线代x411452011略去证明

第四章矩阵的对角化与二次型4.1

矩阵的特征值与特征向量4.1.1

矩阵的特征值与特征向量的概念求特征值和特征向量的步骤：求出A的特征方程

A

-

lI

=

0的全部根

即为A的全部特征值;对A的每一个特征值li，求出(A

-li

I

)x=0的非零解，即为A的对应于li的全部特征向量.特征向量不能由特征值唯一确定。4.1.2

矩阵的特征值与特征向量的性质(1)lm是Am的特征值(m是任意常数).若l1

,l2

,

lm

互不相等，则p1

,p

2

,li的特征向量.

,p

m

线性无关.(2)当A可逆时,l-1是A-1的特征值.3）设A为n阶方阵，且A2

=A(A幂等），则A的特征值只能是0和1.4、设li

(i

=1,2,,m)是方阵A的特征值，p

i

是对应于5n阶方阵A与它的转置矩阵AT

有相同的特征值.6n阶方阵A

=(aij

)的特征值为l1

,l2

,,ln

,则有=

a11

+

a22

+

+

annl1

+

l2

+

+

lnk

-10k

-10g(A

)

=

a

Ak

+

a

A

+

+

a

A

+

a

Ik k

-1

1+

+

a

l

+

a０

k

０

k

-1

０1

０l1l2

ln

=

A.7、设A是n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A*

的一个特征值是

l

-

1

|

A

|8、l０是A的特征值，则g(

A

)有特征值

g(

l

)

=

a

l

k

+

a

l注意１.

属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．即方阵A的k重特征值不一定对应k个线性无关的特征向量4)4.2

矩阵的对角化4.2.1

相似矩阵1.定义设A、B

都是n

阶方阵，若存在可逆方阵P，使P

-1AP=B则称A

与B

相似，或称B

是A

的相似矩阵.2、若A

与B

相似，则A

=

B

,

r(A)

=

r(B).3、若A

与B相似，则A

与B

的特征多项式相同，特征值相同.推论：若n

阶方阵A

与对角阵L=n

ll2l1相似，则l1

,l2

,,ln就是A的n个特征值.2

,试证不存在可逆矩阵

0 1

0

-12,

B

=

-1例设A

=

1P，使

P

-1

AP

=

B.证

A的特征值为

1(二重)，B的特征值为-1(二重)，它们互不相同，\A与B不相似，即不存在可逆矩阵P使P

-1

AP

=B.特征值相同是相似的必要条件，但不是充分条件。4.

若A与B相似,则Am与Bm

相似(m为正整数.设f

(l)是矩阵A的特征多项式,则f

(A)=O.定理4.2.2

矩阵的对角化定理n

P

AP

=

L

=

ll2l1-1n阶方阵A与L

相似A有n个线性无关的特征向量证必要性设A

~

L

，故存在可逆矩阵P使把P按列分块即

AP

=

PLP

=

(

p1

,

p

2

,

,

pn

)n

l

l11

2

n

1

2

nA(

p

,

p

,,

p

)

=

(

p

,

p

,,

p

)

(Ap1,

Ap2

,,

Apn

)

=

(l1

p1

,l2

p2

,,ln

pn

)\

Api

=

li

pi

(i

=

1,2,,

n)即p1

,p

2

,,pn

是A的n个特征向量.又因为P

可逆，所以p1

,p

2

,,p

n

线性无关.充分性设

Api

=

li

pi

(i

=

1,2,,

n)且pi

线性无关,

(Ap1,

Ap2

,,

Apn

)

=

(l1

p1

,l2

p2

,,ln

pn

)n

l

l11

2

n

1

2

nA(

p

,

p

,,

p

)

=

(

p

,

p

,,

p

)

