„„BE16V3-8

••EF=Z^=^—，

・—口口1673—8

・・AAQn=EF=——在——，

在RtZkA。”中，NQA”=60°,

/.ZAQH=30°,

•14八116\/3—8873^—4

..AH=2AQ=2X-3-='

OH=AO+AH=4+

・,•点。的纵坐标为8管+8二板.

7.【解答】解：(1)•・•四边形O8CO是正方形，0(0,0),D(0,4),

：.OB=BC=CD=OD=4,Z?C_Lx轴，

：.C(4,4),

故答案为：(4,4)；

(2)如下图，过点尸作FGLOE于点G,连接E尸，

・・•四边形O8CO是正方形，O(0,0),D(0,4),

：.OB=BC=CD=OD=4,ZC=ZOBC=ZBOD=W°,

VFG±£>E,

AZDGF=ZC=90°,

在△OGF和△DCb中，

ZDGF=ZC=90°

乙EDF=(CDF,

DF=DF

：・/\DGF必DCF(A4S),

:.GD=CD=4,GF=CF,

,・♦点F为线段3C的中点，

：.BF=CF=BC=1x4=2,

:.GF=BF=2,

在RtAEFG和RtA£FB中,

(GF=BF

IFF=EF'

：.RtAEFG^RtAEFB(HL),

:・GE=BE,

设OE=a(a>0),则GE=BE=OB-。£=4-a,

：.DE=GD+GE=4+4-a=S-a,

在RtAOOE中，根据勾股定理得，O伊+0D2=DQ,

即d?2+42=(8-a)2,

解得〃=3,

：.OE=3f

・・♦点E在无轴的正半轴上，

：.E(3,0)；

(3)如下图，分别连接6M、MF、BF,

,•♦EF是折痕，

・,・EF垂直平分BM,

：・ME=BE,MF=BF,

设ME=BE=m,CF=n,且m>0,/?>0,

则OE=OB-BE=4-m,DF=CD-CF=4-n,

9：OM=x,点8的对应点M始终落在边。。上(M不与点O,。重合),

：.DM=0D-OM=4-x(0<x<4),

在RtZV)ME中，根据勾股定理得，O序+0£2=M£2,

即/+(4-m)2="2,

在RtAOMb和RtZ\C8/中，BF2=BC2+CFZ,

•；MF=BF,

：.0M2+。产=BC2+C声,

(4-x)2+(4-〃)2=42+/?2,

X2-8x4-16

解得

n=8

%2—8%+16

即CF=n=

8

1

•・・S=S四边形2(CF+BE)・BC,

即S和x的关系式为：S=#-2x+8(0<x<4).

8.【解答】(1)证明：二•四边形ABC。是平行四边形，

：.AB=CD,BC=AD,NB=NADC,

•.•将△ABC沿AC翻折至△A8'C,

：.AB'=AB,B'C=BC,ZAB'C=NB,

：.AB'=CD,8'C=AD,ZAB'C=ZADC,

在△AB'C和△CA。中，

(AB'=CD

\z.AB'C=乙ADC，

\B'C=AD

C岭△CAO(SAS),

AZACB'=ZCAD,

设AO、B'C相交于£,

：.AE=CE,

.♦.△ACE是等腰三角形，

即△AB'C与团4BCD重叠部分的图形是等腰三角形;

•:B'C=AZ),AE=CE,

：.B'E=DE,

：.ZCB'D=ZADB',

"：ZAEC=ZB'ED,NACB'=ZCAD,

：.ZADB'=NL»AC,

：.B'D//AC-,

(2)解：如图1,

图1

在平行四边形ABC。中，NB=30°,将△ABC沿AC翻折至△AB'C,

/.ZAB'C=30°,

VZAB'0=75°,

；.NCB'0=45°,

■:B'D//AC,

：.ZACB'=NCB'D=45°,

ZACB^ZACB',

：.ZACB=45°；

作AG_L8C于G,

：.AG=CG,

VZB=30°,

：.AG=|A/3,

1_________Q

CG=1V3,BG=y]AB2-AG2=去