2023人教A版高中数学函数y=Asin(ωxφ)讲义

第五章三角函数

5.6函数y=Asin（5+°）

例1画出函数y=2sin的简图.

解：先画出函数y=sinx的图象；再把正弦曲线向右平移4个单位长度，得到函数

6

的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的4倍，得到函数

y

3

y=sin3彳-2的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是

下面用“五点法”画函数y=2sin13x一己）在一个周期（T=g2兀）内的图象.

3

令X=3x—二，则x=Ux+2兀].列表（表5.6-1）,描点画图（图5.6-8）.

63（6）

表5.6-1

713冗

X0712兀

2T

兀2九7兀5兀13兀

X

~9~18~97T

y020-20

例2摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，

可以从高处俯瞰四周景色.如图5.6-9,某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为

110m,设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近

的位置进舱，转一周大约需要30min.

图5.6-9

（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为”m,求在转动一周

的过程中，〃关于f的函数解析式；

（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面高度；

（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的

高度差（单位：m）关于f的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.

分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游

客距离地面的高度，呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.

解：如图5.6-10,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心。为原点，与地面平行的直

7T

(1)设，=0min时，游客甲位于点尸(0,—55),以OP为终边的角为一一；根据摩天轮转

2

TT

一周大约需要30min,可知座舱转动的角速度约一rad/min,由题意可得

15

--.(7L7t।/u

HTT=55sinI—Z——1+65,0<f<30.

(2)当，=5时，H=55sin|-x5--1+65=37.5.

1152)

所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m.

(3)如图5610,甲、乙两人的位置分别用点A,B表示，则/4。3=生=三.经过1

4824

(71Tt\

min后甲距离地面的高度为4=55sin石f-]+65,点8相对于点4始终落后

TT

—rad,此时乙距离地面的高度为“2乙距离地面的高

度差

兀71,13K兀

h=\Ht-H2\=55sin—t——-sin+sin-----------

152I2415

利用sin+sin=2sin^+^cos——―,可得〃=110sin-sinf—r---

224811548J

0<r<30.

当上冗，一冗上=冗乙（或j』JL），即，。7.8（或22.8）时，人的最大值为U0sinJ」L-a7.2.

15482248

所以，甲、乙两人距离地面高度差的最大值约为7.2m.

练习

1.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图:

1(JI

(1)y=-sinx；(2)y=sin3x；(3)y=sinlx-y(4)y=2sin2%一？

2

【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析（4）作图见解析

【解析】

【分析】

（1）将丫=&11*的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的;得到图像.

（2）将》=国11工的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的g得到图像.

（3）将丁=41的图像向右平移1TT个单位得到图像.

TT

（4）将丁=&11%的图像向右平移了个单位，纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为

4

原来的g得到图像.

【详解】各函数的简图分别如图：

【点睛】本题考查了利用三角函数的平移和伸缩变换得到函数图像，意在考查学生

对于三角函数图像的理解和掌握.

2.己知函数y=3sin[x+q]的图象为C,为了得到函数y=3sin（x-1^的图象，只

要把C上所有的点（）.

TTTT

A.向右平行移动1个单位长度B.向左平行移动个单位长度

C.向右平行移动半个单位长度D.向左平行移动半个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角函数的平移得到答案.

【详解】把y=的图像向右平移?+?=?个单位长度，

得至ijy=3sin的图像.

故选：C

【点睛】本题考查了三角函数的平移，属于简单题.

TTTC

3.已知函数y=3sin(x+g)的图象为。，为了得到函数y=3sin(2尤+1)的图象，

只要把C上所有的点

A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.

B.横坐标缩短为原来的g倍，纵坐标不变.

C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变.

D.纵坐标缩短到原来的g倍，横坐标不变.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两函数解析式的特点，可以分析出这种变换是周期变换，所以按照正弦型函数

的周期变换的特点，从四个选项中选出正确的答案.

TTTT

【详解】函数y=3sin(x+5)的图象为C,通过变换得到函数y=3sin(2x+1)的图

象，可以发现振幅和初相都没有改变，只改变周期，周期由原来的2%变为万，因此

只需横坐标缩短为原来的g倍，纵坐标不变即可，故本题选B.

【点睛】本题考查了正弦型函数的周期变换，通过解析式之间的关系，判断出哪种

变换或哪几种变换是解题的关键.

4.已知函数y=3sin[x+1^的图象为C,为了得到函数y=4sin（x+m的图象，

只要把C上所有的点（）

43

A.横坐标伸长到原来的彳倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的纵坐标

34

不变

C.纵坐标伸长到原来的：4倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的三3，横坐标

34

不变

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角函数的伸缩变换得到答案.

【详解】把y=3sin（x+g]的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的g倍（横坐标不

变）

得到＞=4sin（x+?的图像.

故选：C

【点睛】本题考查了三角函数的伸缩变换，属于简单题.

5.函数y=的图象与正弦曲线有什么关系？

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

根据三角函数的平移变换和伸缩变换得到答案.

【详解】y=的图像可以通过正弦曲线的平移、伸缩而得到.

y=sinx的图像向右平移（个单位得到y=sin（x-j的图像；

横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得=-，的图像；

纵坐标缩短为原来的《，横坐标不变得到^=£5布弓尤-7的图像.

【点睛】本题考查了三角函数的平移和伸缩变换，意在考查学生对于函数变换的掌

握.

6.函数y=sin[x+2）,xe[O,+8）的图象与正弦曲线有什么关系？

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

直接根据三角函数的平移得到答案.

【详解】把y=sinx的图像向左平移看个单位长度，再只保留》€[0,物）的部分图

像，即可得到〉=5足"总，xe[0,+oo）的图像.