即

AP

=

PL因为p1

,p2

,,pn

线性无关，所以P可逆.推出

P

-1

AP

=

L.从证明中可看出，相似变换矩阵P的列向量就是A的对应于li的n个线性无关的特征向量.L的对角元是A的n个特征值.推论

1

若

n

阶方阵

A

有

n

个不同的特征值则A

可对角化.l1

,l2

,,ln

,n

ll2

l1A

~

即注意：A有n个不同的特征值是A

可对角化的充分条件，但不是必要条件.将方阵A化为对角阵的步骤求出方阵A的特征值和特征向量；由特征向量的相关性判断A能否化为对角阵；若A能化为对角阵，则写出与A相似的对角阵L

.

n

ll2l1-1即

P

AP

=

L

=

其中，l1

,l2,,ln,是A的n个特征值，P是由n个线性无关的特征向量作为列向量所构成的矩阵.-

2

-

l2

-

l

-

15

-

3

-

l-

1

0A

-

lE

==

-(l

+

1)3所以A的特征值为

l1

=

l2

=

l3

=

-1.把l

=-1代入A

-lE

)x

=0,解之得基础解系x

=

(1,1,-1)T

,故A不能化为对角矩阵.例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？2

1-

2

1

-

2

A

=

-

5

3

-

3023

1

4

6

0

设A

=

-

3

-

5

0-

3

-

6P

,例2A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵使P

-1

AP

为对角阵.解4

-

l60A

-

lE

=-

3-

5

-

l0-

3-

61

-

l=

-(l

-1)2

(l

+

2)所以A的全部特征值为

l1

=

l2

=

1,

l3

=

-2.将l1

=l2

=1代入A

-lE

)x

=0得方程组1

2-

3

x

-

6

x

=

0

3

x1

+

6

x2

=

0-

3

x1

-

6

x2

=

0解之得基础解系

0

-2x1

=

1

,1

0

x2

=0.将l3

=

-2代入A

-

lE

)x

=

0,

得方程组的基础解系3=

(-1,1,1)T

.x由于x1

,x2

,x3线性无关.1

2

3令

P

=(x

,x

,x

)=

0-20-11

0011

1

100

1

0

.0

-

2P-1

AP

=

0则有所以A

可对角化.注意(

)3

1

2=若令P

=x

,x

,x

11

101

0

,

-

1

-

2

0

P

-1

AP

=

则有000

.

-

2

0

0

101

说明与A相似的对角阵不唯一，但对角元都是A的特征值，只是次序不同.即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．例3

设A=

13，求可逆阵P,使P-1AP=Λ为对角阵，

8

3

并求An

.解38 3

-

l由A

-

lI

=

1

-

l=

(1

-

l)(3

-

l)

-

24=

(l

+

3)(l

-

7)=

0得A的特征值，l1

=

-3，l2

=

7对l1

=

-3，解(

A

+

3I

)x

=

0,得一个基础解系,41

-

3p

=对l2

=

7，解(

A

-

7I

)x

=

0,得一个基础解系1,

4

2令P

=(p1

,p2

)=

-3

2p2

=

1,421

-10

-

32

-

3=

4n1

(-3)n=-

4

-

3-110

1

2(-

)nn0

77n4(-3)

2

7-

3(-3)n.10=4

(-3)n

+

6

7n8

7n

-

8

(-3)n3

7n

-

3

(-3)n

1

6

(-3)n

+

4

7n

-

3

0-1

A

=

PLP

-1

,\

An

=

(PLP

-1

)(PL

P

-1

)(PLP

-1

)

=

PLn

P

-1

由

P

AP

=

L

=

7

0

7

-

3

0-1则

P

AP

=

L

=

04.3

实对称阵的对角化4.3.1

正交矩阵1.

