高中数学系列数列精讲

高中数学课件系列数列精讲第一页，共二十六页，编辑于2023年，星期六数列综合应用数列数列的概念等差数列等比数列通项公式递推公式an与Sn的关系等差数列的定义通项公式前n项和公式等差数列的性质等比数列的定义通项公式前n项和公式等比数列的性质数列求和与函数的关系等差、等比数列的基本应用数列的定义知识结构第二页，共二十六页，编辑于2023年，星期六方法要点1．本单元的主要内容是数列的有关概念和两种特殊数列——等差、等比数列.其中重点是等差数列与等比数列的概念与性质、数列通项、前n项和的求法以及数列知识在实际方面的应用.2.处理等差、等比数列的常用思路.3．数列通项、求和的常用方法.4．本章常用的数学思想和方法.第三页，共二十六页，编辑于2023年，星期六复习要求概述

数列单元复习中首先应掌握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本数学思想和方法.然后要重点掌握等差、等比数列的性质，数列通项的求法和特殊数列的求和，真正掌握基本方法的运用.最后还应加强数学思想的渗透.数列部分的单元复习可分成如下四个方面展开：重现函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用.掌握等差、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比的简单问题.同时重视等差、等比数列性质的灵活运用.进一步加强应用意识，能应用数列有关知识解决生产、生活中的一些实际问题.通过设计一些新颖的题目和综合性问题，尤其是开放性、探索性问题，突出“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式.第四页，共二十六页，编辑于2023年，星期六学生常见错误剖析典型错误1：对于与的关系考虑不周.例1数列的前n项和，求数列的通项公式.错解：数列的通项公式为.

错因剖析：已知，求，通常用，但这是在的前提条件之下；时，不能用此公式求.第五页，共二十六页，编辑于2023年，星期六典型错误2：片面理解有关题意.

例2首项是，第10项起开始比1大的等差数列的公差d的范围是（）A．B．C．D．错解：由题意，即，解得，故选A.错因剖析：错误原因在于审题仅考虑到这一条件而没有注意到题中“开始”这一关键字眼.当然也有选C者，虽注意到这一点，但由来求d的范围而造成错解.第六页，共二十六页，编辑于2023年，星期六典型错误3：忽视等比数列前n项和公式的适用条件.

例3等比数列的公比为q，前n项的和为，若成等比数列，试问是否成等差数列？请说明理由.错解：由题意，故，

.显然，否则，,不合题意.故.

，因此成等差数列.错因剖析：当问题涉及等比数列前n项和时，忽视了对公比及两种情形进行讨论而致误.第七页，共二十六页，编辑于2023年，星期六典型错误4：对等差数列前n项和的结构特点认识不透.

例4已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且对一切正整数n,都有，试求的值.错解：设，则，，所以.错因剖析：错解在利用条件，设时，把k误认为是与n无关的常数.事实上，等差数列的前n项和公式，在公差的条件下是关于n的二次函数，且常数项为零.第八页，共二十六页，编辑于2023年，星期六典型错误5：对存款利率问题概念模糊不清.

例5一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？错解：因为年利率不变，所以每年到期时的钱数形成一个等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的第19项，即.错因剖析：上述解法只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目的要求是每年都要存入a元，事实上，不是求，而是求.第九页，共二十六页，编辑于2023年，星期六典型错误6：数列求和时项数计算出错.

例6一个数列，当n为奇数时，，当为偶数时，，求这个数列的前n项之和.错解：，构成首项为2，公比为2的等比数列..错因剖析：在求和值时，将奇数项和偶数项都假设是含n个项，所以结果显然是错误的.第十页，共二十六页，编辑于2023年，星期六说明：在这类数列求和问题中，一定要分情况讨论（项数n是奇数还是偶数），若n是奇数，则设n＝2m＋1，其中有（m＋1）项是奇数项，m项是偶数项；若n是偶数，则设n＝2m，其中奇数项、偶数项个数都为m，在得出含有m的结论后，再用n反代进去，就可得出本题的最终结果，这样的间接计算操作，可达化难为易之效果.第十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期六典型错误7：用导数工具解决数列单调性时失误.