【点睛】本题考查了三角函数的平移，意在考查学生对于函数图像平移的理解.

习题5.6

复习巩固

1.选择题

7.为了得到函数y=cos（x+；）的图象，只需把余弦函数〉=85%曲线上所有的点

（）

7TTT

A.向左平行移动；个单位长度B.向右平行移动；个单位长度

33

C.向左平行移动;个单位长度D.向右平行移动;个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角函数图象变换规律确定选项.

【详解】因为＞=cosx向左平行移动g个单位长度得y=cos（x+£|,

故选：C

【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题.

8.为了得到函数y=cos标的图象，只需把余弦曲线'=以》》上所有的点（）

A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的（，纵坐标

不变

C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的!，横坐标

不变

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数丁=435（的:+9）的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论.

【详解】将函数y=cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，

纵坐标不变，得到函数y=cosgx的图象.

故选：A.

9.为了得到函数y=!cosx的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）

4

A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变

B.横坐标伸长到原来的1,纵坐标不变

4

C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的!，横坐标不变

4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数图象变换规律确定选项.

【详解】因为k8sx纵坐标缩短到原来的;，横坐标不变得到y=

故选：D

【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析判断能力，属基础题.

10.画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：

（I）y=4sin—%；（2）y=—cos3x；

22

(1兀

(3)y=3sin(2x+7J；(4)y=2cos—x----

(24

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析.

【解析】

【分析】

根据五点作图法分别作四个函数在一个周期的闭区间上的简图.

【详解】⑴

1713万

一X07121

22~2

X0713万4万

.1

y=4Asin-x040-40

-2

描点连线得如图①,

⑵

冗3%

3x07127

2~2

⑶

713%

2x+-07127r

62~2

71n5〃1\7l

X2%

672T~V2

y=3sin(2x+/J

030-30

描点连线得如图③,

2/1

(4)

171713冗

—x-----0712兀

24~2~2

713不5冗In9乃

X

7TT~2

20-202

描点连线得如图④,

【点睛】本题考查根据五点作图法作图，考查基本分析作图能力，属基础题.

11.说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到（注意定义域）:

rX

(1)y=8sin--乃)l,xeLrO八,+℃)\

14

1(771t\

(2)y=—sin3x+—,xG[0,+oo).

“3I77

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】

X7T\

（1）先根据三角函数图象变换得y=8sin了一三，xeH图象，再根据定义域去掉不

（48；

满足的部分，即得结果;

（2）先根据三角函数图象变换得y=；sin（3x+'）,尤eR图象，再根据定义域去

掉不满足的部分，即得结果

【详解】（1）先将正弦曲线上所有点向右平移？7F个单位长度，得到

0

y=sinx---

-I8R的图象；再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍

（纵坐标不变），得到y=sin[；-*}xG/?的图象；然后将所得图象上各点的纵坐

标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到y=8sin（：-的图象；最后将

所得函数的图象在y轴左侧的部分去掉，就得到y=8sing-£|”O+8）的图

象.

（2）先将正弦曲线上所有点向左平移三个单位长度，得到y=sin（x+，）,尤wR的

图象；再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的g（纵坐标不变），得到

y=sin（3x+/],xeR的图象；然后将所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的;

（横坐标不变），得到y=；sin（3x+1）,xeR的图象；最后将所得函数的图象在y

轴左侧的部分去掉，就得到了=；工"3》+]）,%€[0,+8）的图象.

【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查基本分析求解能力，属基础题.

综合运用

12.函数y=Asin（0x+e）（A>O,0>O,O<e<;r）在一个周期内的图象如图所示，

【解析】

【分析】根据所给的图象，可得到A=2,周期的值，进而得到。，根据函数的图象

过点可求出9的值，得到三角函数的解析式.

【详解】由图象可知A=2,H三

212122

:.T=冗，

.，.(0=2,

，三角函数的解析式是y=2sin(2x+⑼

函数的图象过(若,2),

把点的坐标代入三角函数的解析式,

71

/.2=2sin[2(-—)+(p\

兀冗

：.(p--=2k7T+—,kGZ,又•.3<(P<7T,

62

2乃

.=(p=—,

3

••・三角函数的解析式是y=2sin(2x+等).

27r

故答案为：y=2sin(2x+3-).

13.将函数y=3sin[2x+?71J的图象向左平移三后得到函数y=g(x)的图象，求

4

y=g(x)的解析式.

【答案】g(x)=3sin(2x+*

【解析】

【分析】

根据三角函数图象变换规律得结果.

【详解】将函数y=3sin[2x+?式J的图象向左平移?后得到

4

11

y=3sin/I2(x+y71)+—71\1=3sin(2x+\^\7-1)，所以g(x)=3sinl/2x+\7l

12

【点睛】本题考查根据三角函数图象变换求解析式，考查基本分析求解能力，属基

础题.

14.某时钟的秒针端点A到中心的距离为5cm,秒针匀速绕。点旋转到B点，当时

间f=0时，点A与钟面上标12的点重合，将A、B两点间的距离d(cm)表示成

/(s)的函数，则1=cm,其中/€[0,60].

TT

【答案】10sin£-f

60

【解析】

【分析】

由题意可以先写出秒针转过的角度，可以算出一秒转过的角度，再乘以时间，连接

AB,过圆心向它做垂线，把要求的线段分成两部分，用直角三角形得到结果.

【详解】设=过点0作OCLAB,垂足为C,则|AC|=|Q4|sin1=5sin］,

即d=2|4C|=lOsing,

71,.C7，八.71

当rw［0,30］时:0-----1a-lOsin—=lOsin-t-

30260

»、C.U兀I［八.兀

当re(30,60］时，0=2n--t,a=lOsin—=lOsin兀------1=lOsin—t

2I60J60