定义如果实n阶方阵A满足则称A为正交矩阵.A

=

–1;AT

A

=

AAT

=

I性质(1)若A为正交矩阵，则若A为正交矩阵，则

AT

=

A

-1也是正交矩阵

;若A,B都是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.证：A是正交矩阵，则

AAT

=

IB是正交矩阵，则

BBT

=

IAB(

AB

)T

=

ABBT

AT

=

AAT=

I(4)正交矩阵的元素之间的关系

a设A

=

ann

a

aan22n

是正交矩阵，则21

22a1n

a11

a12nn

T

a

a

a

a

a

AA

=

nn

1n

2n

an2

an1

a2n

a12

an1a11

a

a

a

a

a

12

1n

11

2121

a22

a22

n1

n2

a0

0

1

=

0

1

01

0

0i1

i

2

ina

2+

a

2

+

+

a

2

=

1,即=

0 (i

„

j),=

0,1,

i

=

j;ai1

a

j1

+

ai

2

a

j

2

+

+

ain

a

jnn

aik

a

jkk

=1即i

„j.(正交条件）例若A是正交矩阵，证明A*也是正交矩阵.证

A*

=

A

-1

A\

(

A*

)T

=

(

A

-1

A

)T

=

A

(

A

-1

)T=

A

(

AT

)T

=

A

A,\

(

A*

)T

(

A*

)

=

(

A

A)(

A

-1

A

)=

A

2

(

AA

-1

)=

A

2

I=

I

.故A*是正交矩阵.2

,

y

y1

x

x1

y

n

x

n

2

,

y

=

两个n维向量，x

=

定义2.

正交向量（1）向量内积它们对应坐标乘积的和，叫x,y的内积记作[x,y]即

[x,

y]

=

x1

y1

+

x2

y2

+

+

xn

yn

=

xT

y内积有下列性质：对称性[x,y]=[y,x];非负性[x

,x

]‡0;线性性[lx,y]=[x,ly]=l

[x,y];[

x

+

y

,

z

]

=

[

x

,

z

]

+

[

y

,

z

];1

2

n令x

=[x,x]=x2

+x2

+

+x2

,lx

=

l

x

;非负性

x

‡

0;齐次性（2）向量的长度x

称为n维向量x的长度.

当x

=

1时，称x为单位向量.向量长度的性质三角不等式x

+

y

£

x

+

y

.设A是n阶正交矩阵，x是n维列向量

则

Ax

=

x

.证\

Ax

=

x

.因此正交矩阵A作用于向量x不改变向量长度.Ax

2

=

(

Ax)T

(

Ax)

=

xT

AT

Ax

=

xT

Ix=

xT

x

=

x

2

.（3）正交向量若[x,y]=0，则称x与y正交.正交向量组若非零向量组a

1，a

2，

a

s

两两正交，则称向量组a

1，a

2，a

s

为正交向量组.n阶方阵A为正交矩阵它的行（或列）向量组是两两正交的单位向量组.=

1

=

0i

i

i

ja

Ta

a

Ta例判定下列矩阵是否为正交矩阵.

-

sinq

cosq

cosq

sinq

A

=

22120110

.1

2

-0

-10B

=cosq

-

sin

q

cosq

sin

q=

cosq

sin

q

cosq

AAT0,

0

1-

sin

q

=

1\A为正交矩阵.或

cosq

=

sin

q

-

sin

q

设a1

=

cosq

,a

2且

a

Ta

=

0,

a

=

1,

a1

2

1

2=1,\A为正交矩阵.

