平面几何试题

证：过A、C分别作BD的平行线，过B、D分别作AC的平行线．这四条直线分别相X由其对角线互相平分知SA●ZA●ZMMY在△BMC中线所在直线上，且BBY.AP,重合.引理的证明：事实上，①式即sinCsinβsin(A－C)sin(A-β)sin(A－C)=sin(A-β)常sinC=sinβ常sinAcotC－sinA=sinAcotβ-cosA常C=β.即AP与AP,重合．引理得证.Aα(β)BP(P'')C回到原题：为了看得清，我们画两张图表示，过A作AQ⊥OH=Q.先看右图，∵E、P、F三点共线，以A为视点运用张角定理得=+APAFAE.综合上二式有MEBAPFNC又易有M、B、C、N四点共圆.EFG在△MOH与△BOH中分别运用正弦定理有综合②③知①式成立，故AP⊥OH，证毕..UU所对角为∠C,所对角为∠B,所对角为AAH●EBCFA'DB'●S122(-)=(-)=A－C,接XW.XXZYW.为可求的，刻画了“对称”条件．角度的推算多次利用弧长，刻画了“平行”条件，后半部个四边形便已确定.1AD.证：以△ABC外接圆圆心为原点建立复平面，设其半径为1.11中心位似比为──的位似变换之积.111BAO1N●iEDO2NO3sinC+2sinβ-sinβ.-EAP(P')P(P')ENENBTBTBDADBDAD对直线NTD截△ABC运用梅涅劳斯定理有—12ACD-EA=综上所述，所求——即可─—=1故—评注：从题目的问题得到提示，使用梅氏定理，比例的转换方向明确..2AAAFcR+EFEF●I再对左边积化和差有2 r── r2 ++AB右边和差化积，右边利用熟知的三角形内恒等式sinA+sinB+sinC=4cosABC-.CFEFEHI2IBDBD112F-∠O1O2E，∴∠FO2O1=2∠B-∠O1O2E.—…—…②=DH==DH=22.22222-2sin2222-cos2-sin-0E、C0F、OI四线共点.证：首先以引理的形式给出本图的一些内在特征.P●Q●Q●●在DD,中垂线上..由J与D为对应点知D亦为旁切圆切点.故IA0与BC交于旁切圆切点.又由内切圆及旁切圆性质知BD=CD.BAOI●XD'PDHC下面回到原题：延长OI交AD于X，我们通过计算证明IX为关于∠A,∠B,∠C对称的值，从而证明原题.利用A、X、D三点共线，由张角定理知=+.=+.IXIDIA0∴I=Ii+.DHID1IX=IDsin∠DID+DH.∴∴IDIDIDsin∠DIDIXID1DH+1DD+.IDDDDIODHDH·DDDH·DDDHAHDDIDDDID1IX+IDAH1DH0A0HDH∴括号中乘一个OI，括号外除一个OI得1IX1ID·OIA0HDH1.DD,DHDD,DH1ID·OIIX0H)－IX注意到OI、ID=r皆为对称的值．故我们仅须证OP+2DH0H为对称的值(记为MA).2-2-故故AA2-2cos-2cos2-cos2-sin-sin---AB--都交于OI上同一点.0E、C0F、OI四线共点，证毕.GCPED●BBAQF.评注：此解法计算复杂，但思路清晰.(r为半径).上面三式相乘得FFPADCOB.∵PAA.AP'EFF∴BI平分∠PBF．同理PI平分∠PDF.Q故命题得证.评注：此解法稍繁，可思考令OF·FP,=CF·FE的同一法.FD●DAECCX,DX,FX,EX,CXDX,D设H,为直线BF与△GFX外接圆的交点，则评注：此题有相当难度，但可能有不是那么多同一法的解法.D●COXBHBM.MPH'MHOL③MPH'MHOL③L'截线交另一组对边所在直线于H、L，交对角线所在直线于H、L．求证1+MLMH+ML证：设AP与BC延长线相交于O，△BML和△CML均被直线AO所截.1MH+1MLAMNHLOPMMHLOAAHAMPMPMBBCLCAMPMHLMHPMHLMH对由BD截△LCM和AC截△LBM用梅氏定理知LLLMDCMD,LHHM把它们代入④式整理即得证.FQECC.=AB·AC·BC，试确定P点的几何位置，并证明你的结论.对四边形ABEF和AEBD应用托勒密不等式得FFEDA对①式中前一式，两边同乘DB后，再加上DC·DA·AC，然后注意①式中后一式有亦即A、F、E、B、D五点共圆时.而AD⊥BC且CD⊥AB，故加强命题成立，从而原命题得证..证：对△AGE与△CHF，由笛沙格定理可知只需证明AC、EF、GH三线共点.这只须证明FE在AC上截点与HG在AC上截点是同一点.延长AD交⊙O于M，CD交⊙O于N，评注：本题运用了对称的想法，是一道好题.PTL●E●ANMDFC∠ACO-∠DBO=∠BAD-∠ABC=∠APD.ππABPDK●.评注：本题亦可用阿波罗尼斯定理作.I1、I2四点共圆.1Y2的垂心，从而引理得证.BP1E1AO●A1F●DFC1EZRX2XRX2Xω●Y1Yω1XYω●Y1Yω1XY评注：本题只需熟悉基本图形后便迎刃而解.N●N●●HOmOmm对称.EK●MF设A关于M的对称点为A,，则A,也是定点，且A,EK●MF下证△NEF的外接圆恒过点A,：Ml1l2l1l2.2kREFGN●A'H评注：此题较有难度，要深入分析.对应边比值相同可知AHAAH评注：基本图形的深入命题，注意角的转换.AHP●AA●OAKHBA'B'.如图，取AH、BH、PH的中点M、N、K，延长AD交△ABC外接圆于G.A●M●●M●C●DBKC●DGG又△DMN外接圆为九点圆，所以Q在九点圆上.因此Q在△APD外接圆上．得证.评注：注重九点圆的性质.GDADANP●●2P●●2MOM1FF.△AEF=r2r2AE·AF·EFr2 24r2 2r2r1DE·DF∴2r12 r1r1.21设点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线，切点分别为B、C，⊙O的切线l与AB、则2(C+β+Y)=π,∠AOP=π-C-β=+Y.FAP评注：关键在于找到D证：易知∠MTIa=∠MAN,AN=NM.MTMIaa∴MTANAI MIaMSMIAAI●BA'TMNCIa.AIACa评注：用三角变换，显然自然且必要，且MI=MB=MIa为内心要重性质，切记.上.外心.事实上，若△ABC为等腰三角形，则△DEF欧拉线即为底边中垂线，自然过O点.HD1OHsin∠HDI2rHDHDrFBA●●I●D●KE.又由引理知OI即为△DEF欧拉线.∴DK、EM、FN相交于△DEF的欧拉线上，得证.评注：此题的引理应用广泛，值得熟练掌握..AAADADβ-θ2β-θ22BB2ββ2β-θ22θa－Ya+Ya－Yβ-θa－Ya+Ya－Yβ-θDDCBBβ-θ2θ+a+Yβ-θ2θ+a+Ya－Ya+Yβ-θa－Yβ-θa－Ya+Yβ-θa－Yβ-θ评注：本题是2005年美国竞赛题，应大胆分解命题..0CC要证A2、B2、C2共线，由梅氏定理逆定理知只需证结合①式知111C0A●1AAA●●●BC1A0.1-1--x=r(1