例7已知递增数列满足，求实数的取值范围.错解：看成函数，定义域为，由题意，在区间是增函数，

.错因剖析：事实上，函数为离散函数，其图象是上的一串孤立点.图象上看，抛物线的对称轴为应在x＝1的左侧，又因为数列为离散函数，故只要对称轴在的左侧即可，而并非一定要在x＝1的左侧.第十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期六正解：看成函数，定义域为，由题意，为递增函数，单调递增区间为，抛物线的对称轴为，应在x＝1的左侧，再注意到此函数为离散函数，故只要对称轴在的左侧即可，于是第十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期六说明：本题中可举例说明满足题意.当数列的通项公式或前n项和公式是一个二次函数时，若顶点的横坐标不一定是正整数时，应结合其图象来确定最值（在离对称轴较近的那个自然数取得最值）.若用导数法讨论数列的单调性，不能直接对求导，应先对函数求导，然后再分析的单调性.这样才能真正使学生弄清数列的单调性和函数的单调性的共性和个性，深刻认识其本质的区别在于定义域不同.第十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期六教学设计：数列的单调性问题

【教学目标】1、掌握关于正整数n的函数单调性的判断方法，会求数列的an或Sn的极值.2、能运用函数、不等式的思想，解决有关数列问题.3、逐步学会对比较复杂、抽象的问题进行等价变换等数学的思想方法.【教学重点】数列的单调性的判断方法，an或Sn的极值求法.【教学难点】对比较复杂、抽象的问题进行等价变换的思想方法及含参数问题的讨论.第十五页，共二十六页，编辑于2023年，星期六【复习引入】

1.数列的概念对照两种定义，强调函数观点下的数列定义，明确数列的有序性是数列定义的灵魂，有助于理解数列是一种特殊的函数.2.函数视角看数列在函数观点下，数列的通项公式就是对应函数的解析式，数列可看作定义域为正整数集（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值，故可用函数观点来研究数列，如递增、递减、最大项、最小项等.第十六页，共二十六页，编辑于2023年，星期六【讲授新课】1.数列的单调性定义在数列中，如果对都成立，那么就称数列是单调递增数列；如果对都成立，那么称数列是单调递减数列.递增数列与递减数列统称为单调数列.数列的单调性可以用函数的单调性来刻画.第十七页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2.等差、等比数列的单调性

对于等差数列而言，其增减性较简单，简述如下：公差为递增数列;公差为常数列;公差为递减数列.相比较而言，等比数列的增减性稍显复杂，我们可以考察的值来研究，易得如下的结论：在等比数列中，公比为q，则或递增数列;

或递减数列;

非零常数列;

摆动数列.第十八页，共二十六页，编辑于2023年，星期六思考：对于一般的数列，如何来研究其增减性呢？从等比数列增减性研究过程中，不难发现，其一般方法是先作差（或作商），再变形，最后判断n为何值时，差为正数、零、负数，至此，数列的增减性就清楚了.第十九页，共二十六页，编辑于2023年，星期六【例题分析】例1设函数，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)判断数列的单调性.第二十页，共二十六页，编辑于2023年，星期六例2已知且数列是首项为公比也为的等比数列，令问是否存在实数a，对任意正整数n，数列中的每一项总小于它后面的项？若存在，求出相应a的范围；若不存在，说明理由.第二十一页，共二十六页，编辑于2023年，星期六【有关应用】(1)求数列的最值例3已知，试问：数列有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，请说明理由.第二十二页，共二十六页，编辑于2023年，星期六2)求参数的取值范围例4已知不等式对一切大于1的正整数n都成立,求实数a的取值范围.第二十三页，共二十六页，编辑于2023年，星期六3)证明有关不等式例5证明:对于一切大于1的正整数n，恒有第二十四页，共二十六页，编辑于2023年，星期六【提炼总结】1)数列是一种