B的每一列是单位向量，但不是两两正交\B不是正交矩阵.正交向量组有以下性质：定理

1

正交向量组一定是线性无关的.证设a1

,a

2

,,ar

是一个正交向量组，如果k1a1

+

k2a

2

++

kra

r

=

0i上式两边左乘a

T

(i

=1,2,,r)得

k

a

Ta

=

0,i

i

ii2i

i

i=

a

„

0,a

„

0,

\

a

Tai即

k

=

0.故a1

,a

2

,,ar

线性无关.定理2如果r个n维非零向量a1

,a

2

,,ar

构成正交向量组且r

<n,则必有n维非零向量x,使x与a1

,a

2

,,ar

都正交.证x应满足齐次线性方程组：21T

rTTa

x

=

0,a

x

=

0,a

x

=

0,00

0

2

,

x

=T

r

T1Taaa即系数矩阵A是r

·

n矩阵，而r个行向量线性无关所以r(A)=r

<n,故知Ax

=0有非零解x即为所求.如果r(r

<n)个n维非零向量两两正交推论则总可以添上n

-r个n维非零向量，使这n个向量两两正交.定理

3

如果n维非零向量a1

,a

2,,ar

构成一个线性线性无关的向量组

那么一定存在n维正交向量组u1

,

u2

,,

ur

与前一个向量组等价.用施米特正交化方法a1

,

a

2

,,as1

12

122b1(b

,

b

)(a

,

b

)b

=

a

-3

21

13

133b2(b2

,

b2

)(b

,

b

)(a

,

b

)

(a

,

b

)b1

-b

=

a

-把线性无关向量组

标准正交化b1

=

a1.2s

-1s

1ss(bs

-1

,

bs

-1

)(b2

,

b2

))

-

(a

s

,

b2

)bb1(b1

,

b1

)(a

,

bb

=

a

--

-

(a

s

,

bs

-1

)

b

ii

i(i

=

1,

2,

,

s),1

bb再令

g

=g1

,g2

,,gs

为标准正交向量组.三、施密特正交化方法例4

将

a

1

=

(1,

1,

1),

a

2

=

(1,

2,

1),a

3

=

(0,

-1,

1标准正交化.设b1

=a1

=1,1,1),331

12

122=

1

(-1,

2,

-1),4b1

=

(1,

2,

1)-

(1,

1,

1)(b

,

b

)(a

,

b

)b

=

a

-3

21

13

133b2(b2

,

b2

)(a

,

b

)(b

,

b

)(a

,

b

)b1

-b

=

a

-2=

=

1

(-1,

0,

1),解31111b

=

1

(1,

1,

1)bg

=61222b

=

1

(-1,

2,

-1)bg

=21333b

=

1

(-1,

0,

1).bg

=k注意：将b

=1

a

单位化，只需将a

单位化即可.为什么？1bg

=

1

b

=a

k

a1

a

=

k

1

a

=

–

1

a

.

1

a

,

1

a

kk

k

定理4 对称矩阵的特征值为实数.4.3.2

实对称阵的对角化一、实对称阵的特征值与特征向量有重要性质说明：这里所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．为了幻节省时间，下面的定理不证定理1的意义由于对称矩阵A的特征值li

为实数,所以齐次线性方程组(

A

-

li

E

)

x

=

0是实系数方程组,由A

-

li

E

=

0知必有实的基础解系,从而对应的特征向量可以取实向量.定理5

实对称阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的.证设l1

,l2是实对称阵A的两个不同特征值p1

,p2是A的对应于l1

,l2的特征向量l

p

=

Ap

,

l

p

=

Ap

且AT

=

A,1

1

1

2

2

21

1

2l

pT

p1

1

2=

(l

p

)T

p=

(

Ap

)T

p

=

pT

AT

p1

2

1

21

2T=

p

(

Ap

)1

2

2T=

p

(l

p

)2

1

2T=

l

p

p

,1

2

1

21

2

(l

-

l

)

pT

p

=

0,

pT

p=0,故p1与p2正交.定理

6

设A为n阶对称矩阵

,

则必有正交矩阵

P

,

使P

-1

AP

=

L

,

其中

L

是以

A的

n

个特征值为对角元素的对角矩阵

.定理

6’

实对称阵一定可以对角化.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：3.将特征向量单位化.4.2.1.求A的特征值;由(A

-li

E

)x

=0,求出A的特征向量;将特征向量正交化;2

-l

-

2

0A

-lE

=

-

2

1-l0

-

2

-l-

2

=

4-l)l

-1)l

+2)=

0得

l1

=

4,

l2

=

1,

l3

=

-2.0

0(1)

A

=

-

23

01

2

-

2

0

4

0

01

3-

2

1

-

2,

(2)

