2021年辽宁省盘锦市大洼县第一高级中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年辽宁省盘锦市大洼县第一高级中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图（单位：cm）若图所示，则该几何体的体积是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.不等式组的解集记为,若,则的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A画出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABC为所示，当过A（－2,0）时取得最上值为－43.在等差数列{an}中，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（

）A．21

B．20

C．19

D．18参考答案：B因为，，所以，，从而d，,所以当时取最大值，选B.4.函数的图像大致是(

)

参考答案：B5.设，双曲线与圆相切，A（，0），B（，0），若圆N上存在一点P满足，则点P到x轴的距离为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据圆与双曲线的位置关系，联立双曲线方程和圆的方程，消去，可得的一元二次方程，由判别式为0，求出的值，再根据双曲线的定义以及韦达定理，即可求出。【详解】联立与，消去得，又易知点分别为双曲线的左、右焦点，又，故由双曲线的定义可知在双曲线上，且为右切点，由韦达定理得点到轴的距离为，故选D。【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及双曲线与圆的位置关系应用，意在考查学生的数学运算能力。6.设集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=A.{0}

B.{0,1}

C.{-1,1}

D.{-1,0,0}参考答案：B

M={-1,0,1}M∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出,再利用交集定义得出M∩N.7.已知周期为π的函数关于直线对称，将y=f(x)的图像向左平移个单位得到函数y=g(x)的图像，则下列结论正确的是（

）A.g(x)为偶函数.

B.g(x)图像关于点(,0)对称C.g(x)在区间[,]上单调递增

D.g(x)为奇函数.参考答案：C由题意可知=2,,关于对称，则,∵,得,即,其图像向左平移个单位,得.从而可知A,D错误，又∵∴B错误,∵,单调递增,∴C正确，故选C.8.已知点M在角θ终边的延长线上，且|OM|=2，则M的坐标为（）A．（2cosθ，2sinθ） B．（﹣2cosθ，2sinθ）C．（﹣2cosθ，﹣2sinθ） D．（2cosθ，﹣2sinθ）参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意，M的坐标为（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即可得出结论．【解答】解：由题意，M的坐标为（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即（﹣2cosθ，﹣2sinθ），故选C．9.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（

）A．相离

B．相交

C．相切

D．相切或相离参考答案：A

解．点M在圆内故，圆心到直线的距离．故直线与圆相离．选A．10.函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B． C． D．参考答案：B【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0，+φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在内的两个零点，则sin（x1+x2）=______．参考答案：

解：x1，x2是函数f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，]内的两个零点，

可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，

即为2（sin2x1-sin2x2）=-cos2x1+cos2x2，

即有4cos（x1+x2）sin（x1-x2）=-2sin（x2+x1）sin（x2-x1），

由x1≠x2，可得sin（x1-x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．

另解：由对称性可知=2sin（x2+x1）+cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案为：．12.给出下列不等式：，，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为

．参考答案：13.已知，，且，则与夹角的余弦值为___________.参考答案：，，．14.向量、、在正方形网格中的位置如图所示，若（），则

。参考答案：415.函数的值域是____________参考答案：略16.已知函数，函数（，且mp＜0），给出下列结论：①存在实数r和s，使得对于任意实数x恒成立；②函数的图像关于点对称；③函数可能不存在零点（注：使关于x的方程的实数x叫做函数的零点）；④关于x的方程的解集可能为{－1，1，4，5}．其中正确结论的序号为

（写出所有正确结论的序号）．参考答案：①③17.若存在实数使成立，则实数的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数为自然对数的底数），（1）若函数恰有一个零点，证明：（2）若对任意恒成立，求实数的取值集合.参考答案：【知识点】导数的应用.

B12【答案解析】(1)见解析；（2）的取值集合为.解析：(1)证明：由，得．…………1分由>0，即>0，解得x>lna，同理由<0解得x<lna，∴在(-∞，lna)上是减函数，在(lna，+∞)上是增函数，于是在取得最小值．又∵函数恰有一个零点，则，…4分即．…………5分化简得：，∴．…………………6分(2)解：由(Ⅰ)知，在取得最小值，由题意得≥0，即≥0，……8分令，则，由可得0<a<1，由可得a>1．∴在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即，∴当0<a<1或a>1时，h(a)<0，∴要使得≥0对任意x∈R恒成立，∴的取值集合为………13分【思路点拨】根据函数的导数可判定函数的单调性,由此得函数f(x)只有一个最小值，因为函数恰有一个零点，所以此最小值是0，从而证得结论；（1）对任意恒成立，即函数f(x)的最小值大于或等于0，由此得关于a的不等式，再利用导数求得结论.19.已知抛物线，直线与抛物线交于两点．（Ⅰ）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）

【知识点】圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程；抛物线的标准方程．H3H7H8（Ⅰ）联立，消并化简整理得．依题意应有，解得．设，则，设圆心，则应有．因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又．所以，解得．

所以，所以圆心为．故所求圆的方程为．（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离，所以．

令，，，由上表可得的最大值为．所以当时，的面积取得最大值．【思路点拨】（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线为，由抛物线定义和已知条件可知，由此能求出抛物线方程,联立，消x并化简整理得y2+8y﹣8b=0．依题意应有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣8，y1y2=﹣8b，设圆心Q（x0，y0），则应有．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=4，由此能够推导出圆的方程．（Ⅱ）因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知b＞﹣2，所以﹣2＜b＜0，直线l：整理得x+2y﹣2b=0，点O到直线l的距离，所以．由此能够求出AOB的面积的最大值．20.（12分）已知数列，，，记，，（）,若对于任意，，，成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）根据题意，，成等差数列∴

--------------2分整理得∴数列是首项为，公差为的等差数列

--------------4分∴

--------------6分（Ⅱ）

--------------8分记数列的前项和为.当时，

当时，综上，

--------------12分21.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．参考答案：（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.

…………5分

（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC从而∠FED=∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四点共圆

…………10分略22.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S5=30，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=2n﹣1．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=（﹣1）n（anbn+lnSn），求数列{cn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过记等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的求和公式及a1=2可知公差d=2，进而可知an=2n；通过Tn=2n﹣1与Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）作差，进而可知bn=2n﹣1；（Ⅱ）通过（I）可知anbn=n?2n，Sn=n（n+1），进而可知cn=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，利用错位相减法计算可知数列{（﹣1）nanbn}的前n项和An=﹣﹣?（﹣2）n+1；通过分类讨论，结合并项相加法可知数列{（﹣1）nlnSn}的前n项和Bn=（﹣1）nln（n+1），进而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）记等差数列{an}的公差为d，依题意，S5=5a1+d=30，又∵a1=2，∴d==2，∴数列{an}的通项公式an=2n；∵Tn=2n﹣1，∴Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2），两式相减得：bn=2n﹣1，又∵b1=T1=21﹣1=1满足上式，∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知anbn=n?2n，Sn=2?=n（n+1），∴cn=（﹣1）n（anbn+lnSn）=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，记数列{（﹣1）nanbn}的前n项和为An，数列{（﹣1）nlnSn}的前n项和为Bn，则An=1?（﹣2）1+2?（﹣2）2+3?（﹣2）3+…+n?（﹣2）n，﹣2An=1?（﹣2）2+2?（﹣2）3+…+（n﹣1）?（﹣2）n+n?（﹣2）n+1，错位相减得：3An=（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣n?（﹣2）n+1=﹣n?（﹣2）n+1=﹣﹣?（﹣2）n+1，∴An=﹣﹣?（﹣2）n+1；当