A

=

0例

对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵P，使

P

-1

AP为对角阵.解

(1)第一步

求A的特征值第二步

由(A

-

li

E

)x

=

0,求出A的特征向量对l1

=4,由A

-4E

)x

=0,得1

2

32

x2

+

4

x3

=

02

x

+

3

x

+

2

x

=

02

x1

+

2

x2

=

0解之得基础解系1

-

1

-

2

x

=

2

.对

l2

=

1,由

A

-

E

)x

=

0,得1

3

2

x2

+

x3

=

0

2

x

+

2

x

=

0-

x1

+

2

x2

=

0解之得基础解系2

2

-

2

x

=

1

.对

l3

=

-2,由

A

+

2E

)x

=

0,得2

31

2

32

x

-

2

x

=

02

x

-

3

x

+

2

x-

4

x1

+

2

x2

=

03

2

1

=

0

解之得基础解系x

=

2

.第三步 将特征向量正交化由于x1

,x2

,x3是属于A的3个不同特征值l1

,l2,l3的特征向量,故它们必两两正交.第四步 将特征向量单位化,

i

=

1,2,3.iiixx令

h

=1

-

1

3

-

2

32

2

3

-

2

3

得

h

=

2

3

,

h

=

1

3

,3

2

3

1

3

h

=

2

3.

21

2

3

3

-

2

2 1

作

P

=

(h

,

h

,

h

)=

1

2

1

2,

-

1

-

20

.

0-

2

4

0

0

P

-1

AP

=

0

10则3

0

4

0

0

(2)

A

=

0

3 1

14

-

l

0

00 3

-

l

10

1 3

-

lA

-

lE

==

(2

-

l

)(4

-

l

)2

,l1

=

2,

l2

=

l3

=

4.得特征值对l1

=2,由A

-2E

)x

=0,得基础解系

-

1

0

x1

=

1

对

l2

=

l3

=

4,由

A

-

4E

)x

=

0,得基础解系

1

0

0

1

x3

=

1.

x2

=

0,x2与x3恰好正交,所以x1

,x2

,x3两两正交.(i

=1,2,3)得iiixx再将x1

,x2

,x3单位化,令h

=02

1

-

1

h

=

1

2

,2

0

1

h

=

0,031 2

h

=

1 2

.于是得正交阵2

2

0

1

2

-

1

2

0

10

1

0

1

2

3

P

=

(h

,h

,h

)=

140.

0

2

0

0P

-1

AP

=

0

40则12

3

1

21

1

例2

已知a

=

1，求非零向量a

,a

,使a

，a

,3a

两两正交.3x1

+

x2

+

x3

322x

x解

显然a

,a

应满足a

T

x

=

0,即2

3

1

x1

=

-x2

-

x3=

0

或

x

=

x=

1

-1

0

-1得

b2

=

1

，b3

=

0

令

a

2

=

b2

0

-1T[a

2，a

3

]

=

a

2

a

3a

3

=

kb2

+

b3

=

k

，1

-

k

-1=

(-1

1

0)

k

1

-

k

-12=

2k

+1

=

0

\

k

=

-

1.

=

-

1

2

1

2

-

1

a

2

=

1

，a

3即为所求.x

21

2

n

11

1

22

2

nn

nx

2

+

a x

2

+

+

af

(x

,

x

,

,

x

)=

a+

2a12

x1

x2

+

2a13

x1

x3

+

+

2an

-1,

n

xn

-1

xn称为二次型.当aij是复数时,f称为复二次型;当aij是实数时,f称为实二次型.4.4

二次型及其标准形4.4.1

二次型及其矩阵形式定义1

含有n个变量

x1

,

x2

,,

xn的二次齐次函数1、例如f

(x

,

x

,

x

)=

2x2

+

4x2

+

5x2

-

4x

x1

2

3

1

2

3

1

3f

x1

,

x2

,

x3

)=

x1

x2

+

x1

x3

+

x2

x3f

(x

,

x

,

x

)=

x2

+

4x2

+

4x21

2

3

1

2

3都为二次型；x

21

2

n

11

1

22

2

nn

nx

2

+

ax

2

+

+

af

(x

,

x

,,

x

)=

a1）．用和号表示对二次型+

2a12

x1

x2

+

2a13

x1

x3

+

+

2an-1,n

xn-1

xn取a

ji

=aij

,则2aij

xi

x

j

=aij

xi

x

j

+a

ji

x

j

xi

,于是1n

1

n11

1

12

1

2f

=

a x

2

+

a

x

x+

+

a

x

xn=

aij

xi

x

j

.i

,

j=1x

x2

n

2

n22

221

2

1+

a

x

x+

a x

2

+

+

ann

nn

2

n

2n1

n

1x

2x

x

+

a

x

x+

+

a+

+

a2、二次型的表示方法2）．用矩阵表示1n

1

n12

1

211

1f

=

a x

2

+

ax

x

+

+

a

x

xx

x2

n

2

n22

221

2

1+

a+

a

x

xx

2

+

+

ann

nn1

n

1

n

2

n

2x

2+

+

a

x

x+

a

x

x

+

+

a+

+

xn

(an1

x1

+

an

2

x2

+

+

ann

xn

)=

x1

(a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

)+

x2

(a21

x1

+

a22

x2

+

+

a2

n

xn

)n

nnn

aa

xxx

x+

a

x

+

+

a

xx

+

a

x

+

+

a

xn

2

2n1

12

n n

22

221

1

a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

1

2=

(

,

,,

)则二次型可记作

f

=

xT

Ax,

其中A为对称矩阵.

n

nn

n1

n2

x

x1

x

=

x2

,a2n

,a1n

a

a

a记()

a11

a12A

=

a21

a22n

nn

na

a

a

a

xn2n1a2n

x2

21a1n

x1

a11

a12a221

2=

x

,

x

,,

x例如三元二次型12

1

2x

2

+

2a x

xf

(x

,

x

,

x

)

=

a

x

2

+

a

x

2

+

a1

2

3

11

1

22

2

33

3+

2a13

x1

x3

+

2a23

x2

x3

233

3

2322322131321x

x

aaaa

aa13

x1

a11

a12=

(x

x

x

)

a2322322131aaaa

a

a11

a12

a13

记

A

=

a

33

3

2x

x1

x

=

x

\

f

=

xT

Ax(其中A为对称矩阵)3）、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．对称矩阵

A叫做二次型

f

的矩阵

;f

叫做对称矩阵A的二次型;对称矩阵A的秩叫做二次型f

的秩.解a11

=

1,

a22

=

2,

a33

=

-3,a13a12a23=

a21

=

2,

=

a31

=

0,=

a32

=

-3.

0-

3

1

2

0

\

A

=

2

2

-

3.-

3写出二次型f

=

x2

+

2

x2

-

3

x2

+

4

x

x

-

6

x

x1

2

3

1

2

2

3的矩阵.例１4.4.2

二次型的标准形对于二次型，讨论的主要问题是：寻找一个可逆线性变换x

=Cy（C可逆）,即

xn

=

cn1

y1

+

cn2

y2

+

+

cnn

yn

x1

=

c11

y1

+

c12

y2

+

+

c1n

yn

,

x

=

c

y

+

c

y

+

+

c

y

,2

21

1

22

2

2n

n

y kn

yn

k

2

y1

2

k1=

(

y1

,

y2

,,

yn

)=

k

y

2

+

k

y

2

+

+

k

y

2

.1

1

2

2

n

n这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形.f

(x

,x

,x

)=x2

+4x2

+4x2为二次型的标准形.1

2

3

1

2

3使f

=

xT

Ax

=

(Cy)T

A(Cy)=

yT

(CT

AC)y证明A为对称矩阵,即有A

=AT

,于是BT将x

=

Cy代入

f

=

xT

Ax,

有CT

AC

y.f

=

xT

Ax

=

(Cy)T

A(Cy)

=

yT定理1

任给可逆矩阵

C

,令B

=

CTAC

,如果A为对称矩阵,则B也为对称矩阵

,且R(B

)=

R(A).=

(C

T

AC

)T

=

CT

AT

C

=

CT

AC

=

B,即B为对称矩阵.注意：因为左右乘可逆矩阵，相当于作初等变换，而初等变换不改变矩阵的秩说明21

21nny

2y

2

+

k

y

2yT

CT

ACy

=

k+

+

kx

=Cy

变成标准形,

y2

,

y1

k

yk

2

k

1n

n1

2

n

=

(

y

,

y

,

,

y

)也就是要使CT

AC

成为对角矩阵.的矩阵由

A变为

B

=

C

T

AC

;2

.要使二次型f经可逆变换就是要使x

=Cy

后,其秩不变,但f1

.二次型经可逆变换ji由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P,使P-1

AP

=L

,即PT

AP

=L

.把此结论应用于二次型,有nij

i

j

ija

x

x

(a

=a

),总有定理

2

任给二次型

f

=i

,

j

=1正交变换x

=Py

,使f

化为标准形f

=

l

y2

+

l

y2

+

+

l

y2

,1

1

2

2

n

n的特征值.其中l1

,l2

,,ln是f

的矩阵A

=aij用正交变换化二次型为标准形的具体步骤将二次型表成矩阵形式

f

=

xT

Ax

,求出A;求出A的所有特征值l1

,l2

,,ln

;求出对应于特征值的特征向量x1

,x2

,,xn

;将特征向量x1

,x2

,

,xn正交化,单位化,得h1

,h

2

,

,hn

,

记C

=

(h1

,h

2

,

,hn

);作正交变换

x

=

Cy

,则得

f的标准形 f

=

l

y

2

+

+

l

y

2

.1

1

n

n

17

-

2

-

2

A

=

-

2

14

-

4

-

2

-

4 14

14

-

l17

-

l

-

2

-

2

A

-

lE

= -

2 14

-

l-

2

-

4(

)

(

)2-

18

l

-

9-

4

=

l例1

将二次型f

=

17

x2

+

14

x2

+

14

x2

-

4

x

x

-

4

x

x

-

8

x

x1

2

3

1

2

1

3

2

3通过正交变换x

=Py,化成标准形.解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值从而得特征值l1

=

9,

l2

=

l3

=

18.2．求特征向量将l1

=9代入A

-lE

)x

=0,得基础解系2

3x

=

(-2,1,0)T

,

x

=

(-2,0,1)T

.3．将特征向量正交化1取1将l2

=

l3

=

18代入

A

-

lE

)x

=

0,得基础解系x

=

(1

2,1,1)T

.2

2a

1

=

x

,

a2

2[a

,a

]a

,x

]=

x

,

a

3

=

x3

-

2

3

a

2

,3=

(-2

5,-4

5,1)T

.2=

(-2,1,0)T

,a1得正交向量组=

(1

2,1,1)T

,aa,

(i

=

1,2,3),iia=

a

i令

h得0

-

2 5

2

3

1

3

h1

=

2

3,

h2

=

145

5

-

2 45

5

,

h3

=

-

4 45

.

1

3

-

2

5

-

2

45

P

=

2

3

1

5

-

4

45

.

2

3

0

5

45

所以4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为

3

1

5

-

4

2

3

0

5

3

45

y

45

y2

,

1

3

-

2

5

-

2 45

y1

x

x2

=

2

3

x1

且有

f

=

9

y

2

+

18

y

2

+

18

y

2

.1

2

3

4

4

1

1

1

1

2

b

=

b

,

a

3

=

1

,

b

=

3

,

a

44

.设

a

1

=

1

，

a

2当a

,b

为何值时，b可由a

1

,a

2

,a

3

线性表示且表示式唯一

？b可由a1

,a

2

,a

3线性表示但表示式不唯一？b不能由a

1

,a

2

,a

3

线性表示？设

x1a

1

+

x2a

2

+

x3a

3

=

b系数行列式1

=

-b(a